上海市田家炳中學(xué)特色課程班2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度上海市田家炳特色課程班九下5月月考卷（滿分：150分考試時間：100分鐘）一、選擇題（共24分）1.通過嚴(yán)格實(shí)施低碳管理等措施．2022年北京冬奧會和冬殘奧會全面實(shí)現(xiàn)了碳中和．根據(jù)測算．北京冬奧會三個賽區(qū)的場館使用綠電4億千瓦時，可以減少燃燒12.8萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤，減少排放二氧化碳32萬噸．實(shí)現(xiàn)了“山林場館.生態(tài)冬奧”的目標(biāo)．將32萬這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，先將32萬表示成數(shù)的形式，再按科學(xué)記數(shù)法要求表示即可．解：萬，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法要求，的3后面有5個數(shù)位，從而用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定與的值是解決問題的關(guān)鍵．2.關(guān)于x一元二次方程有一個根是，則另一個根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解答即可.解：設(shè)方程的另一個根為，則，解得：；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若是方程的兩個根，則.3.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有大器五小器一容九斛，大器一小器五容三斛，問大小器各容幾何”其大意為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒9斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒3斛．問1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？若設(shè)1個大桶可以盛酒x斛，1個小桶可以盛酒y斛，根據(jù)題意，可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“5個大桶加上1個小桶可以盛酒9斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒3斛”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：依題意，得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4.演講比賽共有8位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分，這6個有效評分與原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)、平均數(shù)、方差、眾數(shù)的定義，判斷即可．解：根據(jù)題意，將8個數(shù)據(jù)從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到6個有效評分．這6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分?jǐn)?shù)不變，即不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)從小到大或者從大到小重新排列后，最中間的那個數(shù)；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓心坐標(biāo)是，將沿x軸正方向平移，使與y軸相切，則平移的距離為（）A.1 B.1或5 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，分圓心在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況，根據(jù)半徑等于圓心到直線的距離寫出答案即可，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，注意分類討論．解：當(dāng)位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，此時圓心P到y(tǒng)軸的距離是2，P的坐標(biāo)為，所以平移的距離為；當(dāng)位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，此時圓心P到y(tǒng)軸的距離是2，P的坐標(biāo)為，所以平移的距離為，故選：B．6.如圖，在等腰中，，，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運(yùn)動，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動時，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動，連接，以為邊向下做正方形，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，以及對應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)與重合時，及當(dāng)時圖象的走勢，和當(dāng)時圖象的走勢即可得到答案．解：當(dāng)與重合時，設(shè)，由題可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)在下方時，設(shè)，由題可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．二、填空題（共48分）7.因式分解：＝________．【答案】【解析】分析】提公因式，即可解答．解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法進(jìn)行因式分解，解決本題的關(guān)鍵是熟記提公因式法．8.若關(guān)于的一元二次方程的兩個根均為正整數(shù)，寫出滿足條件的一個的值為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵，先解一元二次方程，然后根據(jù)個根均為正整數(shù)列不等式組求解即可．解：∵，∴，∴，，∵關(guān)于的一元二次方程的兩個根均為正整數(shù)，∴，且為正整數(shù)，解得，且為正整數(shù)，∴可以為故答案為：（答案不唯一）．9.已知代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____________．【答案】##【解析】【分析】利用二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于零解題即可．解：依題意，得，

解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子

叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．10.方程有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和解不等式等知識點(diǎn)，由已知中關(guān)于x的方程有兩個實(shí)根，則方程的，由此構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合一元二次方程的根的情況，構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴，∴或，故答案為：或．11.計算：______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，原式分別化簡，，，，然后再合并即可得出答案解：，故答案為：212.___________【答案】【解析】【分析】本題考查了向量的加減，根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則計算即可得出答案．解：，故答案為：．13.生肖也稱屬相，是中國傳統(tǒng)文化中的一種記年方式，是一種十二年一個循環(huán)的紀(jì)年系統(tǒng)，每年用一種動物來代表，是由十二地支演變而來的．小明手繪了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準(zhǔn)備將其中的兩張送給好朋友小亮．小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上（手繪生肖卡背面完全相同），讓小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了求概率．熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率，是解決問題的關(guān)鍵．畫樹狀圖列舉出所有等可能情況，看所求的情況占總情況多少，即可．畫出樹狀圖，共6種等可能結(jié)果，恰好抽到子鼠和丑牛的結(jié)果有2種，∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率為，．故答案為：．14.莜麥?zhǔn)鞘澜绻J(rèn)的營養(yǎng)價值很高的糧種之一．某莜麥標(biāo)準(zhǔn)化種植基地在改良前總產(chǎn)量為，改良后總產(chǎn)量不變，但種植面積減少了25畝，平均畝產(chǎn)量為原來的1.5倍，則改良前的平均畝產(chǎn)量為_______【答案】【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)改良前的平均畝產(chǎn)量為，則改良后的平均畝產(chǎn)量為，根據(jù)“改良后總產(chǎn)量不變，但種植面積減少了25畝”列出分式方程，解分式方程即可得出答案．解：設(shè)改良前的平均畝產(chǎn)量為，則改良后的平均畝產(chǎn)量為，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，且符合題意，∴改良前的平均畝產(chǎn)量為，故答案為：．15.如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、，且，的周長為14，則的長為______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理得到，，，由的周長為14，可求的長．解：與，，分別相切于點(diǎn)，，，，，，的周長為14，，，．故答案為：516.正八邊形中心角的正切值為_________【答案】【解析】【分析】本題考查了中心角的概念、特殊角的三角函數(shù)值，先求出正八邊形的中心角為，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．解：正八邊形的中心角為，∴正八邊形中心角的正切值為，故答案為：．17.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“相反點(diǎn)”，例如點(diǎn)，．．．．，都是“相反點(diǎn)”，若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個“相反點(diǎn)”，當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為，最大值為，則的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與一元二次方程等知識點(diǎn)，把代入二次函數(shù)得出，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上有且只有一個“相反點(diǎn)”，得出，即有且只有一個根，推出，求出，，從而得出，最后由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．解：∵點(diǎn)是二次函數(shù)的“相反點(diǎn)”，∴，∴，∵二次函數(shù)的圖象上有且只有一個“相反點(diǎn)”，∴，即有且只有一個根，∴，∴，解得：，∴，∴，∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時，，解得：，，∴當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：．18.如圖，已知正方形的邊長為4，E是邊延長線上一點(diǎn)，，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在邊上，連接交折痕于點(diǎn)H，則的長為__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查正方形與折疊，勾股定理與折疊，正確求出和的長度是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形和折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可．解：∵正方形的邊長為4，∴，，∴．由翻折可知，，，，∴，∴．設(shè)，則，．在中，，即，解得：，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：．三、解答題（共78分）19.計算：．【答案】0【解析】【分析】先根據(jù)絕對值的意義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．解：原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握絕對值的意義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本題考查了解分式方程和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步驟．先去分母，將分式方程化為整式方程，再進(jìn)行求解即可．解：，，，，，，，檢驗，當(dāng)時，，∴是原方程的解，當(dāng)時，，∴不是原方程的解．21.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線，交BC的延長線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，延長CE交BA的延長線交于點(diǎn)P．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）AB＝2AP，AB＝8，求AD的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接AC，OC，欲證PC是⊙O的切線，只需證明OCP＝90°即可．（2）利用直角三角形斜邊上的中線證明AOC是等邊三角形，進(jìn)而可得BD＝2AD，運(yùn)用勾股定理即可得到解答．【小問1】證明：連接AC，OC，

∵AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，∴BAD＝ACB＝90°，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝CE，∴ACE＝CAE，∵OC＝OA，∴OAC＝OCA，∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°，∴OCP＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；【小問2】解：∵AB＝2AP，AB＝2AO，∴AP＝AO，∵OCP＝90°，∴AC＝OA＝OC，∴AOC是等邊三角形，∴AOC＝60°，∴B＝30°，∵BAD＝90°，∴BD＝2AD，在RtADB中，∵，∴，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上基本的性質(zhì)并加以運(yùn)用．22.某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動豐富同學(xué)們的居家生活．由1至4號的專業(yè)評委和5至10號的大眾評委進(jìn)行評分．例如A節(jié)目演出后各個評委所給分?jǐn)?shù)如下：評委編號12345678910評分/分7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4評分方案如下：方案一：取各位評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為．方案二：從評委所給的分?jǐn)?shù)中先去掉一個最高分和一個最低分，再取其余八位評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為．回答下列問題：（1）小樂認(rèn)為“方案二”比“方案一”更合理，你______小樂的說法嗎（填“同意”或“不同意”）？理由是______；（2）小樂認(rèn)為評分既要突出專業(yè)評審的權(quán)威性又要尊重大眾評審的喜愛度，因此設(shè)計了“方案三”：先計算1至4號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，5至10號評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，再根據(jù)比賽的需求設(shè)置相應(yīng)的權(quán)重（表示專業(yè)評委的權(quán)重，表示大眾評委的權(quán)重，且）．如：當(dāng)時，則．該節(jié)目的得分為．Ⅰ．當(dāng)按照“方案三”中評分時，A節(jié)目的得分為______；Ⅱ．關(guān)于評分方案，下列說法正確的有______．①當(dāng)時，A節(jié)目按照“方案三”評分的結(jié)果比“方案一”和“方案二”都高；②當(dāng)時，A節(jié)目按照“方案三”和“方案一”評分結(jié)果相同；③當(dāng)時，說明“方案三”評分更注重節(jié)目的專業(yè)性．【答案】（1）同意，理由見解析；（2）Ⅰ．7.68；Ⅱ．①③．【解析】【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的概念和意義，即可得到答案；（2）I．根據(jù)，直接代入數(shù)據(jù)，即可求解；Ⅱ．根據(jù)對①②③進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．【小問1】解：同意小樂的說法，理由是：評委的評分常帶有主觀性，去掉最高分和最低分，能夠使評分更具公平性．【小問2】解：I．∵，，，，∴，∴A節(jié)目的得分為：7.86；Ⅱ．①當(dāng)時，A節(jié)目按照“方案三”評分的結(jié)果=，比“方案一”和“方案二”都高，故原說法正確；②當(dāng)時，A節(jié)目按照“方案三”的評分結(jié)果，與“方案一”的評分結(jié)果不一樣，故原說法錯誤；③當(dāng)時，A節(jié)目按照“方案三”的評分結(jié)果，與“方案一”的評分結(jié)果一樣；當(dāng)時，說明專業(yè)評委的權(quán)重占比大于大眾評委的權(quán)重，即“方案三”評分更注重節(jié)目的專業(yè)性，故原說法正確；綜上所述：①③正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．23.平面幾何圖形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．（1）一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；（2）學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．【答案】（1）（2）的面積為84；邊上得高的長為12【解析】【分析】（1）利用兩個公式分別代入即可；（2）設(shè)，則，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可．【小問1】解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．【小問2】解：設(shè)，則，，，，，解得；∴∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對稱軸是直線．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求線段的長；（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)可得出c的值，然后由對稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；

（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長，再求出MN的長，根據(jù)拋物線的對稱性求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對稱可求出OE的長；

（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a(bǔ)的值代入P點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案．解：（1）將點(diǎn)C（0，3）代入得c=3，又拋物線的對稱軸為直線x=1，∴-=1，解得b=2，∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；（2）如圖，令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，

∵，∴MN=×4=3，

根據(jù)二次函數(shù)對稱性，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，代入二次函數(shù)表達(dá)式得，y=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線MN對稱，∴CE=2×（3-）=，∴OE=OC-CE=；（3）如圖，過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，∴直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G