高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第一章　集合、常用邏輯用語不等式講義及試題

【標(biāo)題】第一章集合、常用邏輯用語不等式第一節(jié)集合1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義.3.（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；（3）能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.1.元素與集合（1）集合元素的三個(gè)特性：確定性、無序性、互異性；（2）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法；（3）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?；（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集），Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.提醒（1）解題時(shí)，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數(shù)集（即非負(fù)整數(shù)集），包含0，而N*（N＋）表示正整數(shù)集，不包含0.2.集合間的基本關(guān)系（1）子集：若對(duì)于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；（2）真子集：若A?B，存在x∈B，且x?A，則A?B；（3）相等：若A?B，且B?A，則A＝B；（4）?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示集合表示{x｜x∈A，或x∈B}{x｜x∈A，且x∈B}{x｜x∈U，且x?A}1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集. （）（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一個(gè)集合. （）（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（）（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1. （）（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}. （）答案：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）×2.（2022·全國(guó)甲卷）設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，則?U（A∪B）＝ （）A.{1，3}B.{0，3}C.{－2，1} D.{－2，0}解析：D集合B＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以?U（A∪B）＝{－2，0}.故選D.3.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，則A∩B＝ （）A.{－1，2} B.{1，2}C.{1，4} D.{－1，4}解析：B法一：由｜x－1｜≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}，故選B.法二：因?yàn)??B，所以4?A∩B，故排除C、D；又－1?B，所以－1?A∩B，故排除A.故選B.4.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，N為自然數(shù)集，則 （）A.2∈P B.P＝{－2，2}C.{?}?P D.P?N解析：ABP＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A正確且B正確.?不是P中的元素，故C錯(cuò)誤.因?yàn)椋??N，故P?N錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實(shí)數(shù)x的值為.

解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或41.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.等價(jià)關(guān)系：A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為 （）A.4B.6C.8D.9解析：C因?yàn)锳＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由結(jié)論1得A∩B的子集個(gè)數(shù)為23＝8，故選C.2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：如圖，在數(shù)軸上表示出A，B.由結(jié)論3可得A?B，所以a≤1.答案：（－∞，1]集合的基本概念1.2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”寓意創(chuàng)造非凡、探索未來；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”寓意點(diǎn)亮夢(mèng)想、溫暖世界.這兩個(gè)吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個(gè)數(shù)為 （）A.3B.4C.5D.6解析：C由集合中元素的互異性知，兩個(gè)“墩”相同，去掉一個(gè)，“容”“融”不同都保留，所以有5個(gè)元素.故選C.2.設(shè)集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （）A.2＜m＜5 B.2≤m＜5 C.2＜m≤5 D.2≤m≤5解析：C∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2?A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5.故選C.3.設(shè)集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，則集合B為.

解析：由題意知，0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.答案：{0，1，2}4.設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，則a2023＋b2024＝.解析：由題意知a≠0，因?yàn)閧1，a＋b，a}＝{0，ba，b}.所以a＋b＝0，則ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝答案：0｜練后悟通｜解決與集合含義有關(guān)問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定集合的類型是點(diǎn)集、數(shù)集，還是其它類型的集合；二是確定元素的一般特征；三是根據(jù)元素的限制條件（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.提醒集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意.集合間的基本關(guān)系【例1】（1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可為A的子集的是 （）A.{x｜－2＜x＜3}B.{x｜0＜x＜3}C.{0，1，2} D.{－1，1，2}（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}?{0，1，2}.故選C.（2）∵B?A，∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠?，則2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,答案（1）C（2）（－∞，3]｜解題技法｜1.判斷集合間關(guān)系的常用方法（1）化簡(jiǎn)集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡(jiǎn)表達(dá)式，再尋求兩個(gè)集合的關(guān)系；（2）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析并對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.提醒當(dāng)B為A的子集時(shí)，易漏掉B＝?的情況.1.設(shè)全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關(guān)系可表示為（）解析：A因?yàn)镹＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故選A.2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析：若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此時(shí)B＝{2，12}，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，答案：[－2，2）集合的基本運(yùn)算考向1集合的運(yùn)算【例2】（1）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合M＝{x｜x＜4}，N＝{x｜3x≥1}，則M∩N＝ （）A.{x｜0≤x＜2} B.xC.{x｜3≤x＜16} D.x（2）設(shè)全集U＝{x∈Z｜｜x｜≤2}，A＝{x｜x＋1≤0，x∈U}，B＝{－2，0，2}，則（?UA）∪B＝ （）A.{1} B.{0，2}C.{－2，0，1，2} D.（－1，2]∪{－2}解析（1）法一（直接法）：因?yàn)镸＝{x｜x＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因?yàn)镹＝{x｜3x≥1}，所以N＝x︱x≥13.所以M∩N＝法二（特取法）：觀察選項(xiàng)進(jìn)行特取，取x＝4，則4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，則1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故選D.（2）由題意可知U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1}，所以?UA＝{0，1，2}，又B＝{－2，0，2}，所以（?UA）∪B＝{－2，0，1，2}，故選C.答案（1）D（2）C｜解題技法｜集合基本運(yùn)算的方法技巧考向2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例3】（1）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，則A∪B＝ （）A.{1，2，3} B.{0，1，2，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}（2）已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜x≥a}，若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （）A.（－∞，－1） B.（－∞，－1]C.（－∞，0） D.（－1，0）解析（1）由于1∈A∩B，所以12－4×1＋m＝0，m＝3，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故選D.（2）如圖，在數(shù)軸上表示出集合A，若A∪B＝R，則由圖易知a≤－1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，－1]，故選B.答案（1）D（2）B｜解題技法｜利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）一般地，若已知集合的運(yùn)算結(jié)果（實(shí)質(zhì)是集合間的關(guān)系）求參數(shù)的值（范圍），一般先確定不同集合間的關(guān)系，即元素之間的關(guān)系，再列方程或不等式.在求解過程中要注意空集的討論，避免漏解；（2）運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.考向3集合的新定義問題【例4】（1）對(duì)于集合A，B，定義集合A－B＝{x｜x∈A且x?B}.已知集合U＝{x｜－2＜x＜6，x∈Z}，A＝{0，2，4，5}，B＝{－1，0，3}，則?U（A－B）＝ （）A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1，3} D.{0，1，3}（2）當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方的子集時(shí)，我們稱這兩個(gè)集合“相交”.對(duì)于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－12，12，1}，若M與N“相交”，則a＝解析（1）結(jié)合新定義可知A－B＝{2，4，5}，又U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，所以?U（A－B）＝{－1，0，1，3}，故選C.（2）M＝{－1a，1a}，若1a＝12，則a＝4，若1a＝1，則a＝1.當(dāng)a＝4時(shí)，M＝{－12，12}，此時(shí)M?N，不合題意；當(dāng)a＝1時(shí)，M＝{－答案（1）C（2）1｜解題技法｜解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)：解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).1.已知集合M＝{1，3}，N＝{1－a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，則a＝ （）A.－2 B.－1C.0 D.1解析：B因?yàn)镸∪N＝{1，2，3}，M＝{1，3}，2?M，所以2∈N，又N＝{1－a，3}，所以1－a＝2，解得a＝－1，故選B.2.已知集合M＝{x｜x2－3x－10＜0}，N＝{x｜－3≤x≤3}，且M，N都是全集R的子集，則如圖所示Venn圖中陰影部分所表示的集合為 （）A.{x｜3＜x≤5} B.{x｜x＜－3或x＞5}C.{x｜－3≤x≤－2} D.{x｜－3≤x≤5}解析：C由題圖知陰影部分所表示的集合為N∩（?RM）.∵M(jìn)＝{x｜x2－3x－10＜0}＝{x｜（x－5）·（x＋2）＜0}＝{x｜－2＜x＜5}，∴?RM＝{x｜x≤－2或x≥5}，∴N∩（?RM）＝{x｜－3≤x≤－2}，故選C.3.對(duì)于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x?B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝.

解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3}1.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，則（）A.P?QB.Q?PC.P∩Q＝P D.P∪Q＝Q解析：B由題意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q?P，故A錯(cuò)誤，B正確，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D錯(cuò)誤.故選B.2.設(shè)全集為R，集合A＝{y｜0＜y＜2}，B＝{x｜y＝x2-1}，則A∩（?RB）＝ A.{x｜－1＜x＜2} B.{x｜0＜x＜1}C.? D.{x｜0＜x＜2}解析：B由題意知B＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以?RB＝{x｜－1＜x＜1}，所以A∩（?RB）＝{x｜0＜x＜1}，故選B.3.已知全集U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝?，A∩（?UB）＝{1，2，4}，B＝{0，3，a}，則a＝ （）A.1 B.3C.5 D.6解析：C因?yàn)锳∩（?UB）＝{1，2，4}，所以1，2，4∈?UB，則1，2，4?B，1，2，4∈A，又U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝?，所以0，3，5∈B，即B＝{0，3，5}，所以a＝5.故選C.4.設(shè)集合A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)為 （）A.0 B.1C.2 D.3解析：C集合A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，∴A∩B＝{（x，y）y=x,y=x2}＝{（1，1），（0，0）}.∴集合A∩5.定義集合A，B的一種運(yùn)算：AB＝{x｜x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，則AB中的元素個(gè)數(shù)為 （）A.1 B.2C.3 D.4解析：C結(jié)合新定義計(jì)算得（－1）2－1＝0，02－1＝－1，（－1）2－2＝－1，02－2＝－2，所以AB＝{－2，－1，0}，故集合AB中的元素個(gè)數(shù)為3，故選C.6.（多選）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，則集合{x｜x≤－3或x≥1}＝ （）A.M∩N B.?RMC.?R（M∩N） D.?R（M∪N）解析：BC因?yàn)榧螹＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}，?RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以?R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}，?R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故選B、C.7.（多選）已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足（?UA）∪B＝B，則下列關(guān)系一定正確的是 （）A.A∩B＝? B.A∩B＝BC.A∪B＝U D.（?UB）∪A＝A解析：CD令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，滿足（?UA）∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故A、B均不正確；由（?UA）∪B＝B，知（?UA）?B，∴U＝A∪（?UA）?（A∪B），∴A∪B＝U，由（?UA）?B，知（?UB）?A，∴（?UB）∪A＝A，故C、D均正確.8.設(shè)全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若?SA＝{2，3}，則m＝.

解析：因?yàn)镾＝{1，2，3，4}，?SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m＝1×4＝4.答案：49.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，則A∩B＝，A∪B＝，（?RA）∪B＝.

解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（?RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.答案：（2，3）（1，4）（－∞，1\〗∪（2，＋∞）10.設(shè)I是全集，非空集合P，Q滿足P?Q?I，若含有P，Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是.

解析：由P?Q?I，可得Venn圖如圖所示，從而有P∩（?IQ）＝?.答案：P∩（?IQ）＝?（答案不唯一）11.已知非空集合A，B滿足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝?，且A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則集合A，B的所有可能情況種數(shù)為 （）A.1 B.2C.3 D.4解析：B易知A的元素個(gè)數(shù)不能為2，否則A，B中必然有一個(gè)含有元素2，且集合中元素個(gè)數(shù)為2，不合題意.所以A的元素個(gè)數(shù)為1或3，所以可能情況有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2種，故選B.12.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝?，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （）A.－23≤m＜13 B.mC.m≥13 D.0≤m＜解析：B由A∩B＝?，得：①若2m≥1－m，即m≥13時(shí)，B＝?，符合題意；②若2m＜1－m，即m＜13時(shí)，因?yàn)锳∩B＝?，則m<13,1-m≤1或m<13,2m≥3,解得0≤m13.某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂的講座，其中有85人聽了數(shù)學(xué)講座，70人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，其中16人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時(shí)聽了歷史、音樂講座，還有5人聽了全部講座，則聽講座的人數(shù)為 （）A.181 B.182C.183 D.184解析：D設(shè)全班同學(xué)是全集U，聽數(shù)學(xué)講座的人組成集合A，聽歷史講座的人組成集合B，聽音樂講座的人組成集合C，根據(jù)題意，用Venn圖表示，如圖所示.由Venn圖可知，聽講座的人數(shù)為62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184，故選D.14.（多選）如圖，A，B是全集U的兩個(gè)子集，則陰影部分表示的集合可以為 （）A.（?UA）∩B B.?B（A∩B）C.?U（A∩（?UB）） D.?A∪BA解析：ABD由圖知，陰影部分表示的集合中的元素在集合B中但不在集合A中，所以陰影部分表示的集合可以為（?UA）∩B，?B（A∩B），?A∪BA，故選A、B、D.15.（多選）已知集合A＝{x∈R｜x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R｜x2＋ax＋a2－27＜0}，則下列命題中正確的是 （）A.若A＝B，則a＝－3B.若A?B，則a＝－3C.若B＝?，則a≤－6或a≥6D.若B?A，則－6＜a≤－3或a≥6解析：ABCA＝{x∈R｜－3＜x＜6}，若A＝B，則a＝－3，且a2－27＝－18，故A正確.當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝B，故D不正確.若A?B，則（－3）2＋a·（－3）＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正確.當(dāng)B＝?時(shí)，a2－4（a2－27）≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正確.16.若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1＝A2時(shí)，（A1，A2）與（A2，A1）是集合A的同一種分拆.若集合A有三個(gè)元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是.

解析：不妨令A(yù)＝{1，2，3}，因?yàn)锳1∪A2＝A，當(dāng)A1＝?時(shí)，A2＝{1，2，3}，當(dāng)A1＝{1}時(shí)，A2可為{2，3}，{1，2，3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時(shí)，A2各有2種，當(dāng)A1＝{1，2}時(shí)，A2可為{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4種，同理A1＝{1，3}，{2，3}時(shí)，A2各有4種，當(dāng)A1＝{1，2，3}時(shí)，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27（種）不同的分拆.答案：27第二節(jié)常用邏輯用語1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?/pp是q的必要不充分條件p?/q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?/q且q?/p提醒若p是q的充分條件，則q是p的必要條件.反之，若p是q的必要條件，則q是p的充分條件，而如果p?q，那么p與q互為充要條件.2.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示；（2）存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示.3.全稱量詞命題與存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡(jiǎn)記?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）提醒對(duì)沒有量詞的命題否定時(shí)，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）“至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為π”是全稱量詞命題. （）（2）寫全稱量詞命題的否定時(shí)，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~. （）（3）當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件. （）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件. （）答案：（1）×（2）√（3）√（4）√2.已知命題p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為（）A.?x∈R，x＜sinxB.?x∈R，x≤sinxC.?x∈R，x≤sinx D.?x∈R，x＜sinx解析：C對(duì)全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，p：?x∈R，x＞sinx，則p的否定為：?x∈R，x≤sinx.故選C.3.“a＞b”是“ac2＞bc2”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B當(dāng)a＞b時(shí)，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a＞b?/ac2＞bc2，當(dāng)ac2＞bc2時(shí)，c2≠0，則a＞b，所以ac2＞bc2?a＞b，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分條件.4.已知命題p：?x∈R，sinx≥0，則下列說法正確的是 （）A.p的否定是存在量詞命題，且是真命題B.p的否定是全稱量詞命題，且是假命題C.p的否定是全稱量詞命題，且是真命題D.p的否定是存在量詞命題，且是假命題解析：A命題p：?x∈R，sinx≥0，該命題為假命題.p的否定是存在量詞命題，且是真命題.故選A.5.（2022·浙江高考）設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：A法一：由sinx＝1，得x＝2kπ＋π2（k∈Z），則cos2kπ+π2＝cosπ2＝0，故充分性成立；又由cosx＝0，得x＝kπ＋π2（k∈Z），而sinkπ+π2＝1或－1，故必要性不成立.所以“sinx＝1”是“cos法二：由sinx＝1，得x＝2kπ＋π2（k∈Z），則cos2kπ+π2＝cosπ2＝0，故充分性成立；又cos3π2＝0，sin3π2＝－1，故必要性不成立.所以“sinx＝1”是“cosx1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關(guān)系設(shè)A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.2.等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p是q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件.3.命題p和p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真假.1.命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是命題（填“真”或“假”）.

解析：因?yàn)楫?dāng)x＝－1時(shí)，（－1）2＋2×（－1）＋1＝0，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”為真命題，命題的否定“?x∈R，x2＋2x＋1≠0”，由結(jié)論3知，此命題的否定是假命題.答案：假2.已知命題p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析：由｜x｜≤1，即－1≤x≤1，由結(jié)論1、2知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.答案：（1，＋∞）全稱量詞命題與存在量詞命題考向1含量詞命題的否定及真假判定【例1】（1）（2023·武漢模擬）命題“?x∈[0，＋∞），x3＋x≥0”的否定是 （）A.?x∈（－∞，0），x3＋x＜0B.?x∈（－∞，0），x3＋x≥0C.?x∈[0，＋∞），x3＋x＜0D.?x∈[0，＋∞），x3＋x≥0（2）（多選）下列命題為假命題的是 （）A.?x∈R，ln（x2＋1）＜0B.?x＞2，2x＞x2C.?α，β∈R，sin（α－β）＝sinα－sinβD.?x∈（0，π），sinx＞cosx解析（1）含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，所以命題“?x∈[0，＋∞），x3＋x≥0”的否定是“?x∈[0，＋∞），x3＋x＜0”，故選C.（2）∵x2＋1≥1，∴l(xiāng)n（x2＋1）≥0，故A是假命題；當(dāng)x＝3時(shí)，23＜32，故B是假命題；當(dāng)α＝β＝0時(shí)，sin（α－β）＝sinα－sinβ，故C是真命題；當(dāng)x＝π6∈（0，π）時(shí)，sinx＝12，cosx＝32，sinx＜cosx，故D是假命題.故選A、B答案（1）C（2）ABD｜解題技法｜1.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法（1）全稱量詞命題：①要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x，證明p（x）成立；②要判斷一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量詞命題：要判斷一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.2.對(duì)全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的方法（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；（2）否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.考向2由命題的真假求參數(shù)【例2】已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析因?yàn)槊}“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，使ax2－x＋2＞0”是真命題，當(dāng)a＝0時(shí)，得x＜2，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，得a>0,Δ=1-答案1｜解題技法｜由命題的真假求參數(shù)的策略（1）巧用三個(gè)轉(zhuǎn)化：①全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；②存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；③全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.（2）準(zhǔn)確計(jì)算：通過解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.1.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是 （）A.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2B.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2C.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2D.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2解析：D?改寫為?，?改寫為?，n≤x2的否定是n＞x2，則該命題的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2”.2.若命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （）A.a＞0 B.a≥0C.a≤0 D.a≤1解析：B依題意，命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則ax2＋1≥0在x∈R上恒成立.當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0成立，滿足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，ax2＋1≥0成立，滿足題意；當(dāng)a＜0時(shí)，曲線y＝ax2＋1開口向下，ax2＋1≥0不恒成立.綜上所述，a≥0.故選B.充分條件、必要條件的判定【例3】（1）設(shè)x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2）在等比數(shù)列{an}中，公比為q，a1＝1，則“0＜q＜1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞減”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.（2）由題意知等比數(shù)列{an}中首項(xiàng)a1＝1，公比為q，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝qn－1，所以“0＜q＜1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞減”的充要條件，故選C.答案（1）B（2）C｜解題技法｜充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；（2）集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.1.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則B＝90°，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，綜上“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.2.（2021·全國(guó)甲卷）等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：B當(dāng)a1＜0，q＞0時(shí)，an＝a1qn－1＜0，此時(shí)數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0（n∈N*），即q＞0；若a1＜0，則qn＜0（n∈N*），不存在.所以甲是乙的必要條件.充分、必要條件的探究與應(yīng)用【例4】已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為.

解析由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，∴1-m≥-2,1+m≤10,1-m≤1+m,解得0≤m≤3，故答案[0，3]1.（變條件）本例中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤皒∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P?S.∴[－2，10]?[1－m，1＋m].∴1-m≤-2,1+m>10或1-m<-2.（變?cè)O(shè)問）本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由.解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴1-m=-2,｜解題技法｜應(yīng)用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)取決于端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.1.（多選）使2x≥1成立的一個(gè)充分不必要條件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤2解析：AB由2x≥1得0＜x≤2，依題意由選項(xiàng)組成的集合是（0，2]的真子集，故選A、B2.設(shè)p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由題意知{x｜1＜x＜2}?{x｜（x－a）（x－1）≤0}，則a＞1，即{x｜1＜x＜2}?{x｜1≤x≤a}，從而a≥2.答案：[2，＋∞）微專題1突破雙變量“存在性或任意性”問題邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá).解決雙變量“存在性或任意性”問題的關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系（兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系），目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).一、形如“對(duì)任意x1∈A，存在x2∈B，使g（x2）＝f（x1）成立”【例1】已知函數(shù)f（x）＝-4x+5x+1，g（x）＝asinπ3x＋2a（a＞0），若對(duì)任意x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，2]使g（x1）＝f（x2解析∵x∈[0，2]，∴f（x）＝-4x+5x+1＝－4＋9x+1∈[－1，5]，∵x∈[0，2]，a＞0，∴g（x）∈[2a，3a]，由題意得[2a，3a]?[－1，5]，∴2a≥-答案0點(diǎn)評(píng)理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類問題求解的策略是“等價(jià)轉(zhuǎn)化”，即“函數(shù)g（x）的值域是f（x）的值域的子集”，從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，求得參數(shù)范圍.已知函數(shù)f（x）＝x＋4x，g（x）＝2x＋a，若?x1∈12,1，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），則實(shí)數(shù)a解析：依題意知f（x）max≤g（x）max.∵f（x）＝x＋4x在12,1上是減函數(shù)，∴f（x）max＝f12＝172.又g（x）＝2x＋a在[2，3]上是增函數(shù)，∴g（x）max＝8＋a，因此172≤8＋答案：1二、形如“存在x1∈A，x2∈B，使f（x1）＝g（x2）成立”【例2】已知函數(shù)f（x）＝-x2+ax,x≤1,3ax-7,x>1,若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得A.[3，＋∞）B.（3，＋∞）C.（－∞，3）D.（－∞，3]解析函數(shù)f（x）＝-x2+ax,x≤1,3ax-7,x>1,存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，當(dāng)a2＜1，即a＜2時(shí)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，存在x1，x2∈（－∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，當(dāng)a且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，則－1＋a＞3a－7，解得a＜3，∴2≤a＜3，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，3）.故選C.答案C點(diǎn)評(píng)此類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f（x）與g（x）的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.另外，若把此種類型中的兩個(gè)“存在”均改為“任意”，則“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”來求解參數(shù)范圍.已知函數(shù)f（x）＝2x，x∈0,12，函數(shù)g（x）＝kx－2k＋2（k＞0），x∈0,12，若存在x1∈0,12及x2∈0,12，使得f（x解析：由題意，易得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]，g（x）的值域?yàn)?-2k,2-3k2，并且兩個(gè)值域有公共部分.先求沒有公共部分的情況，即2－2k＞1或2－32k＜0，解得k＜12答案：1三、形如“對(duì)任意x1∈A，任意x2∈B，使f（x1）＞g（x2）成立”【例3】已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，對(duì)任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，則f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，0）.答案（－∞，0）點(diǎn)評(píng)理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f（x）min＞g（x）max，利用函數(shù)的單調(diào)性，求f（x）的最小值與g（x）的最大值，得關(guān)于a的不等式求得a的范圍.已知函數(shù)f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝12x－m，若對(duì)?x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是解析：當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）min＝f（0）＝0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g（x）max＝g（1）＝12－m，由f（x）min≥g（x）max，得0≥12－m，所以m≥答案：11.（2023·開封模擬）命題“?x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定為 （）A.?x∈R，x＋｜x｜＜0B.?x∈R，x＋｜x｜≠0C.?x∈R，x＋｜x｜＜0 D.?x∈R，x＋｜x｜≥0解析：C根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，知命題“?x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定為“?x∈R，x＋｜x｜＜0”，故選C.2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）A.?x∈R，x2＋2x＋1＞0B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，若a－b＜0，則a＜bC.若2x為偶數(shù)，則x∈ND.π是無理數(shù)解析：B對(duì)于A，?x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題且是真命題，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)x＝－1時(shí)，2x＝－2，為偶數(shù)，但x?N，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，π是無理數(shù)不是全稱量詞命題，故D錯(cuò)誤.故選B.3.（2021·浙江高考）已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：B由a·c＝b·c可得（a－b）·c＝0，所以（a－b）⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.故選B.4.若p：x2－4＜0，q：log2x＜1，則p是q的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B由題意p：－2＜x＜2，q：0＜x＜2，即q成立能得出p成立，但p成立不能得出q成立，故p是q的必要不充分條件，故選B.5.設(shè)m∈R，則“m≤2”是“函數(shù)f（x）＝x2－mx在[1，＋∞）上單調(diào)遞增”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C若函數(shù)f（x）＝x2－mx＝x-m22－m24在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，則m2≤1，解得m≤2，所以“m≤2”是“函數(shù)f（x）＝x2－mx在[1，＋∞）6.（多選）已知兩條直線l，m及三個(gè)平面α，β，γ，則α⊥β的充分條件是 （）A.l?α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γ D.l?α，m?β，l⊥m解析：ABC由面面垂直的判定可以判斷A、B、C符合題意；對(duì)于D，l?α，m?β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合題意.故選A、B、C.7.（多選）下列說法中正確的是 （）A.“x＞1”是“x2＋x－2＞0”的必要不充分條件B.“x＞0”是“x＞sinx”的充要條件C.“?x∈R，12x＋1＞D.“?x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是“?x∈R，x2－x＋1＜0”解析：BC對(duì)于A，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，所以“x＞1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)f（x）＝x－sinx，則f'（x）＝1－cosx≥0，所以f（x）是R上的增函數(shù)，又f（0）＝0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，即x＞sinx，反之也成立，所以“x＞0”是“x＞sinx”的充要條件，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?2x＞0對(duì)任意x∈R恒成立，所以12x＋1＞1＞0，所以“?x∈R，12x＋1＞0”是真命題，故C正確；對(duì)于D，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以“?x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是“?x∈R，x2－x＋1≤0”，故D錯(cuò)誤8.命題p：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α不平行.則命題p是命題（填“真”或“假”）.

解析：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α相交，所以直線l與平面α不平行，所以命題p為真命題，所以p為假命題.答案：假9.能說明“若f（x）＞f（0）對(duì)任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

解析：設(shè)f（x）＝sinx，則f（x）在0,π2上是增函數(shù)，在π2,2上是減函數(shù).由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性知，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）＞f（0）＝sin0＝0，故f（x）＝sinx滿足條件f（x）＞f（0）對(duì)任意的x∈（0，2]都成立，但f（x）在[答案：f（x）＝sinx（答案不唯一）10.條件p：x＞a，條件q：x≥2.（1）若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是；

（2）若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是.

解析：設(shè)A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}，（1）因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B，所以a≥2.（2）因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以B?A，所以a＜2.答案：（1）[2，＋∞）（2）（－∞，2）11.王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請(qǐng)問“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的 （）A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件解析：D根據(jù)王安石的說法，“能至”一定“有志”，但不是只要“有志”就一定“能至”.所以“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的必要不充分條件.12.設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，則能表示“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個(gè)電路圖是 （）解析：C選項(xiàng)A：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項(xiàng)B：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項(xiàng)C：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項(xiàng)D：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件.故選C.13.已知p：｜x＋a｜＜2，q：x≥a，且p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（－∞，－1] B.（－∞，－1）C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）解析：Ap：｜x＋a｜＜2，即p：－a－2＜x＜－a＋2，記為A＝{x｜－a－2＜x＜－a＋2}.q：x≥a，記為B＝{x｜x≥a}.因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B.所以a≤－a－2，解得a≤－1.故選A.14.若命題“?x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是 （）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由題意，?x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，則當(dāng)x∈（－1，3）時(shí)，a≥h（x）有解，即a≥h（x）min（x∈（－1，3））.因?yàn)楹瘮?shù)h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，所以h（x）在（－1，3）上的最小值為h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是－1.故選A.15.已知p：?x∈R，mx2＋2＞0；q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0.若p，q都是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析：若p為真命題，則m＝0或m>0,-8m<0,所以m≥0；若q為真命題，則4m2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.故實(shí)數(shù)答案：[1，＋∞）第三節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.掌握等式的性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較（1）a＞b?a－b＞0；（2）a＝b?a－b＝0；（3）a＜b?a－b＜0.2.等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)稱性：如果a＝b，那么b＝a；（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b3.不等式的性質(zhì)（1）對(duì)稱性：a＞b?b＜a；（2）傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；（3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；（4）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；（5）可乘方性：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，n≥2）；（6）可開方性：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，n≥1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關(guān)系中的一種. （）（2）若a＞b，則ac2＞bc2. （）（3）若ab＞1，則a＞b. （（4）a＝b?ac＝bc. （）答案：（1）√（2）×（3）×（4）×2.設(shè)M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），則有 （）A.M＞NB.M≥NC.M＜N D.M≤N解析：A因?yàn)镸－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故選A.3.設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（）A.ac＞bc B.1a＜C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c解析：D對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)c≤0時(shí)，不等式ac＞bc不成立，故A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，不等式1a＜1b不成立，故B不正確.對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，不等式a2＞b2不成立，故C不正確.選項(xiàng)D正確，故選4.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，則a－b的取值范圍是 （）A.（－3，2） B.（－6，5）C.（－4，7） D.（－5，－1）解析：B∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.1.倒數(shù)性質(zhì)（1）a＞b，ab＞0?1a＜1（2）a＜0＜b?1a＜1（3）a＞b＞0，d＞c＞0?ac＞b2.分?jǐn)?shù)性質(zhì)若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ba＜b+ma+m；ba＞b（2）假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ab＞a+mb+m；ab＜a下列命題中，正確的序號(hào)是.

①若a＜b，則ac2＜bc2；②若b＞a＞0，則a+2b+2③若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d；④若ab＞0，a＞b，則1a＜1解析：①中，當(dāng)c＝0時(shí)不成立，故①不正確；②中，由分?jǐn)?shù)性質(zhì)知②正確；③中，因?yàn)閍＞b，（－c）＜（－d），不滿足不等式的同向相加性，故③不正確；④中，因?yàn)閍b＞0，所以a，b同號(hào)，所以當(dāng)a＞b時(shí)，1a＜1b，故④正確.綜上可知②④答案：②④比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小1.設(shè)a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a+b，則A，B的大小關(guān)系是 （A.A≤BB.A≥BC.A＜B D.A＞B解析：B由題意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.若a＜0，b＜0，則p＝b2a＋a2b與q＝a＋b的大小關(guān)系為A.p＜q B.p≤qC.p＞q D.p≥q解析：Bp－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2-a2a＋a2-b2b＝（b2－a2）·1a-1b＝(b2-a2)(b-a)ab＝(b-a)2(b+a)ab，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝3.若a＝ln22，b＝ln33，則ab解析：易知a，b都是正數(shù)，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b＞答案：＜｜練后悟通｜比較大小的常用方法（1）作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.不等式的基本性質(zhì)【例1】（1）（2023·珠海模擬）已知a，b∈R，滿足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，則 （）A.1a＜1b B.ba＋C.a2＞b2 D.a＜｜b｜（2）（多選）若1a＜1b＜0，則下列不等式正確的是 （A.1a+b＜1ab B.｜aC.a－1a＞b－1b D.lna2＞ln解析（1）因?yàn)閍b＜0，a＞b，則a＞0，b＜0，1a＞0，1b＜0，A不正確；ba＜0，ab＜0，則ba＋ab＜0，B不正確；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，則a2＞（－b）2，a2＞b2，C正確；由a＞－b＞0得a（2）由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.A中，因?yàn)閍＋b＜0，ab＞0，所以1a+b＜0，1ab＞0.故有1a+b＜1ab，即A正確；B中，因?yàn)閎＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B錯(cuò)誤；C中，因?yàn)?a＜1b＜0，則－1a＞－1b＞0，0＞a＞b，所以a－1a＞b－1b，故C正確；D中，因?yàn)閎＜a＜0，根據(jù)y＝x2在（－∞，0）上單調(diào)遞減，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定義域（0，＋∞）上單調(diào)遞增答案（1）C（2）AC｜解題技法｜判斷不等式的常用方法（1）直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.1.“a＋b＞2c”的一個(gè)充分條件是 （）A.a＞c或b＞c B.a＞c且b＜cC.a＞c且b＞c D.a＞c或b＜c解析：C對(duì)于A，a＞c或b＞c，不能保證a＋b＞2c成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a＞c且b＜c，不能保證a＋b＞2c成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，a＞c且b＞c，由同向不等式相加的性質(zhì)，可以推出a＋b＞2c，故C正確；對(duì)于D，a＞c或b＜c，不能保證a＋b＞2c成立，故D錯(cuò)誤.故選C.2.（多選）已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若a＞b，c＞d，則ac＞bdB.若ab＞0，bc－ad＞0，則ca－dbC.若a＞b，c＞d，則a－d＞b－cD.若a＞b，c＞d＞0，則ad＞解析：BC若a＞0＞b，0＞c＞d，則ac＜bd，故A錯(cuò)誤；若ab＞0，bc－ad＞0，則bc-adab＞0，化簡(jiǎn)得ca－db＞0，故B正確；若c＞d，則－d＞－c，又a＞b，則a－d＞b－c，故C正確；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，則ad＝－1，bc＝－1，ad＝bc＝－1，不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例2】（1）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，則x－y的取值范圍是，3x＋2y的取值范圍是；

（2）已知3＜a＜8，4＜b＜9，則ab的取值范圍是.解析（1）∵－1＜x＜4，2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，∴－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.（2）∵4＜b＜9，∴19＜1b＜14，又3＜a＜8，∴19×3＜ab＜14×8，即答案（1）（－4，2）（1，18）（2）1｜解題技法｜利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體的數(shù)量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系運(yùn)算求解.已知1＜a＜b＜3，則a－b的取值范圍是，ab的取值范圍是.解析：因?yàn)?＜a＜b＜3，所以1＜a＜3，－3＜－b＜－1，所以－2＜a－b＜2，因?yàn)閍＜b，所以－2＜a－b＜0；因?yàn)?3＜1b＜1，1＜a＜b，所以13＜a答案：（－2，0）11.“m＞0且n＞0”是“mn＞0”成立的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：A由m＞0且n＞0，得mn＞0成立，充分性成立；而mn＞0時(shí)，m＞0且n＞0或m＜0且n＜0，必要性不成立.故選A.2.若a，b∈R，且a＞｜b｜，則 （）A.a＜－b B.a＞bC.a2＜b2 D.1a＞解析：B由a＞｜b｜得，當(dāng)b≥0時(shí)，a＞b，當(dāng)b＜0時(shí)，a＞－b，綜上可知，當(dāng)a＞｜b｜時(shí)，則a＞b成立，故選B.3.把下列各題中的“＝”全部改成“＜”，結(jié)論仍然成立的是 （）A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－dB.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bdC.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么ac＝D.如果a＝b，那么a3＝b3解析：D對(duì)于A，如果a＜b，c＜d，那么a－c＜b－d不一定正確，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；對(duì)于B，如果a＜b，c＜d，那么ac＜bd不一定正確，如－2＜－1，1＜4，此時(shí)ac＞bd；對(duì)于C，如果a＜b，c＜d，且cd≠0，那么ac＜bd不一定正確，如1＜2，1＜8，此時(shí)ac＞bd；4.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A.ad＞bc B.aC.ac＞bd D.a解析：B因?yàn)閏＜d＜0，所以0＞1c＞1d，兩邊同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性質(zhì)可知－ad＞－bc＞0.兩邊同乘－15.已知a＋b＜0，且a＞0，則 （）A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2解析：A法一：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因?yàn)閍2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因?yàn)?＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故選A.法二：令a＝1，b＝－2，則a2＝1，－ab＝2，b2＝4，從而a2＜－ab＜b2，故選A.6.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系為 （）A.a＜b≤c B.b≤c＜aC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析：A∵c－b＝4－4a＋a2＝（a－2）2≥0，∴c≥b，又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，兩式相減得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝a-122＋34＞0，∴b＞a，∴a7.（多選）已知a＞b＞c，則下列不等式一定成立的是 （）A.a＋b＞2c B.a－b＞b－cC.ac＞bc D.1a-解析：AD根據(jù)a＞b＞c，取a＝1，b＝0，c＝－1，則可排除B、C.因?yàn)閍＋b－2c＝a－c＋b－c＞0，所以a＋b＞2c；因?yàn)?a-c－1b-c＝b-a(a-c)(8.（多選）設(shè)a＞b＞1，c＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A.ca＞cb B.acC.a（b－c）＞b（a－c） D.ac＞解析：ABC對(duì)于A，∵a＞b＞1，c＜0，∴ca－cb＝c(b-a)ab＞0，∴ca＞cb，故A正確；對(duì)于B，∵－c＞0，∴a·（－c）＞b·（－c），∴－ac＞－bc，∴ac＜bc，故B正確；對(duì)于C，∵a＞b＞1，∴a（b－c）－b（a－c）＝ab－ac－ab＋bc＝－c（a－b）＞0，∴a（b－c）＞b（a－c），故C正確；對(duì)于D，∵1c＜0，a＞b9.（多選）已知a＞b≥2，則 （）A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1解析：BCa＞b≥2，取a＝3，b＝2，則b2＜3b－a不成立，故A不成立；a3＋b3－（a2b＋ab2）＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）2（a＋b）＞0，故B成立；ab－a－b＝a（b－1）－b＝（b－1）a-bb-1＝（b－1）·a-1+12＋2ab－1a－1b＝(a-2)(b-2)10.（多選）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式正確的是 （）A.c2＜cd B.a－c＜b－dC.ac＞bd D.ca－db解析：AD對(duì)于A，c2－cd＝c（c－d）＜0，所以A正確；對(duì)于B，a－c－（b－d）＝（a－b）－（c－d），無法判斷與0的大小關(guān)系，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨設(shè)a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ac＝bd，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，ca－db＝bc-adab＞ac-adab＝a(c-d11.15-2解析：分母有理化有15-2＝5＋2，16-5＝6＋5，顯然5＋2＜6＋5答案：＜12.已知a，b為實(shí)數(shù)，且a≠b，a＜0，則a2b－b2a解析：因?yàn)閍≠b，a＜0，所以a－2b-b2a＝(a-b)2a答案：＜13.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，則p是q的條件.

解析：當(dāng)a＞｜b｜時(shí)，易得a＞｜b｜≥0，故a2＞b2，充分性成立；當(dāng)a2＞b2時(shí)，則｜a｜＞｜b｜，當(dāng)a＞0時(shí)，a＞｜b｜，當(dāng)a＜0時(shí)，－a＞｜b｜，必要性不成立.故p是q的充分不必要條件.答案：充分不必要14.已知a，b∈R，給出下面三個(gè)論斷：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：解析：若a＞b，a＜0且b＜0，則1a＜1b，證明：1a－1b＝b-aab，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，則1a－1b＝答案：若a＞b，a＜0且b＜0，則1a＜115.（多選）下列四個(gè)條件中，能成為x＞y的充分不必要條件的是 （）A.xc2＞yc2 B.1x＜1yC.｜x｜＞｜y｜ D.lnx＞lny解析：ABD對(duì)于A選項(xiàng)，若xc2＞yc2，則c2≠0，則x＞y，反之x＞y，當(dāng)c＝0時(shí)得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由1x＜1y＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1x＜1y＜0（因?yàn)閤，y的正負(fù)不確定），所以“1x＜1y＜0”是“x＞y”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，則（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若lnx＞lny，則x＞y，反之x＞y得不出lnx＞lny，所以“l(fā)nx＞lny”是“x＞y”16.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則ca的取值范圍是.解析：因?yàn)閍＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因?yàn)閍＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得ca＜－1，所以－3＜ca答案：（－3，－1）17.（1）已知a＋b＞0，試比較ab2＋ba2與（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求證：a+bb解：（1）ab2＋ba2－1＝（a－b）·1b2-∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴(a+b∴ab2＋ba2≥（2）證明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥∴cd＋1≥ab＋1，∴a+18.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c(diǎn)｜.（1）求證：b＋c＞0；（2）求證：b+c(（3）在（2）的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足b+c(解：（1）證明：因?yàn)椋黚｜＞｜c(diǎn)｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.（2）證明：因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，所以（a－c）2＞（b－d）2＞0，所以0＜1(a-c)因?yàn)閍＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，所以a＋d＞b＋c＞0.②①②相乘得b+c(（3）因?yàn)閍＋d＞b＋c＞0，0＜1(a-所以b+c(a-c)2＜b+所以b+c(b-d第四節(jié)一元二次不等式及其解法1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義；能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－b沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x｜x＜x1，或x＞x2}xRax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集{x｜x1＜x＜x2}??1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）ax2＋bx＋c＜0為一元二次不等式. （）（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為（x1，x2），則必有a＞0. （）（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集為R. （）（4）不等式ax2＋bx＋c≤0（a＜0）在R上恒成立的條件是Δ＝b2－4ac≤0. （）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2.不等式x2＋2x－3＞0的解集為 （）A.{x｜－3＜x＜1}B.{x｜－1＜x＜3}C.{x｜x＜－3或x＞1}D.{x｜x＜－1或x＞3}解析：C根據(jù)題意，方程x2＋2x－3＝0有兩個(gè)根，即－3和1，則x2＋2x－3＞0的解集為{x｜x＜－3或x＞1}.3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為{x︱－12＜x＜13}，則a－b＝ （A.－10B.－14C.10 D.14解析：A∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個(gè)根，∴a4-b2+2=0,a4.不等式－x2－3x＋4＞0的解集為（用區(qū)間表示）.

解析：由－x2－3x＋4＞0可知，（x＋4）（x－1）＜0，得－4＜x＜1.答案：（－4，1）1.分式不等式的解法（1）f(x)g(x)＞0（＜0）?f（x）·g（2）f(x)g(x)2.一元二次不等式恒成立的條件（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要條件是a（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要條件是a1.不等式x-12x+1≥解析：由結(jié)論1不等式變?yōu)?x-1)(2x+1)≥0答案：-∞,-12∪[1，＋2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式mx2＋mx－1＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析：當(dāng)m＝0時(shí)，mx2＋mx－1＝－1＜0，不等式恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，由結(jié)論2得，m<0,Δ=m2+4m<0,解得－4＜m＜0.答案：（－4，0]一元二次不等式的解法考向1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：（1）－3x2－2x＋8≥0；（2）0＜x2－x－2≤4.解（1）原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤43所以原不等式的解集為x-（2）原不等式等價(jià)于x2x2-xx>2或x<原不等式的解集為x-｜解題技法｜解一元二次不等式的4個(gè)步驟考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.解原不等式可化為（ax－1）（x－1）＜0，因?yàn)閍＞0，所以ax-1a（x－1所以當(dāng)a＞1時(shí)，解為1a＜x＜1當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解為1＜x＜1a綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為x1<當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為x1｜解題技法｜解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟（1）若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；（2）判斷方程根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系；（3）確定方程無根時(shí)，可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定不等式的解集.1.不等式x2＜4x＋5的解集為 （）A.（－∞，－5）∪（1，＋∞）B.（－∞，－1）∪（5，＋∞）C.（－1，5）D.（－5，1）解析：C不等式x2＜4x＋5，即x2－4x－5＜0，所以（x＋1）·（x－5）＜0，解得－1＜x＜5.所以原不等式的解集為（－1，5）.故選C.2.（2021·上海高考）不等式2x+5x-2＜解析：2x+5x-2＜1，即2x+5x-2－1＜0，即x+7x-2＜0，答案：（－7，2）3.解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）.解：原不等式可化為12x2－ax－a2＞0，即（4x＋a）（3x－a）＞0，令（4x＋a）（3x－a）＝0，解得x1＝－a4，x2＝a當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為-∞,-a4∪當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為（－∞，0）∪（0，＋∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為-∞,a3∪三個(gè)二次的關(guān)系【例3】（多選）若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是（－1，2），則 （）A.相應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象開口向下B.b＜0且c＞0C.a＋b＋c＞0D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R解析由題意知a＜0，所以A正確；由題意可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的兩個(gè)根，所以-1+2=ba,-1×2=ca,所以b=a,c=-2a,得b＜0，c＞0，所以B正確；因?yàn)椋?是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程得a＋b＋c＝0，所以C不正確；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因?yàn)閍＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即（x＋1答案AB｜解題技法｜1.一元二次方程的