2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題10平行四邊形的存在性問題(學(xué)生版+解析)

專題10平行四邊形的存在性問題一、知識導(dǎo)航考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．二、典例精析平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（m，0），D點坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標(biāo)，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標(biāo)．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．三、中考真題演練1．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標(biāo)原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負(fù)半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．7．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．8．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；9．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)；專題10平行四邊形的存在性問題一、知識導(dǎo)航考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．二、典例精析平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（m，0），D點坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標(biāo)，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標(biāo)．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．三、中考真題演練1．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標(biāo)原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線，將點代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，過點作軸交于點，過點作交于點，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．（3）先得出直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，可得，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，進(jìn)而建立方程，得出點的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴①，將點代入得，∴②，聯(lián)立①②得，，∴解析式為；（2）設(shè)，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，則，∴解得：或（舍去），（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對角線時，，

，∵，∴，由對稱性可知，，∴，∴解得：∴點的坐標(biāo)為或如圖3，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，，

由對稱性可知，，∴，∴，解得：或，∴點的坐標(biāo)為或綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．2．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)的值為1；(2)①；②假設(shè)存在，頂點E的坐標(biāo)為，或．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直線的表達(dá)式為：，得到點的坐標(biāo)為；由垂徑定理知，點在的中垂線上，則；由四邊形為平行四邊形，則，求出，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：把代入得；故的值為1；（2）解：①在中，令，則，解得或，，，點在函數(shù)的圖象上，，令，得，即當(dāng)，且，則，解得：（正值已舍去），即時，點到達(dá)最高處；②假設(shè)存在，理由：對于，當(dāng)時，，即點，由①得，，，，對稱軸為直線，由點、的坐標(biāo)知，，作的中垂線交于點，交軸于點，交軸于點，則點，則，則直線的表達(dá)式為：．當(dāng)時，，則點的坐標(biāo)為．由垂徑定理知，點在的中垂線上，則．四邊形為平行四邊形，則，解得：，即，且，則，∴頂點E的坐標(biāo)為，或．3．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負(fù)半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點，點，設(shè)拋物線的解析式為，把點，點代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；4．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點，設(shè)點，點，分類討論：當(dāng)為邊，為對角線時，當(dāng)為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當(dāng)時，∴點設(shè)點，點，當(dāng)為邊，為對角線時，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點Q坐標(biāo)；當(dāng)為邊，為對角線時，同理得，解得，或，∴∴點Q坐標(biāo)或綜上，點Q坐標(biāo)，或或；5．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）分，，分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，∴，解得：，∴；（3）解：存在；∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：①為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；②當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；③當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作交拋物線于點，垂足為，連接，，由點在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，∴，∴；（2）四邊形是平行四邊形．理由：如圖1，作交拋物線于點，垂足為，連接，．∵點在上，∴，，連接，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴四邊形是平行四邊形；7．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．根據(jù)中點坐標(biāo)公式，分類討論即可求解，①當(dāng)以為對角線時，②當(dāng)以為對角線時，③當(dāng)以為對角線時．【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標(biāo)為對稱軸為與x軸另一交點為

∴設(shè)拋物線為∴拋物線的表達(dá)式為（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為由（2）知設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．

①當(dāng)以為對角線時，平行