第五章一元函數(shù)積分學(xué)

第五章一元函數(shù)積分

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學(xué)

5.1原函數(shù)和不定積分的概念

一、原函數(shù)與不定積分的概念

:?一手寫板圖示0501-01

(x2)*=2x

(?);=x2

X3

?'=X2飛-是d的一個(gè)原函數(shù)

Y3y3

(=+5)'=x2—+C

0u

定義：如果在區(qū)間I內(nèi)，存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使Vxe/都有F(x)=f(x)或dF

(x)=f(x)dx,那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)在區(qū)間1內(nèi)原函數(shù)。

9

例：(sinx)=cosx,sinx是cosx的原函數(shù)。

,J1

(Inx)=-(x>0)

x

J.

Lnx是%在區(qū)間(0,+co)內(nèi)的原函數(shù)。

.?手寫板圖示0501-02

F'(x)=f(x)dF(x)=F'(x)■dx

dF(x)=f(x)dx

原函數(shù)存在定理:

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使VxC/,

都有F(x)=f(x)?

簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)?一定有原函數(shù)。

問題：(1)原函數(shù)是否唯一？

(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？

例：(sinx)'=cosx(sinx+C)'=cosx

(C為任意常數(shù))

關(guān)于原函數(shù)的說明：

(1)若F'(x)=f(x),則對(duì)于任意常數(shù)C,F(x)+C都是f(x)的原函數(shù)。

(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)-G(x)=C(C為任意常數(shù))

證?.?[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)

=f(x)=f(x)=0

.?.F(x)-G(x)=C(C為任意常數(shù))

不定積分的定義：

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)的集合稱f(x)的不定積分，記為/f(x)dx?

=+其中/為“積分號(hào)”，f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為被積表

達(dá)式，C為任意常數(shù)。

"手寫板圖示0501-05

ScosXdx=sinX4-C

例:求w

【答疑編號(hào)11050101：針對(duì)該題提問】

例：求'1+/。

【答疑編號(hào)11050102：針對(duì)該題提問】

(1

■:(arctanx)=-----,

解：l+x'

1

/.fI-----dx=arctanx+C.

J1+x2

積分曲線

例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求

此曲線方程。

【答疑編號(hào)11050103：針對(duì)該題提問】

解：設(shè)曲線方程為y=f(x),

型=2x

根據(jù)題意知公

即f(x)是2x的一個(gè)原函數(shù)。

,:[2xdx=x:+C,/(x)=x2+C

由曲線通過點(diǎn)(1,2)=0=1

所求曲線方程為y=x2+l1,

函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。顯然，求不定積分得到一積分

曲線族。

不定積分的性質(zhì)

幺]f(x)司=f(x)dx]=f8dx

I-上手寫板圖示0501-07

dd

—[f(x)dx]=-[F(x)+C]

axax

=F/(x)=f(x)

Tf(x)dx=F(x)+c

d[Jf(X)dx]=[Tf(X)dx]/■dx

=f(X)dx

IF\x)dx=尸(x)+C,|dF(x)=F(x)+C

上手寫1板圖示0501-08

.T(F^(x^dx=F(x)4-C

JdF(x)=jF'(x)dx=F(x)4-C

結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的。

5.2基本積分公式

產(chǎn)1r廣］

--=xu^\xudx=-—+C(〃H-1)

實(shí)例+L*〃+1

啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？

結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式。

基本積分表

\kdx=kx+C(A^：常數(shù))；

./-I

Ixudx=--+C

(2)J〃+1

人手寫板圖示0501-09

J---dx

x

Un|x|"in(-x\x<0

\AA-^AZ

(In|x|)=<

^lnxx>0

f■(-1)x<0

一X

(In|x|)「=v

、—x>0

x

x>02[—=lnx+C

說明：?x

x<0sDn(-x)y=—(-x/=l

-xX

=>|—=ln(-x)-FC:.*.|—=In|x|4-C;

JxJx

rdx_

I—=tInx+C

簡(jiǎn)寫為.x

I—=arctanx+C

(4)'l+x，

■木手寫板圖示0501-11

f---------7dx=-azccotX+C

1+X2

[J、dx=arcsinx+C

⑸.Jl一片；

⑹[cosxd!r=sinx+C

[sinxtir=~cosx+C

\7)'；

I空=Isec:xc￡r=tanx+C

(8),cos"x"

j坐=[csc2x(iv=-cotx+C

(9)'sinx」

a。)[secxtanAz/x=secx+C

Iescxcotxdx=-escx+C

(11)!；

Iexdx=ez4-C

(12)J；

faxdx=——I-C

(13)"Ina；

例：求積分卜五心

【答疑編號(hào)11050104：針對(duì)該題提問】

5

解：住屁＜=，么

x^dx=^—+C

根據(jù)積分公式(2)//+1

=-——+C=—x?+C

5.7

-+1

不定積分的性質(zhì)

|[/(x)±^(x)]dx=[/(xXx±|g(xXr

(1八??;

f

證???[j”X)去士]g(x)同

ff

=[J±[[g(x)&]=/(x)±g(x)

，等式成立。

(此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況)

⑵閃8gmM(k是常數(shù),2。)

=3axctanX-2axcsinX+C

3(axctanX+C.)-2(axcsinX+C2)

3J-2c2

例：求積分’l+x'Vl-x2。

【答疑編號(hào)11050201：針對(duì)該題提問】

解：1+X'J/

=3.昌

dx

=3arctanx-2arcsinx+C

r1+X+J?.

I------v-dx

例：求積分.xQ+f)o

【答疑編號(hào)11050202：針對(duì)該題提問】

fl+x+x2,fx+Q+x2).

----T-dx=----^—dx

解：」xQ+大)」xQ+大)

=arctanx+lnx+C

[\+2x\dx

例:?x*(l+x*)

（答疑編號(hào)11050203：針對(duì)該題提問］

rl+2x*,r1+x2+x"

dx

J/-Q-+x--2)-----?--x-'-(-l—+x2)

解:

=一一+arctanx+C

x

.?幾手寫板圖示0502-03

=arctanx+ln|x|+C

1+2x?

dx=尊厘dx

x"H)/(Ik)

X2,.」

X^l+x2)x"S)

t

口云手寫板圖示0502-04

例：-1+x'

【答疑編號(hào)11050204：針對(duì)該題提問】

寫板圖示0502-05

X4

----dx

(lk)

4

x-l+lJ

(1+x2)

_(x：-l)(x:+D

------=-dx+工^dx

1十好

=J(xi-l)dx+arctanx

x3

=—x+arctanx+C

例：已知f(x)之一原函數(shù)為sin3x,求/f'(x)dxo

【答疑編號(hào)11050205：針對(duì)該題提問】

寫板圖示0502-06

sin3xjfa)七

由sin3x是f(x)的原函數(shù)：

得(sin3x)=f(x)

f(x)=3cos3x

f'(x)dx=f(x)+C=3cos3x+C

【答疑編號(hào)11050206：針對(duì)該題提問】

手寫板圖示0502-07

例:求Ox?時(shí)。

【答疑編號(hào)11050207：針對(duì)該題提問】

_JL________

例屈

【答疑編號(hào)11050208：針對(duì)該題提問】

例：設(shè)[ln，(x)]'=se「x,求f(X)。

【答疑編號(hào)11050209：針對(duì)該題提問】

:美手寫板圖示O5O2TO7

由[Inf(x)]"=sec2xf(x)=?

得Inf(x)是sec2x的一個(gè)原函數(shù)

Jsec2xdx=tanx+C

Inf(x)=tanx+C

f(x)=etans*C

f(x)=eC-etani

=k-etanz

x2++

dx

例:

【答疑編號(hào)11050210：針對(duì)該題提問】

二手寫板圖示O5O2T1、

1_213

=E1-x，+號(hào)+3?-^-x2+c

”23+1

=再之+孝+2x-+C

D，

[sin:—dx

例：,2；

【答疑編號(hào)11050211：針對(duì)該題提問】

年手寫板圖示0502T2

rcos2x,

|------------;——ax

例：-cosx+sinx

【答疑編號(hào)11050212：針對(duì)該題提問】

手寫1板圖示O5O2T3、

cos2x,

---------OX

cosx+sinx

\一

cos'x-sin'xj

-------------dx

cosx+sinx

(cosx+sinx)(cosx-sinx)

--------:-----------dx

cosx+sinx

f2

石tan^xor

例：。

【答疑編號(hào)11050213：針對(duì)該題提問】

寫板圖示O5O2T4

tan'城v=|(sec2x-l)dr=|sec2dx-1dx

解：」

例：設(shè)尸(/)=1+/',且f(0)=1,求f(x).

【答疑編號(hào)11050214：針對(duì)該題提問】

解：因?yàn)?'(2')=1+產(chǎn)，若設(shè)u=e\則f'(u)=l+u

所以f(x)是1+x，的一個(gè)原函數(shù)，而

1(1+/)辦=[dx+[xse&=x+^-4-C

X4

/(x)=x+----kC

故4。又f(0)=1,從而C=l。因此

X4

/(x)=-+x+l

:寫板圖示0502-15

f，(es)=l+e3xf(O)=l求f(x)

令e'=t貝Uf'(t)=l+t3

Jf*(t)dt=J(l+t3)dt

t4

f(t)=t+-J-+C

4

f(x)=X+C將f(0)=1代入,

1=C

4

f(x)=x+-1-+1

【答疑編號(hào)11050215：針對(duì)該題提問】

rcos2x.

|—-----^r-dx

例：?sinxcosx

【答疑編號(hào)11050216：針對(duì)該題提問】

?-手寫板圖示0502-17

cos2x,

-2------2北

sinxcos，

i

P-

-cos2x-sin2x,

-2----：—dx

sinxcos'x

v

=(-\--^2-)dx

sinzxcos，x

i

=Jcsc2xdx-Jsec2xdx

=一cotx-tanx+C

卜一、.J

例："sinxcosx。

【答疑編號(hào)11050217：針對(duì)該題提問】

【答疑編號(hào)11050218：針對(duì)該題提問】

.?2手寫板圖示0502T9

2x

--dx

ex+l

域?yàn)?/p>

ex+l

ZeX-l)(eX

=J(eX-l)dx=e'r+c

I-----------dx

例：求積分-l+cos2x

【答疑編號(hào)11050219：針對(duì)該題提問】

--dx

解：?l+cos2x

1r11八

=------ax=—tanx+C

2?cos'x2

說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表。

四、小結(jié)

原函數(shù)的概念：*(x)=f(X)

\f(x)dx=F(x)+C

不定積分的概念：J

基本積分表(1)

求微分與求積分的互逆關(guān)系

不定積分的性質(zhì)

5.3換元積分法

一、第一類換元法

的Icos2xdx=sin2x4-C

問題J

解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量。

t=2x=>dx=-dt

過程令2

|cos2xdr=[cosrcfr=—sinr+C=—sin2x+C.

22

手寫板圖示0503-01

Je3xdX

法一:Je3xdx=f(e3)Xdx

3x

-^-+c

Ine

e3x

=T+c

法二：fexdx=eX+C

feudu=eu+C

f&口d[]=8口+C

1…湊微法

入3，喳=丁麴

u=3x1i

WJeudu=-eu+C

3J

=4e3X+C

3

4E寫板圖示0503-03

fcos2XdxfcosQdQ=sin[]+C

=-J-sin2x+C

2

在一般情況下：

設(shè)F，（u）=f（u）,則J/Q）d"=F（"）+C

如果〃=0（X）（可微）

阻dx)]=/Idx)W(x)dx

二|/Idx)W(x)改=F[火x)]+C

=[J/Q)A]y)由此可得換元法定理。

-，-手寫板圖示0503-04

sTf(u)du=F(u)+C

u=3(X)

有Jf(<P(x))d<P(x)S=F(<?(x))+C

SsinXdx=_cosx+C

JsinQdn=_cosQ+C

定理設(shè)f(u)具有原函數(shù)，〃=例＞)可導(dǎo)，則有換元公式

[/[底切”(》)於=("(")加5第.一類換元公式(湊微分法)

說明使用此公式的關(guān)鍵在于將Jg(x"化為[/[dx)W(xM

觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同。

sin2xdx.

例:

【答疑編號(hào)11050301：針對(duì)該題提問】

|sin2xdx=-|sin2>z/(2x)

解(一)*2?

?-手寫板圖示0503-05

fsin2Xdx/sinQd[J=-cos[2]4-C

=4-Tsin2xd2xd2x=2dx

23006

==(-cos2X)+C=—-cos2x+c

22

解(二)'I'sin2xdx=2?'1sinxcosxdx

=2|sin(sinx)=(sinx)'4-C

|sin2xdx=21sinxcosxdx

解（三）

-2|cosxrf(cosx)=-(cosx)，+C

f---dx

例：求3+2X

【答疑編號(hào)11050302：針對(duì)該題提問】

111

?(3+2x)'

解：3+2x23+2x

mW13+12x

(3+2x)'去

=—|=—lnu+C=—In(34-2x)4-C

2?〃22

jf(ax+b)去=匕"Q)d4

一般地.a■

手寫板圖示0503-07

=-^-ln|3+2x|+c

.[xe~dx

例：求J

例：求卜OSX*Xdx

【答疑編號(hào)11050304：針對(duì)該題提問】

一?Itanxdx

例：求J

【答疑編號(hào)11050305：針對(duì)該題提問】

;友手寫板圖示O5O3T1

StanXdx=Jsi"'

COSxdx

—f---------sinXdx=-S-----dcosX

COSXCOSx

=_lncosX+C

例：求’9-x’

【答疑編號(hào)11050306：針對(duì)該題提問】

-S-^^9-xZ)

49—X

=—yln|9—X2\+C

求.小x

例:

【答疑編號(hào)11050307：針對(duì)該題提問】

卮交手與板圖示O5O3T3

J1。dX

9—好

f--------

」（3-x）（3+x）

1,1、

+多）6

3—x

dx+J——dx

3+X

d（3—x）+J——d（3+x）

3十X

_13-X卜In曲+X0+C

6

13+義

+C

63—x

f-..-----dx

例：求.x-lx-3

【答疑編號(hào)11050308：針對(duì)該題提問】

Q-手寫板圖示O5O3T4

Jr—----1----------dx

x—2x—3

J-dx

x—2x—3

2x—2

—/""2'dX

2x—2x—3

]d（x2—2x—3）

9

x—2x—3

1In|x2—2x—314~C

2

:工手寫板圖示0503T5

JDX=S(x-3)(x+1)

X2_2X_3

=5〃七一圭)dx

=十口三^(乂一3)一，集抖乂+1

=—[ln|X-3|-In|x+l|]4-C

[—^rdx

例：求

【答疑編號(hào)11050309：針對(duì)該題提問】

工手寫板圖示0503T6

X,1X一2、

"rdFr-蚪/)

十(9+/)+c

手寫板圖示0503T7

arctan--+C

u

例：求-J+f。

【答疑編號(hào)11050310：針對(duì)該題提問】

[21出=士[—

-%+/a1},x

1+—

解：b

例：x:-8x+25。

【答疑編號(hào)11050401：針對(duì)該題提問】

I———----dx=(------——dx

解：J/-8x+25」(1)2+9

三寫板圖示0504-01

—X--------------dx

?-8x+25

'14q

3」1+管3

1x-4

=-arctan-----\-c

33

例：求.sin。*。

【答疑編號(hào)11050402：針對(duì)該題提問】

圖示0504-02

jjsin-dx

=Jsinde^=-cos?'+c

dxs\

例：求?1+c

【答疑編號(hào)11050403：針對(duì)該題提問】

手寫1板圖示0504-03

⑴

=ln(l+e*)+c

例:

【答疑編號(hào)11050404：針對(duì)該題提問】

,一手寫板圖示0504-04

義1+/)

二j4

Jl+?)2

f1,VX

=-----de=arctang+c

J1+3”)2

例:

【答疑編號(hào)11050405：針對(duì)該題提問】

口灰手寫板圖示0504-05

\-^dx

J1+J

=j(l+ef

J1+e*

=Jdx-

*忌的+第)

=x-ln(l+d)+c

例：卜一處

【答疑編號(hào)11050406：針對(duì)該題提問】

手寫板圖示0504-06

sin*2xdx

rl-cos2x,

=—————ax

J2

=-j(1-cos2x)dx

1

dx--\cos242x

22J——

1

x--sin2x+c

22

:板圖示0504-07

|cos3xdx%=□+0

=Jcos2x-cosxdx

=J(1-sin2x)dsinx

=Jdsinx-Jsin2xdsinx

sin3x

=sinx--------+c

3

【答疑編號(hào)11050407：針對(duì)該題提問】

【答疑編號(hào)11050408：針對(duì)該題提問】

【答疑編號(hào)11050409：針對(duì)該題提問】

口又手寫板圖示0504-09

…Iescxdx

例：求J

【答疑編號(hào)11050410：針對(duì)該題提問】

=Intan-4-C=ln(cscx-cotx)+C

（使用了三角函數(shù)恒等變形）

J手寫板圖示0504T0

escxdx=f---dx=[dx

Jsinx」

2sin-cos-

22

dx

=JX

sin—

XX

2」-cos—?cos—

x22

cos—

2

dx

=\

2tan—?cos2X

22

12X.1,x

sec—ax—atan—

=3Xx

tan—2tan—2

2-2

;入手寫板圖示0504T1

Jescxdx=In|cscx-cotx|+c

jsecxdx=In|secx+tanx\+c

例：求』cos3xcos2時(shí)。

【答疑編號(hào)11050411：針對(duì)該題提問】

cosAcosB=—[cos(J-B)+cos(J+5)1

解：2

cos3xcos2x=—(cosx+cos5x)

|cos3xcos2xdx=^|(cosx+cos5x)d!r

=~sinx+—sin5x4-C

10

-手罵板圖示0504-12

cos3xcos2xdx

=；J(cosx+cos5x)dx

1

cosxdx+—[cos5xd5彳

25J

=1S1nx+l1S1n5x+c

25

例.J切心

【答疑編號(hào)11050412：針對(duì)該題提問】

解:設(shè)u=x?,則

xf,^dx=^f\x2)dx2=^f'(u)du=\df(u)

所以J獷(7)尸(x2)去=」/(?)#(?)=l[/(u)]2+C

4

寫板圖示O5O4T3

=1j/(x2)/,(x2)d?x2^udu

==今+。

=O)+c十(玲+c

I-----------ax

例：?xo

【答疑編號(hào)11050413：針對(duì)該題提問】

解：設(shè)u=lnx,則

f'Qnx)工7,八、/,廣一

-------dx=/(Inx)dInx=/(u)du

...丫)女=r尸("W"=/(u)+c

所以Jx?'

=/(lnx)+C

'/"(Inx)dx

=J/Qnx)dlnx=/@)+c

=f(lnx)+c

例：/'(si/x)=co/x,求f(x)。

【答疑編號(hào)11050414：針對(duì)該題提問】

9

■“手寫板圖示0504T5

/(sin'x)=cos'x求f(x)

/f(sin2x)=1-sin2x

令t-sin2x有尸(Z)=l-￡

成=J(1T)成

、t2

芯2

f(x)=x--+c

二、第二類換元法

門即^^y/l-x2dx=?

問題J

解決方法改變中間變量的設(shè)置方法。

過程令工=$由2=公=costdt

[/《"x，dx=f（sint），也-sin，costdt

=|sin'teas1tdt=........

（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）

定理2設(shè)x=W（D是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且“（。二°,又設(shè)f[〃?）]〃'&）具有

原函數(shù)，則有換元公式W心心防加“同皿其中派）是…⑺的反函

數(shù)。

f〃力d=[[/Mr）W（r汕Lf

第二類積分換元公式

rdx

例：.Jl+jO

【答疑編號(hào)11050415：針對(duì)該題提問】

解：令「=J1+/ne'=/-1

x=ln卜2-11去=

=In+C=21n(71+/-l|-x+C

手寫板圖示0504T6

令J1+/=21+。'=d&x=z2-1

工=ln(d-Ddx=dln(d-D

=-z-----2tdf

.工手寫板圖示0504T7

=2出

[2J7-1t+YJ

=J吉+

=ln|^-l|-ln[+l]+c

,z-1,J-

=ln---+c=lnj——+c

￡+1Jl+e'+1

說明（5）當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式近，…，五時(shí)，可采用令x=r"（其

中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）

例：）石Q+荻產(chǎn)。

【答疑編號(hào)11050416：針對(duì)該題提問】

解：令x=t'=dx=6t,dt

F]r6/￡6/

1L「烝=；、出=IJdt

J4（1+私）J/Q+U）J1+P

+1-1.

=6----—dt

1+?

=6色+產(chǎn)卜

=6[r-arctanr]4-C

=6[y[x-arctan也]+C

手寫板圖示0504T8

rdx

J五(1+表)

iii

X，=E/.x=t6/=金產(chǎn)

dx—dt6—6廿dt

F-----=3dt

戶(1+p)1+z

.1+d―1,

=6l------5~~dt

J1+J

=6

J1+211+d

=6[/-arctanq+c

=6^yfx-arctan

三角代換。

三角代換的目的是化掉根式。

一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有

(1)V。-x可令x=asint；

￡手寫板圖示0504-19

y/a2-x2令x=asm/sinZ=-

yja2-x2=二以4in，

=Ja?(l-sin，￡)

=^ja2cos2/=|acos/|=

=acosi

(2)Ja+x可令x=atant；

-手寫板圖示0504-20

[a2+?2tan乙=^2(l+tan2Z)

=sec2Z=(2sec/

(3)—Q可令x二asect。

r1

I/、聲(a>°)

例：求.JL+do

【答疑編號(hào)11050417：針對(duì)該題提問】

x

=In一十+c

、手寫板圖示0504-22

-=J_dx

令x=atan￡dx=datont

=a-sec2/dt

：.l=f)].=asec2tdt-asedtdt

V^2sec2Zasect

=Jsec=In|sec/4-tanZ14-c

=In[sec￡+tan卜|+c

tanZ=^sec"叵運(yùn)

a

Z=ln+c

【答疑編號(hào)11050418：針對(duì)該題提問】

總結(jié):

寫板圖示0504-24

5.4分部積分法

1手寫板圖示0505-01

(u(x)?v(x))f

=U'(X)v(x)+u(X)■V1(x)

J[u(x)■v(x)]dx

=Xu*(x)V(X)dx+/U(x)V,(x)dx

u(x)?v(x)

=fv(x)du(x)+Ju(x)dv(x)

fudv=u■v-Jvdu

一、基本內(nèi)容

問題”辦=?

解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則。

設(shè)函數(shù)u=u(X)和V二V(X)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),

t

(uv)=u'v+uv',uv'

=(?v)-u'vAuv'dx=uv-\u'vdx,Judv=uv-Jvdu.

【答疑編號(hào)11050501：針對(duì)該題提問】

分部積分公式

例1：求積分Jxcosxdx.

【答疑編號(hào)11050502：針對(duì)該題提問】

令〃=cosx,xdx=—dx2=dv

解(一)2

f>[X2,

xcosxax=——cosx+——sinxax

J2」2

顯然，U,V選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行。

解（二）令u=x,cosxdx=dsinx=dv

xcosxdx=Jx^sinx=xsinx-Jsinxdx

=xsinx+cosx+C*.

三寫■板圖示0505-03

Jxcosxdx

=SxdsinxSudvV

=x■sinX-SsinXdx

=XsinX+cosX+C

Jx?cosxdx

=產(chǎn)

-JcosXd——Judv

2

X22