高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強(qiáng)化 1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問題教學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教學(xué)案

第1講三角函數(shù)問題

考綱要求真題統(tǒng)計命題規(guī)律鎖定題型

分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)

了解任意角的概念及瓠度制，理解任意

2017年I卷Tg；2017年fl卷T“；高考命題有以下規(guī)律：

角三角函數(shù)的定義，掌握誘導(dǎo)公式及同

2017年ID卷T-；2016年m卷T”；1.三角函數(shù)的圖象交換1.三角函數(shù)的

角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解三角函

2016年II卷T,；2015年I卷；多以選擇題形式出現(xiàn)，境圖象問題

數(shù)的圖象與性質(zhì)，會用三角函數(shù)解決簡

三角函數(shù)的

年卷基礎(chǔ)題.2.

學(xué)的實際問題.20141T?

2.三角函數(shù)的定義、圖象性質(zhì)問題

和性質(zhì)常與三角恒等變3.三角恒等

恒掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公2016年II卷%；2016年皿卷T”

等換交匯命題，出現(xiàn)在第6變換

變式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公2015年I卷T?；2014年I卷T”

換?9或14?15題位置，曩

式,理解簡單的三角恒等變換.年卷；年卷

2014IIT”2013DT”中檔題.

題型1三角函數(shù)的圖象問題

（對應(yīng)學(xué)生用書第1頁）

■核心知識儲備…“

1.“五點法”作圖

用五點法畫尸4sin（3x+0）在一個周期內(nèi)的簡圖時，一般先列表，后描點，連線,

其中所列表如下：

0JI—<p3兀<t>2兀一O

X

一732332333

JI33T

O）x+00T312n

4sin（3X+。）0A0-A0

2.圖象變換

方法一（先平移后伸縮）方法二伏伸縮后平移）

■典題試解尋法

【典題1】（考查三角函數(shù)圖象的平移變換）

（2017,全國I卷）已知曲線G：y=cosx,C：y=sin（2x+%一）,則下面

結(jié)論正確的是（）

馬上掃一掃

看希彩做深

A.把G上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移

T■個單位長度，得到曲線C

B.把G上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移

專個單位長度，得到曲線G

C.把G上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移?

個單位長度，得到曲線C

I）.把。上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移卡

個單位長度，得到曲線C

誘導(dǎo)公式圖象的伸縮和平移變換

［思路分析］異名三角函數(shù)---------?同名三角函數(shù)----------------?得結(jié)

論.

［解析］因為尸sin（2x+*j=cos（2x+g---|"）=cos（2x+。），所以曲線G：y

=cosx上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的;，縱坐標(biāo)不變，得到曲線/=。052%再把得

到的曲線y=cos2x向左平移運個單位長度，得到曲線y=cos2（x+同=

cos^2x+—j.故選D.

［答案］D

【典題2】（考查已知三角函數(shù)的圖象求解析式）（2017?洛陽模擬）函數(shù)f（x）=2sin（3x

+0）（。＞0,0＜。〈萬）的部分圖象如圖1-1所示，已知圖象經(jīng)過點1（0,1）,

￡■，—1）,則Hx）=.

【導(dǎo)學(xué)號：07804000］

圖1-1

2Ji

［思路分析］由圖象得周期「,利用7=—3得。一由特殊點/(O,D得關(guān)于0的三角

方程~利用。的范圍確定。的值

［解析］由已知得5=可，T=,又T—3=3.

zoo3

,、1一nn

/'(0)=1,Asin0=5，又'.'OV:?6=不,

.?"(X)=2sin(3x+總(經(jīng)檢驗滿足題意).

［答案］2sin［了+看|

［類題通法］

1當(dāng)原函數(shù)與所要變換得到的目標(biāo)函數(shù)的名稱不同時，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，

將/=5Sax^>0的圖象變換成y=sin3才+。的圖象時，只需進(jìn)行平移

變換，應(yīng)把ox+0變換成U%+—,根據(jù)—確定平移量的大小，根據(jù)」的符號

、3)3G)

確定平移的方向.

2函數(shù)y=/sinox+。的解析式的確定

g,百口/士曲占,最大值一最小值

①/由最值確定，/!=--------------:

②3由周期確定；

3。由圖象上的特殊點確定.

通常利用峰點、谷點或零點列出關(guān)于。的方程，結(jié)合。的范圍解得。的值，所列

方程如下：

峰點：3x+0=5+24”；谷點：3x+6=—?.，利用零點時，要區(qū)分該零

點是升零點，還是降零點.

升零點圖象上升時與x軸的交點：3x”=2k"；

降零點圖象下降時與x軸的交點：ox+0=n+2An.以上4GZ

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

1.己知函數(shù)/?(x)=sin2(ox)一3。>0)的最小正周期為自，若將其圖象沿x軸向右平移

a(a>0)個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的最小值為()

/、1—COS?3X11B2nn

D［依題盡得F(x)=-------------5=-5COS23X,取小正周期7=577=丁，S=

2,所以f(x)=—/cos4x,將f(x)=—"os4x的圖象向右平移a個單位后得到函

數(shù)g(x)=-；cos［4(x—a)］的圖象.又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱.

,,1JTAJTJI,、

因此有g(shù)(0)=—geos4a=0,4a="+?，4eZ,即3=F-+k，4eZ,因此正實

ZZ4o

數(shù)a的最小值是小，選D.]

O

2.函數(shù)f（x）=/sin（3x+。）（4。，。為常數(shù)，4>0,。:>0,0<“）的圖象如圖1-2

所示，則/?仔）的值為

1[根據(jù)圖象可知，4=2,￥=*一專，所以周期7="，。=*=2

又函數(shù)過點（看，2）,

所以有sin（2X?*+。）=1,而

所以。弋，則/U）=2sin

因此f高=1.]

■題型強(qiáng)化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)丁3、15、Tn）

題型2三角函數(shù)的性質(zhì)問題

(對應(yīng)學(xué)生用書第2頁)

■核心知識儲備........................................................

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

JIJI"

y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是,20十萬(AeZ),單調(diào)遞減區(qū)間是

~兀3兀］、

2女冗+彳，2攵n+-^—(AeZ)；y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是［24兀一兀，

2kxi(keT),單調(diào)遞減區(qū)間是［24冗，2k^+］(AeZ)；y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間

兀、

是1(n-JI-ku+yJ(AGZ).

2.三角函數(shù)的對稱性

JI

y=/sin(3x+0),當(dāng)0=4幾(4WZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)。=衣冗十方(女WZ)時為偶函

n

數(shù)；對稱軸方程可由ox+0=%￡+5aez)求得.

n

y=/fcos(Qx+0),當(dāng)十5(AWZ)時為奇函數(shù)；當(dāng)0=*nawZ)時為偶函

數(shù)；對稱軸方程可由ox+0=A"(ACZ)求得.

y=/tan(0x+。)，當(dāng)0=XnJeZ)時為奇函數(shù).

3.三角函數(shù)的最值

(1)y—asinx+Acosx+c型函數(shù)的最值：

通過引入輔助角?？蓪⒋祟惡瘮?shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為特sin(x+。)+

(其中tan的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

(2)y=asin'x+bsinxcosx+ccos1x型函數(shù)的最值：可利用降幕公式sinx=

1—cos2xsin2x1+cos2x..

---------,sinxcosx=—-—,cos9-x=---------,斗等y=asm2%+Z?sinxcosx

轉(zhuǎn)化為y=Jsin2x+Bcos2x+C,這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來求最值.

■典題試解尋法.........................................................

JI

【典題1］(考查三角函數(shù)圖象的對稱性)將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移了個單位

后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)()

A.最大值為1,圖象關(guān)于直線?對稱

B.在(0,7)上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

C.在(一一京一，瓦I上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

D.周期為n,圖象關(guān)于點很，0)對稱

［解析］由題意可得將f(x)=cos2x的圖象向右平移十個單位得到g(x)=

cos12(x—」［［|=cos6'-2,=sin2x的圖象，因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以排除C,

又當(dāng)時函數(shù)值為0,當(dāng)入=等時，函數(shù)值為平，所以A和D中對稱的說法不正

/oZ

確，選B.

［答案］B

【典題2】(考查三角函數(shù)的值域問題)(2017?全國U卷)函數(shù)f(x)=sin%+

小cosx-尖fo,的最大值是________-

八L乙J7看精彩做課

JI

VxE0,—,

Acos［0,1］,

...當(dāng)cosX=平時，f(x)取得最大值，最大值為1.

［答案］1

【典題3】(考查三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷)已知函數(shù)/Xx)=4tan

【導(dǎo)學(xué)號：07804001］

(1)求f(x)的定義域與最小正周期；

⑵討論f(x)在區(qū)間［一丁Ji，向n上的單調(diào)性.

［解］(Df(x)的定義域為卜,工5+〃其，kez

=sin2x+/（1-cos2x）-4=sin2x-/cos2x=2sin（2x――j.

2JI

所以f(x)的最小正周期7=裝-=n?

(2)令z=2x—亍則函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是［一5+2內(nèi),萬+24”，

kRZ.

JinnJI5n

由一丁+24兀W2x—k+24兀，得一行+4兀WxW-jk+A71，keZ.

乙力41Lt1,乙

JiJi_1Iji5人

設(shè)4=一~^"，—,B=\x—記+4口WxWm+%“，ZrGZ，，易知408=

JIJI~

__12,T,

JIJTJIJIJIJI

所以當(dāng)xe――,n時/3在區(qū)間一行，■上單調(diào)遞增，在區(qū)間--T)一行上

k1.乙A+1,乙

單調(diào)遞減.

［類題通法］

函數(shù)尸力sin(“x+。)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路

第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=4sin(3x+。)

+8的形式；

第二步：把“0x+視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=4sin(0x+0)+6的

單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題.

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

1.已知函數(shù)f(x)=sin(。8+2。)-2sin0cos(。)(Q>0,OCR)在(n,^~)上

單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(0,2］B.(0,1

---

115

-D--

C.24

--2?-

C"（x）=sin（GX+。+0）—2sin0cos（3才+0）=cosOsin（3x+。）—sin

0cos(3x+0)=sinax,—+2An,k^Z=>~—+---WxW7;-

2223323

2AJI「n2〃冗3n24五一

+—,Aez,所以函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為57；+—丁，^-+~—，

CO乙33乙33

ji2k雙3n3冗24兀n2k61

kcz,所以廠+——<H<—<―+——，XGZ,由廠+——W”,可得5+

乙33乙乙33乙33乙

2AW3，kGZ,由-+--~,kGZ,可得公式1+洋，keZ,所以

乙乙33OZ

+若，kez,又3等一n=9，所以幾，因為3>0,所以0VQW2,所以

oZZZ3

當(dāng)A=0時，；或3?1.故選(\]

2.已知函數(shù)f(x)=/cos2(3*+0)+1(力>0,G>0,OV0V5)的最大值為3,f(x)的圖

象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則F(l)+〃2)+…+F(2

016)=()

【導(dǎo)學(xué)號：07804002]

A.2468B.3501

C.4032D.5739

力力T

C[F(x)=gcos(23x+2。)+萬+1.由相鄰兩條對稱軸間的距離為2,知萬=2,得T

=4=卷三，3=5,由f(x)的最大值為3,得1=2.又f(x)的圖象過點(0,2),Acos

乙34

Ji,、AnITnJI

20=0,；.20=4五+方(〃仁Z),即0=-^-+7(Z4￡2),又0V?！炊?，；?。=7，

.,"(X)=cos(5x+5)+2=—sin—^~+2./(1)+A2)H------FA2016)=(—1+2)

+(0+2)+(1+2)+(0+2)+(-1+2)+???+(0+2)=2X2016=4032.]

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

(見專題限時集訓(xùn)「、T,、窘、17、%、「2、T,a、T,4)

題型3三角恒等變換

(對應(yīng)學(xué)生用書第4頁)

■核心知識儲備.........................................................

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(。±8)=sinacos/±cos<?sinB；

⑵cos(?！馈?=cosGcosj^+sinasin￡；

tanQ土tan8

⑶tan(Q±￡)=

1+tanatan￡

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sin4cosa；

(/2)\cos2a=co2s。一si2n-。=2co2s~。-1=1-2si9n”。；

2tana

(3)tan

1—tan2a

3.輔助角公式

asinx+Z>cosx=q才+〃sin(x+0)其中tan

■典題試解尋法

【典題1】（考查給式求角問題）（2014?全國I卷）設(shè)5），￡￡（0,5）且tan。

1+sin￡

,則（)

cos3

nJT

A.3a—^=—B.2。一￡=萬

JI

C.3?！?—D.2a+fi=—

1+sin￡/口sina1+sinB

［解析］法一：（切化弦）由tana=得

cosBcosa

即sincosP=cosa+cossin￡,

...sin(Q—￡)=cos。=si

0-i}

由sin(a—B)=,得a-B=--一a,

JI

；?2a—￡.

l+sin￡l+cos(j-￡)

法二:（弦化切）tana=

C0S￡"sin(>￡

JI

：?2a—B=2kn+—,kGZ.

當(dāng)A=0時，滿足2Q—￡=方，故選B.

［答案］B

【典題2］（考查給值求值問題）（2016?江西八校聯(lián)考）如圖1-3,圓。與x軸的正半軸的

交點為兒點G8在圓。上，且點。位于第一象限，點8的坐標(biāo)為借，一總，ZAOC

=a,若18cl=1,則(cosg—sin￡"cosg一半的值為.

【導(dǎo)學(xué)號：07804003］

圖1-3

［解析］由題意可知|仍|=1員1=1,；.2\詠為正三角形.

5

由三角函數(shù)的定義可知，sinZAOB=si

13,

a#m1+cosQsinQA/3A/31

A^cos'f-sinfcos-

2222=2MSQ—^sin

in仔一“4

a=sin

5

［答案］大

1o

［類題通法］

解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別

與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進(jìn)行“切化弦”還是“弦化切”等,

從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向.

■對點即時訓(xùn)練

JT=|,則cos(2a

1.對于銳角a，若sin|a~12

243

A.B，

258

亞24

C.D----

825

4n

D［由a為銳角，且sin=~,可得cos|那么‘05(4+司=

5

nJIJI.n亞a

a-=coscos——sinasm彳=右，于是

司+了44

24

cos2a=2cos1oj—i=2X1=一赤.故選DJ

11JIJI，」.

2.已知tana=-,tan￡=—亍，且0V。<—，~T<￡Vn，則2。一￡的值為

0I乙乙

3n.2tana3

~"Ltan2a=~."2=：,

41—tana4

n

又OV所以2a￡，又萬v￡v五，

所以2°-￡C(—%°),又tan"——右則tan(2a—￡)=；；：二。27tM彳

3.1

4+7

1一詆

故2a-P=-，］

■題型強(qiáng)化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)7、Tg、Tio）

三年真題I驗收復(fù)習(xí)效果

（對應(yīng)學(xué)生用書第4頁）

1.(2015?全國I卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()

J3J311

A.—B.C.~"D.~

D[sin20°cos10°—cos1600sin100=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin(20°+10°)=sin30°=1,故選D.]

3

2.(2016?全國HI卷)若tana則cos'〃+2sin2a=()

644816

A，25B，25C.1D，25

看精彩微課

「《_,、，3rl2—八cosa+4sinacosal+4tana

咽為tana=7則cos-a+2sin2a=一/不不曠

tan2a+\

3

1+4X7

=25-故選A。］

i+1

n

3.（2016?全國n卷）若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移逐個單位長度，則平

u

歸

移后圖象的對稱軸為（）課

【導(dǎo)學(xué)號：07804004］

k式冗

A.

20

AJiJI

B.

AJIJI

C.x=———（k^Z）＞

乙1Ci

k炙n

D.x=—+—{k^Z）

B［將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移三個單位長度，得到函數(shù)y=2sin2。+總

=2sin（2x+^1的圖象.由2x+至=Ax+萬（A《Z）,得才=-^-+至（4￡2）,即平移

An,n

后圖象的對稱軸為X：UeZ).]

26

（x+高，則下列結(jié)論錯誤的是（

4.(2017?全國HI卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos|

A./'（x）的一個周期為一2口

碼上右一右

著精彩徼課

y=F（x）的圖象關(guān)于直線》?對稱

JT

Hx+2的一個零點為、=至

單調(diào)遞減

D[A項，因為/1（*）=cos（x+旬的周期為2An（4WZ）,所以/1（*）的一個周期為一

2n,A項正確.

B項，因為f（x）=cos（x+V圖象的對稱軸為直線戶而一方〃eZ）,所以尸/V）

的圖象關(guān)于直線X=等對稱，B項正確.

一