數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)5數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第1課時(shí) 組 合、組合數(shù)公式及其性質(zhì)

第1課時(shí)組合、組合數(shù)公式及其性質(zhì)

―川川加川伽伽伽川―，蜀囪/陶?I課I前I預(yù)I習(xí)“加川”加川川拼川伽拼川"川”川伽州"加川川"

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一組合的概念

一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn,且m,nGN+)個(gè)元素為,叫作從

n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

狀元隨筆(1)組合的特點(diǎn):組合要求n個(gè)元素是不同的，取出的m個(gè)元素也是不同的，

即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出.

(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個(gè)元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.

(3)根據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合的元素完全相同，不論元素的順序如何，都是相同

的組合；如果兩個(gè)組合的元素不完全相同，那么這兩個(gè)組合就是不同的組合.

要點(diǎn)二組合數(shù)及其性質(zhì)

1.組合數(shù)的概念

從"個(gè)不同元素中取出且MJ,〃WN+)個(gè)元素的所有組合的，叫作從

〃個(gè)不同元素中取出且加，"GN+)個(gè)元素的,記作.

狀元隨筆1.同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”

也是兩個(gè)不同的概念.例如，從3個(gè)不同的元素a,b,c中取出2個(gè)元素的所有組合為ab,

ac,be,其中每一種都叫做一個(gè)組合，即組合不是數(shù)，而是完成一件事的一種方法，而該問

題的組合數(shù)為3,是一個(gè)數(shù)字.

2.我們可以從集合的角度理解組合數(shù)的概念.例如，從3個(gè)不同的元素a,b,c中任

取2個(gè)的所有組合構(gòu)成的集合為A={ab,ac,be},則組合數(shù)即為集合A的元素個(gè)數(shù).

3.符號(hào)C7是一個(gè)整體，n,m均為正整數(shù)，且mWn.

2.組合數(shù)公式及其性質(zhì)

(1)公式：C$=篝=------------------------=---------

(2)規(guī)定：C°=l.

(3)性質(zhì)1：C?=，

性質(zhì)2：C^i=.

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)從0,“2,〃3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是髭.()

(2)從4，b,c,"中選取2個(gè)合成一組，其中“，b與b,a是同一個(gè)組合.()

(3)“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)合成一組”，叫做“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)的組

合數(shù)”.()

(4)組合和排列一樣，都與“順序”有關(guān).()

2.［多選題］下列問題中是組合問題的是()

A.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參加兩個(gè)社區(qū)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同

的選法？

B.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法？

C.3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？

D.3本相同的書分給5名同學(xué)，每人一本，有多少種分配方法？

3.若鬣=28,則〃=()

A.9B.8C.7D.6

4.現(xiàn)有6名黨員，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為

"加川川川川伽伽川川加I"川川川川川川加川加川/E應(yīng)課卜圖解拼川加川"川州"川加"加川"川川川拼”川加川川川.

題型一組合的概念

例1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：

(1)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候，共需握手多少次？

(2)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法？

(3)從1,2,3,9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這三個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣

的和共有多少個(gè)？

(4)從a,b,c,d四名學(xué)生中選2名，去完成同一件工作，有多少種不同的選法？

方法膽必)

區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無

順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，

看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無

順序，是組合問題.

跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是排列問題還是組合問題：

①把當(dāng)日動(dòng)物園的4張門票分給5個(gè)人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種

分配方法？

②從2,3,5,7,11這5個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取2個(gè)數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)，

共能構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？

③從9名學(xué)生中選出4名參加一個(gè)聯(lián)歡會(huì)，有多少種不同的選法？

題型二組合數(shù)公式的應(yīng)用

例2解方程：(1)C巖i=C巖7；⑵c露+C%=0A>3.

方注煙佃

進(jìn)行組合數(shù)的相關(guān)計(jì)算時(shí)，注意以下幾點(diǎn)：

(1)像排列數(shù)公式一樣，公式C)=n(n-l).：*n-m+l)一般用于計(jì)算,而公式(：7=

)及。記=萼■■一般用于證明、解方程(不等式)等―

m!(n-m)!裕

(2)要注意公式47=C$4胴的逆向運(yùn)用.

(3)對(duì)于含有組合數(shù)的方程或不等式的問題，只需根據(jù)組合數(shù)公式的連乘形式或階乘形

式，把問題轉(zhuǎn)化為不含組合數(shù)的方程或不等式問題.但在求出結(jié)果后應(yīng)注意驗(yàn)證能不能使組

合數(shù)有意義，既要保證組合數(shù)CA中下標(biāo)“大于或等于該組合數(shù)的上標(biāo)〃?，又要保證〃，，"均

為正整數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2(1)7C看-4妗的值為.

(2)若的。=/，則C%=()

A.380B.190

C.18D.9

題型三組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

例3⑴計(jì)算：C羽+嚼+。溫=;

(2)若。2＞年，則"的取值集合是.

方祛陽(yáng)相

組合數(shù)公式①體現(xiàn)了組合數(shù)與相應(yīng)排列數(shù)的關(guān)系，一般在計(jì)算具體的組合數(shù)時(shí)會(huì)用

到.組合數(shù)公式②的主要作用有：

(1)計(jì)算，"，"較大時(shí)的組合數(shù)；

(2)對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明.

特別地，當(dāng)相當(dāng)時(shí)計(jì)算Cr,用性質(zhì)C7=C『m轉(zhuǎn)化，減少計(jì)算量.

跟蹤訓(xùn)練3⑴化簡(jiǎn)：CW-*+1+第=

(2)已知B+i—B=CR,求”的值.

易錯(cuò)辨析忽視組合數(shù)中參數(shù)的限制條件致誤

例4已知：/一金=孟「求機(jī)

解析：依題意，機(jī)的取值范圍是{詞mEN*}

m!(5-m)!m!(6-m)!7xm!(7-m)!

原等式化為:

516110x7!

化簡(jiǎn)得：,話一23，"+42=0,解得〃?=21或機(jī)=2.

因?yàn)?W%W5,mCN*,所以加=21應(yīng)舍去.

所以，“=2.

【易錯(cuò)警示】

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

忽視組合數(shù)公式中參數(shù)的限制，本例中，易

應(yīng)用組合數(shù)公式C?時(shí)，首先要考慮〃"附GN*,

忽視0W，*W5,mWN*這一條件，導(dǎo)致出現(xiàn)兩

且〃?這一條件，不要盲目求解.

解的錯(cuò)誤.

［課堂十分鐘］

1.［多選題」給出下面幾個(gè)問題，其中是組合問題的有（）

A.由1,2,3,4構(gòu)成的二元素集合

B.五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的分組情況

C.由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)

D.由1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)

2.下列計(jì)算結(jié)果為21的是（）

A.A^+ClB.C；

C.膨D.酷

3.若穌=6第，則〃的值是（）

A.6B.7

C.8D.9

4.計(jì)算盤+*+/+…*望020的值為（)

4C%208^2020

^2021—1D.C2020—］

5.求不等式髭一”<5的解集.

第1課時(shí)組合、組合數(shù)公式及其性質(zhì)

新知初探?課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

一組

要點(diǎn)二

1.個(gè)數(shù)組合數(shù)C?

?“m(m-l)(m-2>...21m!(n-m)!1；71n71

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.(1)X(2)V(3)X(4)X

2.解析：AC與順序有關(guān)，是排列問題；BD與順序無關(guān)，是組合問題.故選BD.

答案：BD

3.解析：髭=妁/=28,解得〃=8.

答案：B

4.解析：由題意得，不同選法的種數(shù)為髭=15.

答案：15

題型探究?課堂解透

例1解析：(1)兩人之間相互握手，與順序無關(guān)，故是組合問題；

(2)分成的兩個(gè)學(xué)習(xí)小組沒有順序，是組合問題；

(3)取出3個(gè)數(shù)字之后，無論怎樣改變這三個(gè)數(shù)字之間的順序，其和均不變，此問題只

與取出元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題；

(4)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題.

跟蹤訓(xùn)練1解析：①是組合問題.由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動(dòng)物園的門票)，不

同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關(guān).

②是排列問題.選出的2個(gè)數(shù)作分子或分母，結(jié)果是不同的.

③是組合問題.選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序.

例2解析：(1)由原方程得x+1=2x—3或x+1+2x—3=13,

(0<x+l<13,

由(0W2x-3<13,

(xGN*,

得2WxW8且

故原方程的解為x=4或x=5.

(2)原方程可化為C二尹卷A如，即C如=2A如,

.(x+3)!_(x+3)!

**5!(x-2)!10x!'

.?.1=1

■,120(x-2)!10x(x-l)-(x-2)!’

Ax2—X—12=0,解得尤=4或工=—3.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解.

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)7*一4第=7X^0—4X篝|0=0.

(2)???*=/,

二〃=18,

.??受0=(：舞=喝)=3譽(yù)=190.故選B.

答案：(1)0(2)B

例3解析：(1)C罌+C招+C瑞)=C器。+C^o=C^=C%=U*=5O5O.

(2)由鬃>C?,得n,>n.所以"2—9〃-10<0,得一因?yàn)椤ā闚*

4!(n-4)16!(n-6)!

且〃26,所以〃=6,7,8,9,所以〃的取值集合為{6,7,8,9).

答案：(1)5050(2){6,7,8,9}

跟蹤訓(xùn)練3解析：⑴原式=(%+酰)—明+1=*+1Y+］=0.

(2)根據(jù)題意，的+1-或=若，變形可得(%+1=4+第，

由組合數(shù)的性質(zhì)，可得以+1=叱+】，故8+7=〃+1