高中數(shù)學(xué)各章節(jié)基礎(chǔ)練習(xí)立體幾何基礎(chǔ)題

立體幾何基礎(chǔ)A組題

一、選擇題：

i.下列命題中正確命題的個數(shù)是()

⑴三點確定一個平面

(2)若點P不在平面a內(nèi)，A、B、C三點都在平面a內(nèi)，則P、A、B、C四點不在同一平面內(nèi)

⑶兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)

⑷兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

A.OB.lC.2D.3

答案：A

2.已知異面直線。和b所成的角為50。，P為空間肯定點，則過點P且與a、人所成的角都是30。的直線條數(shù)有

且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

答案：B

3.己知直線/_!_平面a,直線mu平面夕，下列四個命題中正確的是()

(1)若a〃/，貝(2)若貝”〃加

(3)若/〃6，則(4)若Um,則a〃尸

A.⑶與(4)B.(1)與(3)C.(2)與(4)D.(1)與(2)

答案：B

4.已知巾、”為異面直線，，wu平面a,nu平面/7,=則/()

A.與優(yōu)、”都相交B.與，"、〃中至少一條相交

C.與相、”都不相交D.至多與加、w中的一條相交

答案：B

5.設(shè)集合｛直線｝,｛平面｝,C=AU8，若aeA,h&B,c&C,則下列命題中的真命題是

()

cllbalh

A.>na_LcB.>=>Q〃C

aLbh±c

a//b]a//h]

C.nallcD.

ciihcLb

答案：A

6.已知a、人為異面直線，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，且，，則直線6所成的角為

()

A.90°B,60°C.45°D.30°

答案：A

7.下列四個命題中正確命題的個數(shù)是()

有四個相鄰側(cè)面相互垂直的棱柱是直棱柱

各側(cè)面都是正方形的四棱柱是正方體

底面是正三角形，各側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

A.1個B.2個C.3個D.0個

答案：D

8.設(shè)｛正四棱柱｝，｛長方體｝，｛直四棱柱｝,｛正方體｝,則這些集合之間關(guān)系是

()

六三半望京莖mwm望莖望

答案：B

9.正四棱錐P一中，高的長是底面長的,，且它的體積等于W。?？，則棱與側(cè)面之間的距離是

23

（）

A.42cmB.2cmC.1cmD.——cm

2

答案：A

10.緯度為a的緯圈上有A、B兩點，弧在緯圈上，弧的長為成cosa（R為球半徑），則A、B兩點間的球面

距離為（）

A.咸B.Qr-a）RC.Q兀-a）RD.（兀一2a）R

答案：D

11.長方體三邊的和為14,對角線長為8,則（）

A.它的全面積是66B.它的全面積是132

C.它的全面積不能確定D.這樣的長方體不存在

答案：D

12.正四棱錐P-的全部棱長都相等，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值等于

（）

答案：D

13.用一個過正四棱柱底面一邊的平面去截正四棱柱，截面是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四邊形

答案：B

二、填空題：

14.正方體ABCO-AgGQ中，E、F、G分別為、、?的重點，則與所成角的余弦值為

答案：—

15.二面角a-a一夕內(nèi)一點P到兩個半平面所在平面的距離分別為2行和4,到棱a的距離為4后，則這個二

面角的大小為

答案：75?；?65。

16.四邊形是邊長為a的菱形，ZBAD=60°,沿對角線折成12（T的二面角A——C后，與的距離為

V3

答案:——a

4

17.P為120P的二面角a—a—/?內(nèi)一點，P到a、夕的距離為10,則P到棱〃的距離是

20V3

答案:

3

18.如圖：正方形所在平面與正方形所在平面成60。的二面角，則異面直線與所成角的余弦值是

V2

答案：—

DC

19.已知三棱錐P一中，三側(cè)棱、、兩兩相互垂直，三側(cè)面與底面所成二面角的大小分別為①則

cos2a+cos2（3+cos2y=

答案：1

20.若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積的值是（只需寫出一個可能的值）。

答案:—或嗎

o1212

21.三棱錐P一的四個頂點在同一球面上，、、兩兩相互垂直，且這個三棱錐的三個側(cè)面的面積分別為后，

則這個球的表面積是

答案：18萬

三、解答題：

22.已知直線a_La,直線4_1_直線〃，h<zoc,求證：blla

答案：略

23.如圖：在四面體中，平面BCD,,ZBCD=90°,ZADfi=30°,E、F分別是、的中點。（1）求

證：平面_L平面；（2）求平面和平面所成的銳二面角。

arctan也

答案：（1）略；（2）

3

27.如圖所示：已知所在的平面，是OO的直徑，C是。O上隨意一點，過A作AELPC于E,求

證：平面P5C答案：略

AGB

24.已知正方體一A1B1C1D1的棱長為〃，求異面直線BiC和?間的距離。

.V6

答案：—-

6

25.如圖：正方體一AiBCiD］的棱長為。，E、F、G分別是、1、BC的中點，求異面直線與A】F的距離。

26.矩形中，6,26,沿對角線將AABO向上折起，使點A移至點P,且P在平面上射影位0,且0在上，

(1)求證：PDLPC：

(2)求二面角P——C的平面角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角正弦值。

_171

答案：(1)略，(2)(3)—

33

28.已知：空間四邊形中，。、N分別為和的中點，設(shè)和所成的角為a,求cosa的值。

…2

答案：一

3

29.己知：正三棱錐S一的底面邊長為a,各側(cè)面的頂角為3()。，D為側(cè)棱的重點，截面ADEE過D且平行于,

當(dāng)ADEF周長最小時，求截得的三棱錐S一的側(cè)面積。

答案：------a2

8

30.在四面體A一中，5,245,求該四面體的體積。

答案:8

立體幾何基礎(chǔ)B組題

一、選擇題:

1.在直二面角a—一夕的棱上取一點P,過P分別在a、用兩個平面內(nèi)作與棱成45°的斜線、，則NCP。的

大小為（）

A.45°B.60°C.12（FD.60°或120°

答案：D

2.假如直線/、機(jī)與平面a、夕、y滿意：I=BCy，IHa,mua和m_L/,貝U必有（）

A.a-L/且/J_/nB.a工yAm//。

C.m/i0且,11mD.a〃〃且a_L7

答案：A

3.在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：D

4.如圖：在多面體中，已知是邊長

3

為3的正方形，，EF=-,與面的距

2

離為2,則該多面體的體積為（

9八,15

A.—B.5C.6D.—

22

答案：D

5.假如一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系是

()

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.大小關(guān)系不確定

答案：D

6.已知球的體積為361，則該球的表面積為（）

A.9萬B.12〃C.24萬D.361

答案：D

7.已知MN//a,M|Aua,且NA1MN,若MN=2,M,A=3,NA=4則M|N等于

（）

A.屈B.5C.4V3D.2713

答案：A

8.異面直線a、人成60°角，直線c_La,則直線。與c所成角的范圍是（）

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[60°,120°]D.[30°,120°]

答案：A

9.一個三棱錐，假如它的底面是直角三角形，則它的三個側(cè)面（）

A.至多只有一個是直角三角形B.至多只有兩個是直角三角形

C.可能都是直角三角形D.必定都是非直角三角形

答案：C

10.如圖：在斜二棱柱一AiBiCi的底面AABC中,Bi

ZA=90°,KBCX±AC,過Ci作G”，底面，

垂足為H,則點H在（

A.直線上B.直線上

C.直線上D.A4BC內(nèi)部

答案：B

SE_BF_SG_I

11.如圖：三棱錐S—中，~EA~~FS~~SC~2則截面把三棱錐分成的兩部分的體積之比為

()

A.1:9B.1:7C.1:8D.2:25

12.正四面體內(nèi)隨意一點到各面的距離和為一個常量，這個常量是（）

A.正四面體的一個棱長B.正四面體的一條斜高的長

C.正四面體的高D.以上結(jié)論都不對答案：C

13.球面上有三點A、B、C,每兩點之間的球面距離都等于大圓周長的過三點的小圓周長為4%,則球面面

6

積為（）

A.16萬B.24打C.32萬D.48萬答案：D

二、填空題：

14.a、夕是兩個不同的平面，丸〃是平面a與尸之外的兩條不同直線，給出四個論斷:

①加_L〃②。，/?③“_1_夕④〃?_La以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論,

寫出你認(rèn)為正確的一個命題是答案：②③④=①或①③④0②

15.關(guān)于直角在平面a內(nèi)的射影有如下推斷：①可能是0。的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角;

⑤可能是180°的角，其中正確推斷的序號是

（注：把你認(rèn)為是正確推斷的序號都填上）答案：①②③④⑤

16.如圖所示：五個正方體圖形中，/是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出/_L

面的圖形的序號是

①②③

答案：①④⑤

17.如圖：平面?！ㄆ矫媸矫媲蚁υ赼、7之間。若a和夕的距離是5,4和/的距離是3,直線/和a、

夕、/分別交于A、B、C,12,則，

答案：”或2

22

18.已知三條直線兩兩異面，能與這三條直線都相交的直線有條。

答案：多數(shù)

19.一個三棱錐的三個側(cè)面中有兩個是等腰直角三角形，另一個是邊長為1的正三角形，這樣的三棱錐體積為（寫

出一個可能值）答案：也或乖或直

241212

20.正三棱錐兩相鄰側(cè)面所成角為a,側(cè)面與底面所成角為p，則2cosa+cos2尸

答案：一1

21.正四面體的四個頂點都在表面積為36萬的一個球面上，則這個正四面體的高等于

答案：4

22.如圖所示：AIBICIDI是長方體的一個斜截面，其中4,3,尸12,尸5,則這個幾何體的體積為

答案：102

三、解答題:

23.已知平面1平面夕，、是夾在夕間的兩條線段，A、C在a內(nèi)，B、D在月內(nèi)，點E、F分別在、上,

且AE:EB=CF:FD=m:n,求證：EFUa

24.在底面是直角梯形的四棱錐S—中，ZABC=9CP,SAL面ABC。，1,AD=-,（如圖）,

2

（1）求四棱錐S一的體積；（2）求面與面所成二面角的正切值。

_1V2

答案：（1）yS-ABCD=1（2）—

25.從二面角a—MN一尸內(nèi)一點A分別作，平面a于B,，平面夕于C,已知3,1,NABC=60°,求：

（1）二面角a—MN—4的度數(shù)；（2）求點A到棱的距離。

答案：（1）1209,（2）-721

3

26.如圖：在棱長為a的正方體O4BC—O'AR'C'中，E、F分別是棱、上的動點，且，（1）求證：AF1CE；

（2）當(dāng)三棱錐目的體積取得最大值時，求二面角的大小。

答案：（1）略，（2）arctan2近

27.已知正四棱柱一AIBIGDI，1,產(chǎn)2,點E為I中點，點F為1中點（如圖），（1）證明為i與i的公垂線；（2）

求點Di到面的距離。

2-73

答案：（1）略，（2）——

3

28.如圖：在直三棱柱一AIBIG中，底面是等腰直角三角形，NACB=90°,側(cè)棱尸2,D、E分別是?與A|B

的中點，點E在平面上的射影是AABO的重心G。

（1）求AiB與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）求點Ai到平面的距離。

276

答案：(1)arcsin—,(2)

3亍

29.如圖：三棱柱043-OA3,平面。_L平面，ZOOB=60°,ZAOB=90°,且尸2,退，求：

1111

（1）二面角01——O的大小；

（2）異面直線AiB與?所成角的大小。（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

答案：（1）arctanV7,（2）arccos—

7

30.，矩形所在平面，連，，，求證：ZPBD+ZBPC<9Q°,如圖。

31.長方形紙片，4,7,在邊上任取一點E,把紙片沿折成直二面角，問E點取何處時，使折起后兩個端點B、

D之間的距離最短？

答案：當(dāng)4時，的最小值為J方

32.如圖：ABCD內(nèi)接于直角梯形AiA2A3D,已知沿AfiCD三邊把入4出。、AA2BC,AA3C。翻折上去，恰

好使Ai、A2>A3重合成A,

（1）求證：AB_LCD；（2）若A。=10,A,A2=8,求二面角A---B的大小。

VF7

答案：（1）略，（2）arctan----

8

32.如圖：四棱錐P一中，底面為矩形，，平面，，E、F分別為、的中點。（1）求證：，平面；（2）設(shè)后，求

與平面所成的角的大小。

p

答案：(1)略，(2)arcsin—

6

33.在三棱錐P一中，、的長度分別為〃、b,與兩條異面直線間的距離為力，且與所成的角為求三棱錐P一

的體積。答案：-abhsmO

6

34.如圖所示：四棱錐P一中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是面積為2石的菱形，ZADC

為菱形的銳角，M為的重點，

(1)求證：PA±C￡＞；

(2)求二面角P——D的度數(shù);

(3)求證：平面_L平面；

(4)求三棱錐C一的體積。

答案：(1)略，(2)45°,(3)略，(4)-

2

35.如圖所示：直三棱柱一AIBCI中，產(chǎn)2,ZACB=9CP,E為?中點，ZA,DE=90°,

(1)求證：J■平面An；

(2)求二面角C—AiE—D的大小;

(3)求三棱錐Ai一的體積。

答案：(1)略,(2)45°,(3)1

A,C,

36.如圖所不：已知在斜三棱柱一A|B|C|中，，D為的中點，平面AiBiGJ_平面1A”異面直線?與1相互垂直。

（1）求證：?J■平面A,；

（2）若?與平面向的距離為1,A、C=后，A與=5,求三棱錐4一AC。的體積。

立體幾何基礎(chǔ)C組題

一、選擇題：

1.過空間任一點作與兩條異面直線成60°的直線，最多可作的條數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

答案:A

2.用一塊長方形鋼板制作一個容積為4m3的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有下列四種不同的規(guī)格（長x寬

的尺寸如各選項所示，單位均為m）?若既要夠用，又要所剩最小，則應(yīng)選擇鋼板的規(guī)格是

（）

A.2x5B.2x5.5C.2x6.1D.3x5

答案：C

3.已知集合｛直線的傾斜角｝,集合｛兩條異面直線所成的角｝,集合｛直線與平面所成的角｝,則下列結(jié)論中正確

的個數(shù)是（）

7T

（1）（“nN）np=（o,—?（2）（MDN）UP=（O,萬]

2

TTTT

（3）（“nN）up=（o,—]（4）（“nN）rip=（o,—）

22

A.4個B.3個C.2個D.l個

答案：D

4.已知圓錐的底面半徑為R,高為3R,在它的全部內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（）

QQ5

A.2欣2B.-TTR2C.-TTR2D.-TIR2答案：B

432

5.一個四面體的全部棱長都為收，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（)

A.3"B.4萬C.36兀答案：A

6.如圖：四棱錐P—的底面為正方形，

，平面，1,設(shè)點C到平面

的距離為4,點B到平面的距離^2,則有（

A.\<d]<d2B.<d2<\

C.4<1<12D.J2<（/,<1

答案：D

7.平行六面體一AIBCIDI的六個面都是菱形，則Di在面?上的射影是AAC名的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

答案：D

8.設(shè)正三棱錐P一的高為，M為的中點，過作與棱平行的平面，將三棱錐截為上、下兩部分，則這兩部分體積

之比為)

答案：C

9.一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是32二萬，則該三棱柱的體積是

3

（）

A.9673B.1673C.2473D.4873答案：D

10.在側(cè)棱長為2百的正三棱錐S一中,ZASB=ZBSC=ZCSA=40°,過A作截面，則截面的最小周長為

()

A.272B.4C.6D.10

答案：C

11.設(shè)O是正三棱錐P一底面AABC的中心，過。的動平面與P—的三條側(cè)棱或其延長線的交點分別記為，則

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等

D.是一個與平面為之無關(guān)的常量答案：D

12.三棱錐的三個側(cè)面兩兩相互垂直，且三條側(cè)棱長之和為3,則三棱錐體積的最大值為（）

A.1B.-C.-D.6答案：B

63

二、填空題：

13.過正方體的每三個頂點都可確定一個平面，其中能與這個正方體的12條棱所成的角都相等的不同平面的個

數(shù)為個答案：8

14.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)A45C的兩邊、相互垂直，則AB2+AC2拓展到空間，類

比平面幾何的勾股定理，探討三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A一

的三個側(cè)面、、兩兩相互垂直，則”

答案：S2MBC+S2&ACD+S2MDB=S2ABen

15.下圖是一個正方體的綻開圖，在原正方體中，有下列命題（1）與所在直線平行；（2）與所在直線異面；（3）

與所在直線成60°角；（4）與所在直線相互垂直，其中正確命題的序號為（將全部正確的都填入空格內(nèi)）

答案：⑵、（4）

16.如圖：在透亮塑料制成的長方體一AliGDi容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾

斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個命題：

①水的部分始終呈棱柱形；②水面四邊形的面積不變；③棱AD始終與水面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，

5尸?BE是定值，其中全部正確命題的序號是

答案：①③④

17.已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底粘在一起，恰得到一個全部二面角都相等的六面體，并且該六面體的

最短棱的長為2,則最遠(yuǎn)的兩頂點間的距離為

答案：3

三、解答題：

18.在長方體一ABCQ1中，a,BC=b,A4,=c,求異面直線?和B,C所成角的余弦值。

\c2-b2\

答案：11.----

-7a2+b2+c2-ylb2+c2

19.如圖所示：四棱錐P一的底面是邊長為。的正方形，，面，

（1）平面，平面所成的二面角為60。，求這個四棱錐的體積；

（2）證明無論四棱錐的高怎樣改變，面與面所成的二面角恒大于90°。

答案：（1）VP_ABCD=^-a\（2）略

p

20.如圖：已知平行六面體ABC?！狝'?。'。'的底面是菱形，且NC]CB=NCiCD=ZBC。，(1)證明:

CD

CqiBD；(2)當(dāng)cq的值為多少時,能使平面C門請給出證明。

CD

答案：(1)略，(2)——=I

CC,

21.在長方體一AiBCiDi中，己知產(chǎn)2,3,求:

(1)異面直線BC與?所成的角；(2)當(dāng)a為何值時，使BiCLi?

答案：⑴arccos(2)。=2

yja2+137a2+4

22