高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (13)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（13）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共11小題，共55.0分）

1.已知A,B,C是球。的球面上的三點(diǎn)，/.AOB=AAOC=60°,若三棱錐0-4BC體積的最大值

為1,則球。的表面積為（）

A.47rB.97rC.167rD.20兀

2.在底面是邊長為2的正方形的四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面的射影〃為正方形ABC。的中

心，異面直線P8與所成角的正切值為2,若四棱錐P-4BCD的內(nèi)切球半徑為r,外接球的

半徑為R,則（值等于（）

A.1B.|C.|D.|

2353

3.在長方體4BCO-48停1。1中，AB=AD=6,4公=2,M為棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在面。CGA

內(nèi)，滿足NAP。=“PM,則點(diǎn)尸的軌跡與長方體的面的交線長等于

A.B.nC.D.V2TT

4.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為6,該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E,F,G,H為

圓。上的點(diǎn)，AABE,△BCF,ACDG,^ADH分別是以A8,BC,CD,D4為底邊的等腰三角

形.沿虛線剪開后，分別以A8,BC,CD,D4為折痕折起AABE,△BCF,ACDG,AADH,使

E,F,G,”重合，得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接

球的表面積為（）

E

.16n-647rC1007T

A-VB.等c-VD--

5.在直四棱柱48CD-&B1GD1中，底面ABC。是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在線段AO上，且滿

足4E=2ED,過點(diǎn)E作直四棱柱4BCD-&B1GD1外接球的截面，所得的截面面積的最大值與

最小值之差為19兀，則直四棱柱4BC0-4當(dāng)6。1外接球的半徑為

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

6.在棱長為1的正方體4BCD-4B1QD1中，點(diǎn)E,尸分別是棱加久，BiG的中點(diǎn)，P是上底面

41當(dāng)6歷內(nèi)一點(diǎn)，若4P〃平面BDEF,則線段AP長度的取值范圍是（）

A.修閭B.降等C.晤孚D.恰閭

7.設(shè)四面體的六條棱的長分別為2,2,2,2,a和企，且長為式的兩條棱是異面直線，則該四

面體的外接球的表面積為（）

A.57rB.207rC.127rD.37r

8.如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：

①AF與BM成60。角.②4F與CE是異面直線.

③BN1DE.④平面4CN〃平面BEM.

以上四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

D.1----F

9.一個(gè)棱長為5c機(jī)的表面涂為紅色的立方體，將其適當(dāng)分割成棱長為1?！钡男≌襟w，則兩面涂

色的小正方體的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.24C.36D.48

10.已知三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA,PB,PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一

個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2乃，則三棱錐P-48C的內(nèi)切球的體積為（）

AbID乃「瓜n5/3

A.—nD.—nC.—71U.—n

2323

11.下列說法正確的個(gè)數(shù)是

①利用斜二測畫法得到的三角形的直觀圖是三角形;

②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱;

③各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐;

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共20.0分）

12.已知四棱臺4BC0-418165的上下底面均為正方形，其中4B=

2&，A]B[=&,44]=BBi=CC[=2,則下述正確的是（）.

A.該四棱臺的高為我

B.AA11CCj

C.該四棱臺的表面積為26

D.該四棱臺外接球的表面積為167r

13.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓。的兩條直徑分別為4B和CZ）,且1

ABLCD,若平面54。n平面SBC=/.以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.平面SBC/\：\\

B.1//AD//外八；

C.若E是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則4SAE的最大面積等于力8的面積乎:

D./與平面SCD所成的角為45。

14.正方體43。。-4/1的。1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CCrBB1的中點(diǎn).則（）

A.直線與直線AF垂直

B,直線4G與平面AE尸平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為：

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AE尸的距離相等

15.已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，母線長為2,底面半徑為遙，A,B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法

正確的是（）

A.圓錐的高為1

B.三角形PAB為等腰三角形

C.三角形P48面積的最大值為百

D.直線月4與圓錐底面所成角的大小為g

O

16.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊8c于地

面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，下面四個(gè)命題中正確的是（）.

A.有水的部分始終呈棱柱形；

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

C.棱&Di始終與水面所在平面平行；

D.當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，BE-BF是定值.

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

17.在三棱錐P-ABC中，二面角P-4B-C、/3-4。-8和「一8。-4的大小均等于爭

90,點(diǎn)P到平面ABC的距離為3,設(shè)三棱錐P-4BC的外接球球心為。，則三棱錐

P-4BC的外接球的表面積為.

18.已知半徑為V7的球面上有三點(diǎn)4、B、C，4B=2次,球心為O,二面角C一AB-。的大小為60°,

當(dāng)直線OC與平面OAB所成角最大時(shí)，三棱錐。-4BC的體積為.

19.表面積為16兀的球面上有四個(gè)點(diǎn)P,4B,C,且AZBC是邊長為2百的等邊三角形，若平面P4B±平

面ABC,則棱錐P-4BC體積的最大值為.

20.有一正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）木料4BC-&BiC「其各棱長都為2.已知Qi，Q2分別

為上，下底面的中心，M為Q1Q2的中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，過A,B,M三點(diǎn)的截面把該木料截成

兩部分，則=；截面面積為.

21.在44BC中，AB=2V5.4C=遍，^BAC=902,則A4BC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾

何體的表面積為.

22.在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。為正方形，AB=2,△P40為等邊三角形，線段BC的中點(diǎn)

為E,若PE=1,則此四棱錐的外接球的表面積為.

23.(1)若“x￡[2,5]或xe[x\x<1或>4卜”是假命題，則x的范圍是_____.

(2)若拋物線y2=2Px的焦點(diǎn)與橢圓蘭+g=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為_______.

62

(3)在正四棱錐S-ABCD中，E.M.N分別是BC.CD.SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P的線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四

個(gè)結(jié)論①EP1AC;②EP〃BD;③EP〃平面S8D;④EP_L平面SAC恒成立的是

(4)設(shè)橢圓C：9+5=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為a,尸2,過尸2作x軸的垂線與C相交于4B兩點(diǎn),

與)，軸相交于D,若AD1&B,則橢圓C的離心率等于.

24.在三棱錐P-ABC中，AB=BC=CA=V3.PA=1,PB=2,二面角P-4B-C的平面角的

大小為壬則此三棱錐的外接球表面積為.

25.在四面體ABC。中，三組對棱長分別相等且依次為b、V10>713，則此四面體4BC。的外接

球表面積為.

四、多空題(本大題共3小題，共12.0分)

26.已知正方體力BCD-AiBiGDi的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且與點(diǎn)A的距離為竽,

動(dòng)點(diǎn)P的集合形成一條曲線，這條曲線在平面CDD】G上部分的形狀是_(1)一；整條曲線的長度

是_(2)一

Dy

G

27.尸表示一個(gè)多面體的面數(shù),E表示棱數(shù)，丫表示頂點(diǎn)數(shù)，則F+V=E+2,

這是多面體的歐拉公式，已知如圖的多面體各面均為正六邊形或正方形,

每個(gè)正方形相鄰四個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形相鄰三個(gè)正方形和三個(gè)正

六邊形，則該幾何體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為棱的個(gè)數(shù)為_(2)_.

28.設(shè)三棱錐S-ABC的底面和側(cè)面都是全等的正三角形，尸是棱S4的中點(diǎn).記直線P8與直線AC

所成角為a，直線尸8與平面ABC所成角為夕，二面角P-4C-B的平面角為y,則a,/?,y中最

大的是最小的是_(2)_.

五、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

29.仇章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年。例如塹堵指底面

為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，

鱉膈指四個(gè)面均為直角三角形的四面體。如圖，在塹堵ABC-AB/G中，ACLBC.

(1)求證：四棱錐B-4/1CG為陽馬，并判斷四面體&CBC1是否為鱉席，若是寫出各個(gè)面的直

角(只寫出結(jié)論)；

(2)若4〃=48=2,當(dāng)陽馬B-AiACCi體積最大時(shí)；求平面C&B與平面4遇的夾角的余弦值。

30.如圖，在三棱柱4BC-4祖6中,4B14C,頂點(diǎn)占在底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B,且AB=AC=

(1)證明：平面J?平面4B】B；

(2)求棱44與8c所成的角的大小;

(3)若點(diǎn)P為&G的中點(diǎn)，并求出二面角P-AB的平面角的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查三棱錐的體積的最值問題以及其外接球的表面積，屬于中檔題.

確定當(dāng)平面AOC與面垂直時(shí)，三棱錐。-4BC的體積最大是解題關(guān)鍵，再結(jié)合三棱錐的體積公

式求出球的半徑，則球的表面積可求.

解：如圖，

設(shè)球0的半徑為R,^AOB=60°,SpoB=y/?2-

'1'yO-ABC=^C-AOB,HTJA40B面積為定值，

???當(dāng)點(diǎn)C到平面A08的距離最大時(shí)，最大，

.?.當(dāng)平面4OC與面AOB垂直時(shí)，體積%TBC最大，

???4Aoe=60°,OA=OC=R,

.?.△AOC為等邊三角形，

此時(shí)三棱錐C-40B的高為漁R,

2

三棱錐0-4BC體積最大值為工x組R2X更R=1,

342

???R=2,

二球0的表面積為4兀/?2=4TTX22=16n,

故選C.

2.答案：C

解析：

此題考查了正四棱錐內(nèi)切球與外接球，考查空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力，難度適中.

易知P-ABCD為正四棱錐，內(nèi)切球球心為兩斜高與底面中線所成正三角形的中心，外接球半徑需通

過方程解得，求解過程不難.

解：如圖，E,F為AB,CZ）的中點(diǎn)，

由題意，P—4BCD為正四棱錐，底邊長為2,

BC//AD,

NPBC即為尸2與AO所成角，

可得斜高為2,

??.△PEF為正三角形，

正四棱錐P-4BCD的內(nèi)切球半徑即為△PEF的內(nèi)切圓半徑，可得r=隹,

3

設(shè)。為外接球球心，

在RtZiO/M中，R2=2+（遮一R）2,

解得R=也,

6

r_2

.#?———，

R5

故選C.

3.答案：A

解析：

本題考查了長方體的結(jié)構(gòu)特征、軌跡方程的求法以及弧長公式的運(yùn)用，考查了學(xué)生的空間想象能力

和思維能力，是中檔題.

由題意畫出圖形，由角的關(guān)系得到邊的關(guān)系，建系后由求軌跡方程的方法求得P的軌跡.進(jìn)而求出

點(diǎn)尸的軌跡與長方體的面DCQDi的交線長.

解：因?yàn)槭乔簏c(diǎn)P的軌跡與長方體的面DCC15的交線，所以不妨設(shè)P在平面CCC15內(nèi)，

如圖，Z.APD=/.MPC,

^.Rt△PDA^jRt△PCMrf,設(shè)4。=6,貝=3,

???tanAPD,則2=—,PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面DCCiD］中，以。C所在直線為x軸，以DC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則￡)(-3,0),C(3,0),

設(shè)尸(x,y),

由PC=2PC,得：J(x+3)2+產(chǎn)=2，(久一3尸+川,

整理得：x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,

???點(diǎn)尸的軌跡是圓，圓心為(5,0),半徑為4,如圖所示，

點(diǎn)P的軌跡與長方體的面DCC15的交線為弧而，

因?yàn)閟in4OQH=^=^,則NOQ":,

所以交線長為：X4二

6?5

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查空間幾何體外接球的表面積，屬于中檔題.

連接。E交AB于點(diǎn)/，設(shè)E,F,G,修重合于點(diǎn)P,正方形A8C。的邊長為％(尤＞0),則。/=|,歷=6-|,

根據(jù)四棱錐P-4BCD的側(cè)面積是底面積的2倍，可求得x=4,進(jìn)而可求得外接球的半徑R=逋，

3

即可求得外接球的表面枳.

解：如圖，連接OE交A8于點(diǎn)/,設(shè)E,F,G,〃重合于點(diǎn)P,

正方形ABC。的邊長為％(尤＞0),則0/皂，化=6—；.

因?yàn)樗睦忮FP—ABCD的側(cè)面積是底面積的2倍，所以4x|(6-今=2/,解得久=4.

設(shè)四棱錐P—4BCD的外接球的球心為。，半徑為R,連接PO,OC,CQ,

則有OC=2V2-因?yàn)镻C=EA=V42+22=2遙，所以O(shè)P=V20-8=2我，

則R2=(2V3-R)2+(2煙2,解得R=,=竽，

所以四棱錐P-4BCD外接球的表面積S=4兀x("＞=警，故選D.

5.答案：C

解析：

本題考查空間中球的截面問題，屬于難題.

依題意得，所得的截面面積的最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在大圓的直徑上，所得的截面面積的最小時(shí)，此時(shí)

截面過E點(diǎn)且垂直于大圓，即可求解.

解：如圖所示：

p

過點(diǎn)E作直四棱柱4BC。-&B1C1D1外接球的截面，

所得的截面面積的最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在大圓的直徑上，

所得的截面面積的最小時(shí)，此時(shí)截面過E點(diǎn)且垂直于大圓.

因?yàn)榈酌鍭BCQ是邊長為6的正方形，且滿足4E=2ED,

則4H=3,HE=1,ED=2,

設(shè)直四棱柱4BCD-48164外接球的半徑為〃

則。H—Vr2-32=7T2—9,

0E=VOW2+HE2=Vr2-8.

得EN=y/ON2-OE2=yjr2-(r2-8)=2&，

由截面面積的最大值與最小值之差為19兀得

2

nr2-7F(2A/2)=197r

解得r=3^3.

故選C.

6.答案：B

解析：

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，解決本題的關(guān)鍵是通過

構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置，屬于較難題.

分別取棱為Bi、45的中點(diǎn)M、N,連接可證平面AMN〃平面5DEF,得P點(diǎn)在線段MN上，

由此可判斷當(dāng)P在何N的中點(diǎn)時(shí)，AP最??；當(dāng)P與例或N重合時(shí)，AP最大，然后求解直角三角形

得答案.

解：如下圖所示:

分別取棱A/1、久久的中點(diǎn)M、N,連接連接當(dāng)。1，

M,N、E、F為所在棱的中點(diǎn),

:.MN“BiD\,EF〃BM，

MN//EF,乂MNC平面BDEF,EFu平面BOE凡

???MN〃平面BDEF;

連接NF,由NF//41B1，NF=A$i，A1B1//AB,AxBr=AB,

可得NF〃4B,NF=AB,則四邊形4NFB為平行四邊形，

則4N//FB,而AN<t平面BDEF,FBu平面BDEF,則AN//平面BDEF.

又ANnNM=N,AN,NMC平面月4/N,

二平面AMN〃平面BDEF.

又P是上底面4道16。1內(nèi)一點(diǎn)，且AP〃平面BDEF,

?1.P點(diǎn)在線段MN上.

在中，AM=y/AAl+A^2=小+；=爭

同理，在RtM&N中，求得⑷7=爭則MMN為等腰三角形.

當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí)，AP最小為Ji2+（f）2=乎

當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大為5+（》2=當(dāng).

故選:B.

7.答案：A

解析：

本題考查球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出合適的模型計(jì)算處球體的半徑，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

將四面體放在長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為X、y、Z,根據(jù)題中條件列勾股定理，可得出

長方體的體對角線長，即為四面體的外接球直徑，再利用球體表面積公式可得出答案.

解：如下圖所示，

四面體480)中，AB=CD=近,AC=AD=BC=BD=2,

可將四面體ABC。放在長方體AEDF-GBHC,設(shè)BG=x,CG=y,AG=z,

(AB2=x2+z2=2

則(AD2=x2+y2=4,

{AC2=y2+z2=4

將上述三個(gè)等式相加得2(X2+y2+z2)=10,則產(chǎn)+y2+z2=5,

設(shè)四面體ABC。的外接球直徑為2R,則(2R)2=x2+y2+z2=5,

因此，該四面體外接球的表面積為4兀/?2=7rx(2R)2=57r.

故選A.

8.答案：A

解析：

本題考查了折疊問題，恢復(fù)到正方體，運(yùn)用幾何體中的性質(zhì)，判斷位置關(guān)系，難度不大.

將展開圖復(fù)原為兒何體，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，分別判斷四個(gè)命題的真假，容易判斷選項(xiàng)的正誤,

求出結(jié)果.

解：根據(jù)展開圖，畫出立體圖形,

①VAN]IBM，則A尸與BM所成角為NN4F=60°,

故AF與B例成60。角，正確;

②4F與CE是異面直線，正確；

（3）vDEA.AN,DE1AB,二DE1平面A8N,

BNIDE,正確；

④根據(jù)兩平面平行的判定定理可得平面4CN〃平面BEM,正確.

故選A.

9.答案：C

解析：

本題將表面涂為紅色的正方體分割成若干個(gè)小正方體，求只有二面是紅色的小正方體個(gè)數(shù).著重考

查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類計(jì)數(shù)原理等知識，屬于基礎(chǔ)題.

位于大正方體的12條棱處的小正方體，除了頂點(diǎn)處的小正方體外，其它的小正方體有2面涂有紅色，

問題得以解決.

解：位于大正方體的12條棱處的小正方體，除了頂點(diǎn)處的小正方體外，

其它的小正方體有2面涂有紅色，總共有3x12=36個(gè).

故選C.

10.答案：A

解析：

本題考查三棱錐內(nèi)切球的的體積，屬于中檔題.

可知三棱錐P-4BC展開后為一等邊三角形，先求其邊長，然后利用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即

可求解.

解：三棱錐P-ABC展開后為一等邊三角形，

設(shè)邊長為m則=所以a=6立，

二三棱錐P-ABC棱長為3&,則三棱錐P-ABC的高為2百，

設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，則4X“XSA4BC=；SAABCX2V5,所以「=今

???三棱錐P-4BC的內(nèi)切球的體積為士兀/=立兀，

32

故選A.

11.答案：B

解析：略

12.答案：AD

解析：

本題考查立體幾何中位置關(guān)系，表面積，外接球的問題，屬于難題.

根據(jù)棱臺的性質(zhì)，補(bǔ)全為四棱錐，根據(jù)題中所給的性質(zhì)，進(jìn)行判斷.

解：由棱臺性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，

由于/6=2逝，44=血，可知AS4與與兒％8相似比為1:2；

貝IJS/=244=4，40=2,則so=2ji，則百，該四棱臺的高為4對；

因?yàn)?=SC=4C=4,則44與CG夾角為60°，不垂直，6錯(cuò);

該四棱臺的表面積為S=Sr底+s.碇+s例=2+8+4x豆等幺x?=10+6救，C錯(cuò);

由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在OQ上，

在平面48OQ上中，由于。。=百，8'=1,則0旦=2=08,

即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)片的距離相等，則r=OB=2,

該四棱臺外接球的表面積為16萬，。對，

故選：AD.

13.答案：A3。

解析：

本題考查直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，命題的真假的判斷，是基本知識的考查.利用直線與平面

的性質(zhì)判斷直線與平面平行，直線與直線的平行，三角形的面積的最值的求法，直線與平面所成角

判斷選項(xiàng)的正誤即可.

解：已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓。的兩條直徑分別為AB和CD,且ABICO,

若平面$4。n平面SBC=所以ABC。是正方形.

所以AD〃BC,BCu平面SBC,所以4D〃平面SBC,故4正確；

因?yàn)?,ADu平面SAD,I,BCu平面SBC,4D//平面SBC,

所以故8正確；

若E是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)乙4SBW90。時(shí)，則ASAE的最大面積等于ASAS的面積；

當(dāng)乙4sB>90。時(shí)，aSAE的最大面積等于兩條母線的夾角為90。的截面三角形的面積，故C不正確;

因?yàn)?與平面SC。所成的角就是AO與平面所成角，就是N4DB=45。.故。正確.

故選：ABD.

14.答案：BC

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.

利用向量法判斷A;利用面面平行判斷B；作出正方體的截面為等腰梯形，求其面積即可判斷C；利

用等體積法判斷D

解：對選項(xiàng)A：以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則。(0,0,0)、4(1。0)、4(1,0,1)、E&L0)、“0,1》G(l,l,|)-。式0,0,1).

從而西=(0,0,1),AF=(-1,1,^).

從而而，而=[#(),

所以直線。01與直線AF不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

取BiG的中點(diǎn)為連接公“、GM,

則易知〃力E,

5

又41M仁平面AEF,AEu平面AEF,

故41M〃平面AE凡

又GM“EF,同理可得GM〃平面4EF,

又4iMnGM=M,&M、GMu平面&GM,

故平面A\MG[I平面AEF,

又A]Gu平面力iMG,

樂而A[G”平面AEF,選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,連接D.F,如圖所示，

???正方體中ADJ/BCJ/EF,

.?.4、E、F、5四點(diǎn)共面，

???四邊形4EF5為平面AEF截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形4EF%為梯形,

又由勾股定理可得名尸=4E=彳，AD、=五,EF=號

???梯形AEFDi為等腰梯形，高為（均2_（竺|）2=越,

所以S懶的IEF01=]X(\/2+1)X，從而選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D：由于SAGEF=S梯形BEFG-S&EBG

八，、

=-1(14--1)X-1---1X-1X-1=1

2、2，22224

1、111

而S^EC尸=7ZXZ?XZ2=oR，

_11

而匕-GEF=wS^EFGMB,匕-ECF=MB,

所以5-GEF=^A-ECF,即％-4EF=^C-AEF'

點(diǎn)G到平面AEF的距離為點(diǎn)C到平面AEF的距離的二倍，從而￡＞錯(cuò)誤.

故選BC.

15.答案:ABD

解析：

本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征和直線與平面所成角，屬于中檔題.

求出圓錐的高可知A正確，由P4=PB可知B正確，對于C,圓錐軸截面為頂角為鈍角的三角形，

所以軸截面的面積不是最大值，當(dāng)三角形/MB為直角三角形時(shí)面積最大，故C錯(cuò)誤，由圓錐的高為

1,母線長為2,可得直線PA與圓錐底面所成角，可判斷D

解：由圓錐的高為122-(遮＞=1，故A正確；

住|P4=PB可得三角形PA8為等腰三角形，故B正確；

9TT

圓錐的軸截面三角形的頂角為N8P3;，

所以三角形PAB面積的最大值為；x2x2xsin：2,故C錯(cuò)誤；

由圓錐的高為1,母線長為2,則直線PA與圓錐底面所成角的大小為士故。正確，

故選ABD.

16.答案：ACD

解析：

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判定，棱柱的體積等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力，

屬中檔題.

結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判定，棱柱的體積等知識，逐項(xiàng)分析即可.

解：對于A,有水的部分符合棱柱的特征，故A正確；

對于8,EF是可以變化的，E”是不變的，所以面積是改變的，故8不正確；

對于C,因?yàn)橛芍本€與平面平行的判斷定理，棱45始終與水面所在平面平行，故C

正確；

對于。中，水的體積是不變的，高始終是BC不變，所以底面積也不會(huì)變，即BE-BF是定值，故。

正確.

故選ACD.

12321

.答案:

171447r

解析：略

18.答案：3

解析：

本題考查求三棱錐的體積公式，考查球的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及線面夾角.

設(shè)△4BC的外心為A8的中點(diǎn)為。，連接0。'，OD,O'D,O'B,O'A,則00'_L平面AB為由題

意可得N。'。。是二面角C-AB-0的平面角，/.O'DO=60°,

解Rt^OO'D,可得。'D及。0',解RtAO'DA中，可得。%,根據(jù)直線OC與平面Q4B所成角最大時(shí)，

CQ過點(diǎn)O',CDLAB,求出SMBC，結(jié)合三棱錐體積公式即可求出三棱錐。-ABC的體積.

解：如圖，

設(shè)△ABC的外心為O',A8的中點(diǎn)為。,

連接0。'，OD,O'D,O'B,O'A,

則00'_L平面ABC,O'Du平面ABC,

所以。。'_LO'D,

由題意，OB=0A=0C=巾，O'A=O'B,

則。DIAB,O'DA.AB,

O'Ou平面ABC,ODu平面AB。，平面ABCn平面4B。=4B,

所以NO'。。是二面角C一4B-。的平面角，

則40'。。=60°,

在RtAOZM中，OD=J（⑺之_網(wǎng)2=2,

在RtAOO'。中，0D=2,407）0=60。，

所以O(shè)'D=1,00'=V3，

在Rt△O'DA中，0%=Jl2+（V3）2=2，

當(dāng)直線0C與平面OAB所成角最大時(shí)，CZ）過點(diǎn)0',

此時(shí)CD1AB,CD=CO'+O'D=O'A+O'D=3,

S-BC=^ABIICDI=1x2kx3=38，

三棱錐0-4BC的體積為：1SM8c,。。'=gx3百xb=3.

故答案為3.

19.答案：3

解析：

本題主要考查棱錐的體積的最大值的求法，屬于中檔題,棱錐的底面積為定值，欲使棱錐體積體積最

大，應(yīng)有P到平面ABC的距離取最大值，由此能求出棱錐P-ABC體積的最大值.

解：???表面積為167r的球，球的半徑為2,

設(shè)△ABC的中心為O,貝IJOA=2,可知球心為O,

欲使其體積最大，應(yīng)有P到平面ABC的距離取最大值，

又平面P4B_L平面ABC,

??.P在平面ABC上的射影落在直線AB上，而。P=2,點(diǎn)O到直線AB的距離為1,

則P到平面ABC的距離的最大值為舊工！=百,

y=Ixyx(2V3)2xV3=3.

故答案為3.

20.答案：|V3,

解析:

本題考查了三棱柱的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，是中檔題.

根據(jù)題意知過三點(diǎn)的截面為等腰梯形，畫出圖形結(jié)合圖形求出的長度和該梯形的面積.

解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；

正三棱柱ABC-41B1C1中，各棱長都為2,M為Q1Q2的中點(diǎn),

則MQz=1,NQ2==圣

則MN=J12+gj=9；

過A,B,M三點(diǎn)的截面為等腰梯形ABEF,

則EF=[4當(dāng)=|,

則截面面積為S=：*(|+2)*竽=呼

故答案為|V5,^V3.

21.答案：6西兀

解析：

本題考查旋轉(zhuǎn)體的定義，圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式.

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐的側(cè)面積S=兀RL計(jì)算公式可得.

解：由題知該幾何體為兩個(gè)倒立的圓錐底對底組合在一起，其中母線長分別為2遍,有，

BC=y/AB2+AC2=5，

故底面圓半徑R=絲生=迺班=2,

BC5

所以S=yrx2x(2A/5+A/5)=6V5TT.

故答案為

22.答案：等

解析：

本題考查四棱錐與球的組合體的計(jì)算問題，屬于較難題.

由四棱錐的結(jié)構(gòu)特征找出外接球我球心和半徑，再利用球的面積計(jì)算公式求解即可.

解：如圖：

取A。的中點(diǎn)為F,正方形A8C。的中心為。口正三角形A。尸的中心為。2，設(shè)球心為。,

則。。11。1吃。。2102F,所以。。1。2尸四點(diǎn)共圓，

因?yàn)镋F=2,PF=V3.PE=1.

所以4FPE=90。,APFE=30°,

又因?yàn)镕O2=g,O\F=1,

所以01。2=Jl+1-2XlXyXy==

OF=2=也,

sin3003

因?yàn)镋F1AD,PF1AD,EFCPF=F,

EF,PFu平面尸EF,所以力DI平面PEF,OFu平面PEF,

易證。F1AF,所以外接球的半徑為R=7AF2+。/2=Jl+f=

所以此四棱錐的外接球的表面積為4兀/?2兀，

OQ—.

故答案為一7.

<>

23.答案：(1)［1,2).

⑵4.

⑶①③?

(4)三.

解析：

(1)本題考查四種命題的真假及元素與集合的關(guān)系的判斷，根據(jù)題意原命題是假命題可轉(zhuǎn)化成它的否

命題是真命題進(jìn)行求解，求出滿足條件的x即可.

解：若“KG［2,5］或xG{x}x<1或工>4}”是假命題，

則它的否命題為真命題即{對％<2或%>5}且卜|1<x<4}是真命題，

所以x的取值范圍是［1,2).

故答案為［1,2).

(2)本題考查橢圓的簡單性質(zhì)及拋物線的性質(zhì)，根據(jù)題意通過橢圓、拋物線的焦點(diǎn)相同，計(jì)算即得結(jié)

果.

解：由a?=6、b2-2,可得=a2—￡>2=4,

???橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0),

???拋物線y2=2Px的焦點(diǎn)(2,0),

p—4.

故答案為4.

(3)本題考查命題真假的判斷，在①中：由已知得S0L4C.,4。_1_平面58。，從而平面EMN〃平面

SBD,由此得到AC1EP；在②中：由異面直線的定義可知：EP與是異面直線；在③中：由平

面EMN〃平面58力，從而得到EP〃平面SBD；在④中：由已知得EM1平面SAC,從而得到EP與

平面S4c不垂直.

解：如圖所示，

連接AC、3。相交于點(diǎn)。，連接EM,EN.

在①中：由正四棱錐S-ABCZ),可得SO_L底面A8C￡),ACA.BD,

ASO1AC.

■■SOQBD=0,AC_L平面SBD,

E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，

???EM//BD,MN//SD,而EMCMN=N,

???平面EMN〃平面SB。，AC_L平面EMM4CJ.EP.故正確.

在②中：由異面直線的定義可知：EP與BO是異面直線，

不可能EP〃BD,因此不正確；

在③中：由①可知平面EMN〃平面S8O,

???EP〃平面S8D,因此正確.

在④中：由①同理可得：EM1平面SAC,

若EPL平面SAC,則EP〃EM,與后「。七”=￡相矛盾，

因此當(dāng)尸與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直.即不正確.

故答案為①③.

(4)本題考查橢圓離心率的求解，根據(jù)題意連接AR,可得恒居|=2|4尸2|,進(jìn)而可得6=￡2c

2a

,從而即可求得結(jié)果.

Mfil+MF2I

解：連接A&,

?-?OD//AB,。為F/2的中點(diǎn)，

。為B&的中點(diǎn)，

又AD1B&,|傷|=|48|.

MFil=2|同

設(shè)IAF2I=n,則|4&|=2n,尸/?]=V3n,

因此e=-=—=―色且一=受=正.

a2a\AF±\+\AF2\3n3

故答案喈.

137T

24.答案:

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及二面角與球的表面積公式，考查空間思維能力，屬于較難題目.

先得出PA_L4B,作出二面角P-48-C的平面角，取。H=HF=FC=a過點(diǎn)”作OHJ.CD交EF

于點(diǎn)O,連接EF,由NEDC=￡DE==；可得NOFE:,則OH爭再由勾股定理求出

322b

外接球的半徑得出外接球的表面積即可.

解：VAB=BC=CA=V3.PA=1,PB=2,

PA2+AB2=PB2,

???PA1ABf

取A。的中點(diǎn)￡),P8的中點(diǎn)E,連接CD,DE,

可得CE14B,CDLAB,

NCDE即為二面角P-4B-C的平面角，WZ.CDE='；,

<5

DE=\PA=i,CD=—AB=-,

2222

取DH=HF=FC=去過點(diǎn)”作。H_LCD交EF于點(diǎn)。，連接EF,

??乙EDC=g,DE==:可得NDFE:,則?！?立,

322()6

???外接球的半徑R=J曲2+12=萼，

???外接球的表面積為』爾4TTX^坐.

363

故答案為中.

25.答案：14亓

解析：

本題考查的知識點(diǎn)是球的表面積，其中利用割補(bǔ)法，補(bǔ)充四面體成長方體,進(jìn)而求出其外接球的半

徑是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由已知中四面體ABC。中，三組對棱棱長分別相等，且其長分別為花，“U，V13,故可將其補(bǔ)充

為一個(gè)長方體，根據(jù)外接球的直徑等于長方體的對角線，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即

可求出答案.

解：因?yàn)樗拿骟wABCD中，三組對棱棱長分別相等，

故可將其補(bǔ)充為一個(gè)三個(gè)面上對角線長分別為遮，尺,g,的長方體，

則其外接球的直徑2R=R(5+10+13)=V14,

所以R=包，

2

所以四面體外接球的表面積SITTR2147T.

故答案為UTT.

26.答案：小圓弧

5V3

——7T

解析:

本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.

這條曲線在面ADD1&上的一段是以A為圓心，手為半徑，，為圓心角的一段圓弧；在面上

的一段是以&為圓心，苧為半徑，三為圓心角的一段圓弧，結(jié)合正方體的對稱性，計(jì)算這條曲線的長

度.

解：由題意，此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、巫

3

為半徑的球在正方體ABC。-&B1GD1各個(gè)面上交線的長度計(jì)算，

正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：ABCD.AA^D.D.4久當(dāng)8為過球心的截面，截痕為

大圓弧,各弧圓心角％半徑為季

4道傳1。1、B1BCG、5CCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧,

由于截面圓半徑為r=3，故各段弧圓心角為？

32

??.這條曲線長度為3X2X2+3X2X^=&J

63236

故答案為小圓??；壁兀

6

27.答案:24

36

解析:

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.

設(shè)該幾何體有x個(gè)正六邊形，y個(gè)正方形，根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得3x=4y,棱數(shù)，頂點(diǎn)數(shù),

由產(chǎn)+V=E+2,列方程求解即可.

解：設(shè)該幾何體有x個(gè)正六邊形，y個(gè)正方形，則3x=4y,面數(shù)為x+y,

6x+4y

棱數(shù)絲羅，頂點(diǎn)數(shù)空，故x+y+失”+2=>x=8,y=6.

2

頂點(diǎn)數(shù)為24,棱數(shù)為36.

故答案為24；36.

28.答案：a

解析：

本題考查空間幾何體中線線角、線面角以及面面角的求解問題，屬于中檔題.

不妨設(shè)三棱錐S-ABC的棱長為2.取棱SC的中點(diǎn)為Q,連PQ,BQ.容易得到PQ〃/1C,所以直線尸8

與直線AC所成的角a即為直線P8與直線PQ所成的角NBPQ.在ZPQB中可求得cosa=在；取等邊三

6

角形A8C的中心為0,取等邊三角形4BC的中心為0,容易得到PE1面A8C,所以NPBE即為直線

PB與平面42c所成的角仇在RMPBE中可求得cos/?=，；取棱AC的中點(diǎn)為F,容易得到SF_L

AC,BF1AC,所以NS尸8即為二面角P-AC-B的平面角為y,在RMSO尸中可求出cosy=黑=[.繼

而可得到COSQ<cosy<cos/?,進(jìn)而判斷出結(jié)果.

解：由題意知三棱錐S-ABC為正四面體，不妨設(shè)三棱錐S-ABC的棱長為2.

s

取棱SC的中點(diǎn)為Q,連PQ,BQ.由于P是棱SA的中點(diǎn)，所以PQ〃/IC,

所以直線P8與直線4c所成的角a即為直線PB與直線PQ所成的角NBPQ.

在4PQB中，容易計(jì)算出PB=BQ=VI,PQ=1，

KChl,DDn12+(A)2-(A)2V3

歷以cosa=cos乙BP0=----~~——=—

72x1x66

取等邊三角形ABC的中心為。，連接SO,則S01面ABC.

易得0B=—,OF=—,

33

取OA的中點(diǎn)為E,連PE,則PE」二SO，所以PEL面ABC,

2

所以NPBE即為直線P8與平面ABC所成的角夕.

因?yàn)镾O=VSB2-OB2=J22_呼『=乎，

所以PE=―,而PB=V3，

3

所以在RMPBE中，EBJ?'管)V7.

C°SB=3=—后—=T

取棱AC的中點(diǎn)為凡連SF,BF.

在正四面體S-4BC中，容易得到：SFA.AC,BFLAC,

所以4SFB即為二面角P-AC-B的平面角為y,且為銳二面角.

在RMS。尸中，SO=^-,SF=\f3,OF=

所以cosy=^=1.

所以cosa<cosy<cos/?,又a,0,y皆為銳角,

所以a>y>/?.

所以a,0,y中最大的角是a,最小的角是口.

故答案為：a：0.

29.答案：(I)證明：由塹堵ABC-&BiG的性質(zhì)得：四邊形為