第5章 生活中的軸對稱（培優(yōu)篇）

第5章生活中的軸對稱（培優(yōu)篇）一、單選題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的（

）A． B． C． D．2．如圖，與是兩個全等的等邊三角形，，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．直線垂直平分C． D．四邊形是軸對稱圖形3．如圖所示，在四邊ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分別找一點(diǎn)M，使得△AMN的周長最小，則此時∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（

）A．110° B．120° C．140° D．150°4．如圖所示，正方形ABCD的邊長為a，正方形ABCD的面積記作，取各邊中點(diǎn)，順次連接得到的正方形面積記作，以此類推，則可用含a的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．5．如圖（1）所示為長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖（2）；再沿BF折疊成圖（3）；繼續(xù)沿EF折疊成圖（4）按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG，整個過程共折疊了9次，問圖（1）中∠DEF的度數(shù)是（）A．20° B．19° C．18° D．15°6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點(diǎn)，則△DEF的周長的最小值是（

）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．67．折紙是我國的傳統(tǒng)文化，折紙不僅和自然科學(xué)結(jié)合在一起，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支，折紙過程中既要動腦又要動手．如圖，將一長方形紙條首先沿著進(jìn)行第一次折疊，使得，兩點(diǎn)落在、的位置，再將紙條沿著折疊（與在同一直線上），使得、分別落在、的位置．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對稱的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，分別與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1-∠2的度數(shù)是（

）A．32° B．64° C．65° D．70°10．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，將此△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的點(diǎn)B′處，則∠ADB′等于（

）A．35° B．30° C．25° D．20°11．如圖所示，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，P是AD上的動點(diǎn)，若AD=3，則EP＋CP的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．512．已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)E，連接BE、CE，∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結(jié)論：①△ABD為等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）13．如圖，將△ABC沿DE、EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO＋∠CFO＝78°，則∠C的度數(shù)為=___________．

14．如圖，長方形ABCD中(AD>AB)，M為CD上一點(diǎn)，若沿著AM折疊，點(diǎn)N恰落在BC上，則∠ANB+∠MNC=___________15．小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿直線EF折疊后與點(diǎn)O重合，你能得出那些結(jié)論？”時，發(fā)現(xiàn)了下面三個結(jié)論：①；②圖中沒有60°的角；③D、O、C三點(diǎn)共線．請你直接寫出其中正確的結(jié)論序號：______16．圖1是一張足夠長的紙條，其中，點(diǎn)、分別在，上，記．如圖2，將紙條折疊，使與重合，得折痕；如圖3，將紙條展開后再折疊，使與重合，得折痕：將紙條展開后繼續(xù)折疊，使與重合，得折痕；．．．依此類推，第次折疊后，_______（用含和的代數(shù)式表示）．17．如圖，在△ABC中，∠BAC=75°，BC=3，△ABC的面積是12，D為BC邊上一動點(diǎn)（不與B、C重合），將△ABD和△ACD分別沿直線AB，AC翻折得到△ABE與△ACF，那么△AEF的面積的最小值____．18．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為_____度．三、解答題（本大題共6小題，共60分）19．（8分）如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，試在∠AOB的兩邊上各取一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）20．（10分）如圖，將△ABC分別沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，線段BD與AE交于點(diǎn)F．（1）若∠ABC=16o，∠ACB=30°，求∠DAE及∠BFE的值；（2）若BD與CE所在的直線互相垂直，求∠CAB的度數(shù)．21．（10分）如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，點(diǎn)E、F在AB上，且∠ECF＝60°．（1）①在圖1中畫出；點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)G；②若EF＝AF，求證：BE＝EF；（2）如圖2，∠ABP＝120°，射線BP交CE的延長線于點(diǎn)P，求證：PB+AF＝PF．22．（10分）如圖，和是共頂點(diǎn)A的兩個全等的等邊三角形．（1）該圖形顯然是軸對稱圖形．請你僅用無刻度的直尺畫出該圖形的對稱軸l（不必寫出作法，但要保留作圖痕跡，標(biāo)注對稱軸l）（2）在備用圖1中，連接BD，CE，求證：；（3）在備用圖2中，連接BE，CD，求證：．23．（10分）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直線l過點(diǎn)C．（1）當(dāng)AC=BC時，如圖①，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥l于點(diǎn)D，BE⊥l于點(diǎn)E．求證：△ACD≌△CBE．（2）當(dāng)AC=8，BC=6時，如圖②，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對稱，連接BF，CF，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿F→C→B→C→F向終點(diǎn)F運(yùn)動，點(diǎn)M、N到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時停止運(yùn)動，過點(diǎn)M作MD⊥l于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥l于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①CM=，當(dāng)N在F→C路徑上時，CN=．（用含t的代數(shù)式表示）②直接寫出當(dāng)△MDC與△CEN全等時t的值．24．（12分）古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締栴}實(shí)際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A，C，B′三點(diǎn)共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型．拓展應(yīng)用：如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)P是BD上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是BC上一個動點(diǎn)，請?jiān)趫D5中畫出PC+PM的值最小時P的位置．（可用三角尺）

參考答案1．D【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．解：∵A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，∴A不符合題意；∵B是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，∴B不符合題意；∵C不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，∴C不符合題意；∵D是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，∴D符合題意；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱圖形即將圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分完全重合，中心對稱圖形即將圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)與是兩個全等的等邊三角形，可得到，，，然后結(jié)合，先計(jì)算出的大小，便可計(jì)算出的大小，從而判定出AD與BC的位置關(guān)系及BE與DC的關(guān)系，同時也由于與是等腰三角形，也容易確定四邊形ABCD的對稱性．解：（1）∵與是兩個全等的等邊三角形∴，，∴∵∴∴，∴，所以選項(xiàng)A錯誤；（2）由（1）得：∴∴，所以選項(xiàng)C正確；（3）延長BE交CD于點(diǎn)F，連接BD．∵，∴∴∴即在與中∴∴∴，綜上，BE垂直平分CD,所以答案B正確；（4）過E作，由得而和是等腰三角形，則MN垂直平分AD、BC，所以四邊形ABCD是軕對稱圖形，所以選項(xiàng)Ｂ正確．故選：Ａ【點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)主要是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定及其軸對稱圖形的定義，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的難點(diǎn)．3．B【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故選B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法，以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得出M，N的位置是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求得、的面積，觀察規(guī)律，即可求解．解：由題意可知：正方形ABCD的面積由題意可得：分別為各邊的中點(diǎn)，將正方形沿、進(jìn)行折疊，可得與重合，與重合，可以得到、、、又∵∴同理可得，…故選C【點(diǎn)撥】此題考查了圖形類規(guī)律的探索問題，解題的關(guān)鍵是求出前面圖形的面積，得出規(guī)律．5．C【分析】根據(jù)最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG；整個過程共折疊了9次，可得CF與GF重合，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠DEF的度數(shù)．解：設(shè)∠DEF＝α，則∠EFG＝α，∵折疊9次后CF與GF重合，∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，如圖（2），∵CFDE，∴∠DEF+∠CFE＝180°，∴α+9α＝180°，∴α＝18°，即∠DEF＝18°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解決該題型題目時，根據(jù)翻折變換找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．6．C【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當(dāng)M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問題．解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當(dāng)M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．A【分析】先根據(jù)折疊和平行的性質(zhì)得出∠EFB=∠GEF，再利用三角形的外角和平行的性質(zhì)得出∠FGD1=∠G2FC，最后利用∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°計(jì)算即可解：∵AD//BC∴∠DEF=∠EFB．由折疊可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2∴∠EFB=∠GEF．∠FGD1=2∠BFE，又∴∠FGD1+∠GFC1=180°∵∠BFC2+∠C2FC=180°．∴∠FGD1=∠G2FC．即∠C2FC=2∠BFE．又∵3∠EFB=∠EFC2．∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°∴∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°即6∠EFB=180°∴∠EFB=30°故選：A【點(diǎn)撥】本題考查折疊的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角，靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵8．B【分析】由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到的值，再根據(jù)對頂角相等可以求出的值，然后由點(diǎn)P與點(diǎn)、對稱的特點(diǎn)，求出，進(jìn)而可以求出的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出．解：∵∴∵，∴又∵點(diǎn)關(guān)于對稱的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)∴，∴∴∴故選：B【點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)有三角形的內(nèi)角和、軸對稱的性質(zhì)，運(yùn)用這些性質(zhì)找到相等的角進(jìn)行角的和差的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.9．B【分析】此題涉及的知識點(diǎn)是三角形的翻折問題，根據(jù)翻折后的圖形相等關(guān)系，利用三角形全等的性質(zhì)得到角的關(guān)系，然后利用等量代換思想就可以得到答案解：如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置∠B=∠D=32°

∠BEH=∠DEH∠1=180-∠BEH-∠DEH=180-2∠DEH∠2=180-∠D-∠DEH-∠EHF=180-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180-64°-2∠DEH∠1-∠2=180-2∠DEH-(180-64°-2∠DEH)=180-2∠DEH-180+64°+2∠DEH=64°故選B【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對圖形翻折問題的實(shí)際應(yīng)用能力，等量代換是解本題的關(guān)鍵10．D解：在Rt△ACB中，因?yàn)椤螦CB=90°，∠A=35°，所以∠B=55°.又因?yàn)椤螩B′D是∠B折疊所得，所以∠CB′D=∠B=55°.而∠CB′D=∠A+∠ADB′，所以∠ADB′=∠CB′D－∠A=55°－35°=20°.

故選D.【點(diǎn)撥】主要考查了翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和和三角形的外角等幾何知識點(diǎn)，這是靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)．11．B解：由等邊三角形的性質(zhì)得，點(diǎn)B，C關(guān)于AD對稱，連接BE交AD于點(diǎn)P，則EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故選B.【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，求一條定直線上的一個動點(diǎn)到定直線的同旁的兩個定點(diǎn)的距離的最小值，常用的方法是，①確定兩個定點(diǎn)中的一個關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)；②連接另一個定點(diǎn)與對稱點(diǎn)，與定直線的交點(diǎn)就是兩線段和的值最小時，動點(diǎn)的位置.12．C【分析】作AF平分∠BAD．可根據(jù)證△ABF≌△ADF，推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形；可根據(jù)同弦所對的圓周角相等知點(diǎn)A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根據(jù)∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線．解：作AF平分∠BAD，∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，∴∠BAF=∠3=∠DAF，∴∠ABF+∠BAF=90°∴∠AFB=∠AFD=90°，在△BAF和△DAF中∴△ABF≌△ADF(ASA)，∴AB=AD，故①正確；∵AE＝AC，∴∠6＝∠4＋∠7＝＝90°?，∵∠5＝∠ADB＝∠ABD＝＝90°?，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6＝90°?∴CE＝CD，∠4＝180°?∠5?∠6＝180°?2（90°?）＝∠1，∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠3，∴BE＝CE，∴BE＝CE＝CD，∴③正確；∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2．∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2，∴∠ACE=∠6，∴AE=CE，故②正確∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2，∴∠7=90°﹣∠2，∵∠BAD=∠4=∠2，∴∠4≠∠7，故④錯誤；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、同弦所對的圓周角相等、三角形內(nèi)角和的相關(guān)知識，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．13．解：如圖，連接AO、BO．由題意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，F(xiàn)O=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=78°，推出2∠DAO+2∠FBO=78°，推出∠DAO+∠FBO=39°，由此即可解決問題．解：如圖，連接AO、BO．由題意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，F(xiàn)O=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=78°，∴2∠DAO+2∠FBO=78°，∴∠DAO+∠FBO=39°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=129°，∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-129°=51°，故答案為51°.【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，學(xué)會把條件轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?？碱}型．14．900解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知∠D=∠MNA=90°，因此可知∠ANB+∠MNC=180°-∠MNA=90°.故答案為90°.15．①【分析】根據(jù)題意先求出∠BAO=25°，進(jìn)而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，進(jìn)而再判斷②③即可．解：∵∠BAC=50°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，∴直線AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①正確；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°,②錯誤；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分線，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三點(diǎn)不共線，③錯誤.故答案為：①．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和180°以及翻折變換及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，找出圖中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析判斷．16．180°-．【分析】設(shè)紙條QM所在直線為QC，第一次將紙條折疊，使與重合，得折痕，由PR1∥QB，可得∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，由AM∥R1N，∠MAR1+∠AR1N=180°，可求∠AR1N=180°-；第二次將紙條折疊，使與重合，得折痕；求出∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，可得∠AR2N=180°-∠MR1R2=180°-；第三次將紙條折疊，使與重合，得折痕；可求∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，可得∠AR3N=180°-∠MR2R3=180°-；……第n次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn=180°-即可．解：設(shè)紙條QM所在直線為QC，第一次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR1∥QB，∴∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，∵AM∥R1N，∴∠MAR1+∠AR1N=180°，∴∠AR1N=180°-∠MAR1=180°-；第二次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR2∥QB，∴∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，∵R1M∥R2N，∴∠MR1R2+∠AR2N=180°，∴∠AR2N=180°-∠MR1R2=180°-；第三次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR3∥QB，∴∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，∵R2M∥R3N，∴∠MR2R3+∠AR3N=180°，∴∠AR3N=180°-∠MR2R3=180°-；……第n次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PRn∥QB，∴∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∵Rn-1M∥RnN，∴∠MRn-1Rn+∠ARnN=180°，∴∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn=180°-．故答案為：180°-．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱性質(zhì)，與角平分線有關(guān)計(jì)算，平行線性質(zhì)，掌握軸對稱性質(zhì)，與角平分線有關(guān)計(jì)算，平行線性質(zhì)，仔細(xì)觀察圖形，找出∠MRn-1Rn=是解題關(guān)鍵．17．16【分析】如圖，作E作EG⊥AF，交FA的延長線于G，利用折疊的性質(zhì)得出AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，然后進(jìn)一步得出EG＝AE＝AD，根據(jù)當(dāng)AD⊥BC時，AD最短進(jìn)一步求取最小值即可．解：如圖，過E作EG⊥AF，交FA的延長線于G，由折疊可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，又∵∠BAC＝75°，∴∠EAF＝150°，∴∠EAG＝30°，∴EG＝AE＝AD，當(dāng)AD⊥BC時，AD最短，∵BC＝3，△ABC的面積為12，∴當(dāng)AD⊥BC時，AD＝8＝AE＝AF，∴△AEF的面積最小值為：AF×EG＝×8×4＝16，故答案為：16．【點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何折疊的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．18．124【分析】連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA＝OB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點(diǎn)O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB＝OC，再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB＝∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE＝CE，然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．解：如圖，連接OB、OC，∵∠BAC＝62°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO＝∠BAC＝×62°＝31°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°?∠BAC）＝（180°?62°）＝59°，∵DO是AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝31°，∴∠OBC＝∠ABC?∠ABO＝59°?31°＝28°，∵AO為∠BAC的平分線，AB＝AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB＝OC，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，又∵DO是AB的垂直平分線，∴點(diǎn)O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝28°，在△OCE中，∠OEC＝180°?∠COE?∠OCB＝180°?28°?28°＝124°，故答案為：124．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．理由：由軸對稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．20．（1）42°，108°；（2）135°．【分析】由“∠ABC=16o，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度數(shù)，根據(jù)翻折的性質(zhì)可以求出∠DAE與∠BFE的度數(shù)，由“BD與CE所在的直線互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性質(zhì)可求出答案解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，∴∠BAC=134°，∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．∵∠D=∠ACB=30°，∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；（2）∵BD所在直線與CE所在直線互相垂直，∴∠DBC+∠ECB=90°，∵翻折∴∠ABC=∠DBC

∠ACB=∠ECB

∴∠ABC+∠ACB=(∠DBC+∠ECB)=45°，∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB)=135°．【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是利用翻折的性質(zhì)解答21．（1）①見分析，②見分析；（2）見分析.【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)G，根據(jù)對稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求證BE＝EF.（2）將△ACF繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至AC與BC重合，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求證PB+AF＝PF.解：（1）①如解圖（1）：G為點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)；②連接FG、CG、EG，∵G為點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)；∴△ACF≌△GCF，∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．

又∵AC＝BC，∴CG＝CB，∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，∴∠ECG＝∠ECB，在△GCE和△BCE中∴△GCE≌△BCE（SAS），∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，∵∠ACB＝120°，∴∠A+∠B＝60°，∴∠EGC+∠FGC＝60°，又∵AF＝EF＝FG，∴△FEG為等邊三角形，∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．（2）證明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可將△ACF繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△BCF′位置，如解圖2，∵△ACF≌△BCF′，∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′又∵∠FBP＝120°，∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，∴B、P、F′在同一直線上，又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．在△CFP和△CF′P中，，∴△CFP≌△CF′P（SAS）∴FP＝F′P，∵PB+BF′＝BP+AF，∴PB+AF＝PF【點(diǎn)撥】本題綜合考查圖形對稱、圖形旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定.22．（1）圖見分析；（2）證明見分析；（3）證明見分析．【分析】（1）先連接BD、CE，相交于點(diǎn)O，再過點(diǎn)A、O作直線即可得；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；（3）如圖（見分析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角的和差可得，從而可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證．解：（1）先連接BD、CE，相交