第07講函數(shù)的奇偶性（人教A版2019）

第07講函數(shù)的奇偶性【人教A版2019】·模塊一奇偶性的判斷·模塊二奇偶性的應(yīng)用·模塊三單調(diào)性與奇偶性綜合·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一奇偶性的判斷1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間.等價(jià)

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，x∈I，且

f(x)f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，x∈I，且f(x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).2．判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法：(1)定義法：f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱①若f(x)=f(x)，則f(x)是偶函數(shù).②若f(x)=f(x)，則f(x)是奇函數(shù).(2)圖象法：關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù).(3)四則運(yùn)算：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇；奇÷奇=偶；奇÷偶=奇；偶÷偶=偶；偶÷奇=奇.【考點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性】【例1.1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（

）A．y=2x?1，x∈?1,2C．y=x3 D．y=【解題思路】由偶函數(shù)的定義去判斷．【解答過(guò)程】函數(shù)fx=2x函數(shù)fx=x2+x，f函數(shù)fx=x函數(shù)fx=x2，故選：D.【例1.2】（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A．f(x)=x B．C．f(x)=x2+x+1【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在定義域內(nèi)有f?x=?fx恒成立，特別地，若在x=0對(duì)于A，f(x)=x的定義域?yàn)?,+對(duì)于B，因?yàn)閒(x)=x+1x3又f?x所以fx對(duì)于C，因?yàn)閒0=1≠0，所以對(duì)于D，因?yàn)閒?1=1?14所以fx故選：B.【變式1.1】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2+xA．fx?2?2 B．fx?2+1 C．【解題思路】先求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，然后根據(jù)函數(shù)圖像的變換求出過(guò)原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的解析式即可．【解答過(guò)程】f(x)=?(2?x)+42?x=?1?4x?2，該函數(shù)是由y=?4x故將f(x)的圖像向左平移2個(gè)單位，然后再沿y軸向上平移1個(gè)單位得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)y=?4可知g(x)=f(x+2)+1．故選：D．【變式1.2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)和g(x)在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)?g(x)是奇函數(shù)B．若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)C．若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)D．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)+g(x)不一定是奇函數(shù)【解題思路】由函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)閒(x)和g(x)都是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=?g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=f(x)?g(x)=?(x)，所以f(x)?g(x)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)和g(x)都是偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，g(?x)=g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=f(x)?g(x)=?(x)，所以f(x)?g(x)是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=?f(x)?g(x)=??(x)，所以f(x)?g(x)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)和g(x)都是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=?g(x)，令?(x)=f(x)+g(x)，則?(?x)=f(?x)+g(?x)=?f(x)?g(x)=??(x)，所以f(x)+g(x)是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.模塊二模塊二奇偶性的應(yīng)用1．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的主要應(yīng)用有三個(gè)方面：(1)利用函數(shù)的奇偶性求值；(2)利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)；(3)利用函數(shù)的奇偶性求解析式；2．利用函數(shù)的奇偶性求值、解析式的方法求函數(shù)值、函數(shù)解析式：根據(jù)題目條件，利用函數(shù)的奇偶性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.3．利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的方法(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程.

(2)一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f(x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來(lái)確定參數(shù)的值.【考點(diǎn)2利用奇偶性求值】【例2.1】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=?f(x)，則f(6)的值為（）A．1 B．0 C．1 D．2【解題思路】得到f(x)是周期為4的奇函數(shù)，進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期為4的奇函數(shù)，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.故選B.【例2.2】（2022秋·廣東梅州·高一?？计谥校┮阎猣(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?ax，若f(2)+f(0)=1，則f(?6)=（A．?4 B．?7 C．?11 D．?15【解題思路】由奇函數(shù)性質(zhì)有f(0)=0，結(jié)合已知條件及函數(shù)解析式求參數(shù)a，再利用奇函數(shù)性質(zhì)求f(?6)的值.【解答過(guò)程】由題設(shè)，f(0)=0則f(2)=4?a2=1所以x>0時(shí)，f(x)=2x?6則f(?6)=?f(6)=?(12?1)=?11.故選：C.【變式2.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)?g(x)=x3+x2A．?3 B．2 C．1 D．3【解題思路】利用條件和f(x),g(x)的奇偶性求出f(x)的解析式即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)?g(x)=x3因?yàn)閒(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(x)+g(x)=?x3所以由①、②可得f(x)=x2+1故選：B.【變式2.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx=kx+b．若A．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】由fx+1是奇函數(shù)，可得f?x+1=?fx+1，由fx+2是偶函數(shù)，可得fx+2=f?x+2，令x=1，【解答過(guò)程】因?yàn)閒x+1是奇函數(shù)，所以f因?yàn)閒x+2是偶函數(shù)，所以f令x=1，由①得：f0=?f2因?yàn)閒0+f3令x=0，由①得：f1=?f1從定義入手．f11ff7f所以f11故選：A．【考點(diǎn)3利用奇偶性求參數(shù)】【例3.1】（2023春·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若fx=x+a+1x2A．1或?1 B．1 C．0 D．?1【解題思路】根據(jù)奇偶性定義得出參數(shù)值.【解答過(guò)程】fx=x+a+1x∵f∴a+1=0故選：D.【例3.2】（2023秋·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ax3+1，若f(2)=5，則a=A．?12 B．12 C．?【解題思路】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a值作答.【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(2)=5，則f(?2)=?f(2)=?5，又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ax即有f(?2)=a(?2)3+1=?8a+1=?5所以a=3故選：D.【變式3.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax2+b+2x?3是定義在3A．?2 B．?12 C．2 【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可求出a，b，得出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=ax2+所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且有f(?x)=f(x)，所以3a?1+a=0且b+2=?(b+2)，解得a=14，所以ab=1故選：B.【變式3.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=2021A．－1 B．0 C．1 D．2【解題思路】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到f(?x)=?f(x)，然后利用方程求解a，b，則答案可求．【解答過(guò)程】解：函數(shù)f(x)=2021當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，所以f(?x)=ax所以a=?2021，b=2022，故a+b=?2021+2022=1．故選：C.【考點(diǎn)4利用奇偶性求解析式】【例4.1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A．?x2+x B．?x2?x【解題思路】由x<0得?x>0，代入得f(?x)，根據(jù)偶函數(shù)即可求解.【解答過(guò)程】當(dāng)x<0，則?x>0，f(?x)=(?x)又f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=f(?x)=x故選：D.【例4.2】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f(x)=x2?2x則f(x)A．y=xx?2 B．C．y=|x|(x?2) D．y=x【解題思路】利用奇函數(shù)性質(zhì)求x<0上f(x)的解析式，進(jìn)而可得在R上的解析式.【解答過(guò)程】當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，所以f(?x)=(?x)2?2(?x)=結(jié)合已知解析式知：fx故選：D.【變式4.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知奇函數(shù)fx與偶函數(shù)gx滿足fx+gxA．1x2?1 B．11?x2【解題思路】由題意，用?x換x，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得gx【解答過(guò)程】由fx+gx又fx所以gx由fx+gx故選：C.【變式4.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域是x∈Rx≠±1，函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù)，g(x)是一個(gè)奇函數(shù)，且f(x)?g(x)=1x?1，則f(x)A．1x2?1 B．2x2x【解題思路】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f(?x)=f(x)，g(?x)=?g(x)，再結(jié)合題意即可求出f(x)的表達(dá)式．【解答過(guò)程】由函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù)，g(x)是一個(gè)奇函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，g(?x)=?g(x)，因?yàn)閒(x)?g(x)=1則f(x)+g(x)=f(?x)?g(?x)=1所以①+②得2f(x)=1所以f(x)=1故選：A．模塊模塊三單調(diào)性與奇偶性綜合1．單調(diào)性與奇偶性的綜合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用有兩個(gè)方面：(1)比較大小：比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(2)解不等式：對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)利用奇偶性把所給不等式變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.【考點(diǎn)5利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小】【例5.1】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)y=fx在0,4上單調(diào)遞增，且y=fx+4是偶函數(shù)，則（A．f2<f3C．f2<f7【解題思路】根據(jù)題意得到函數(shù)y=fx關(guān)于x=4對(duì)稱，所以f【解答過(guò)程】由函數(shù)y=fx+4是偶函數(shù)，可得函數(shù)y=fx+4關(guān)于所以函數(shù)y=fx關(guān)于x=4對(duì)稱，所以f因?yàn)楹瘮?shù)y=fx在0,4上單調(diào)遞增，且1<2<3，所以f故選：B.【例5.2】（2023·安徽亳州·蒙城校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項(xiàng)的正負(fù)即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒x，gx在0,+∞上單調(diào)遞減，f所以gx在R上單調(diào)遞減，fx在對(duì)于A，f2>f3對(duì)于B，g2>g3對(duì)于C，g2>g3，gx在對(duì)于D，f2>f3，gx在故選：D.【變式5.1】（2023春·甘肅張掖·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx+1是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，fx1?fx2x1?xA．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【解題思路】根據(jù)題意先求出函數(shù)fx在(1,+∞)【解答過(guò)程】∵當(dāng)1<x1<∴當(dāng)1<x1<x2∴函數(shù)fx在(1,+∵函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，即f1+x∴函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴a=f又函數(shù)fx在(1,+∞)即f(2)<f?12故選：B.【變式5.2】（2023秋·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1、x2x1<x2都有x2fx1>x1A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a(chǎn)>c>b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fxx，推導(dǎo)出函數(shù)y=gx為偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減，可得出a=g2，b=g1，【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，令g則g?x=f對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)x1、x2x1<x2所以，函數(shù)y=gx在0,+∞∵a=12f2=g且3>2>1>0，∴g1>g2故選：B.【考點(diǎn)6利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式】【例6.1】（2023春·河北石家莊·高二?？计谀┮阎瘮?shù)fx是定義在?3,3上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(1)求當(dāng)?3≤x<0時(shí)，函數(shù)fx(2)若fa+1+f2a?1【解題思路】（1）設(shè)?3≤x<0，則0<?x≤3，代入已知的解析式中化簡(jiǎn)，再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可求得結(jié)果；（2）將fa+1+f2a?1>0轉(zhuǎn)化為【解答過(guò)程】（1）設(shè)?3≤x<0，則0<?x≤3，所以f?x因?yàn)閒x是定義在?3,3所以f?x所以?fx所以f即當(dāng)?3≤x<0時(shí)，函數(shù)fx的解析式為f（2）由fa+1+f2a?1因?yàn)閒x為奇函數(shù)，所以f當(dāng)0<x≤3時(shí)，fx所以fx在(0,3]因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在?3,3所以fx在?3,3所以?3≤a+1≤3?3≤2a?1≤3a+1>1?2a，解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2].【例6.2】（2023秋·河南南陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+b1+(1)求實(shí)數(shù)a，b的值．(2)判斷fx在?1,1(3)解不等式：ft?1【解題思路】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出a=1,b=0；（2）利用定義法求解函數(shù)單調(diào)性步驟：取點(diǎn)，作差，變形判號(hào)，下結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域得到不等式組，求出解集.【解答過(guò)程】（1）由題意得f0=b=0f（2）fx在?1,1證明如下：在?1,1上任取兩數(shù)x1,x則fx因?yàn)?1<x1<x2故fx1?f所以fx在?1,1（3）fx為奇函數(shù)，定義域?yàn)?1,1由ft?1+ft∵fx在?1,1∴?1<t?1<?t<1，解得0<t<1所以原不等式的解集為t0<t<【變式6.1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx對(duì)任意的x，y∈R，都有fx+y=fx+f(1)求f0的值，判斷并證明函數(shù)f(2)試判斷函數(shù)fx在(?(3)解不等式f2x+1【解題思路】（1）利用賦值法求得f0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明函數(shù)f（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)fx在(?（3）根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性和奇偶性求得不等式f【解答過(guò)程】（1）依題意，函數(shù)fx對(duì)任意的x，y∈R，都有f令x=y=0，得f0fx用?x代替y，得fx?x=fx所以fx（2）fx在?任取x1<=fx由于x2?x所以fx所以fx在?（3）f2x+1+fx?4由于fx在?所以2x+1<4?x,3x<3,x<1，所以不等式f2x+1+fx?4【變式6.2】（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎猣x是定義在?1,1上的奇函數(shù)，且f1=1，若m,n∈?1,1，(1)證明：fx在?1,1(2)解不等式fx(3)若存在實(shí)數(shù)x使得fx≤t【解題思路】（1）結(jié)合條件，利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性.（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，建立不等式組，求得解集.（3）雙變量問(wèn)題，求出fx的最小值小于等于t【解答過(guò)程】（1）對(duì)任意的x1,當(dāng)?1≤x1<x2≤1,故fx在?1,1（2）f因?yàn)閒x為奇函數(shù)，且在?1,1x則不等式的解集為{x|0<x<1}（3）存在實(shí)數(shù)x，使得fx≤f(x)min=f所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是t≤1或t≥4.【考點(diǎn)7函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例7.1】（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5，函數(shù)y=fx(?1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=fx在[0,1]上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函數(shù)y=f【解題思路】（1）根據(jù)題意得到f4=f(?1)，又由y=fx（2）令f(x)=a(x?2)2?5，結(jié)合f（3）根據(jù)題意，令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，求得x∈?1,1時(shí)，y=?3x，結(jié)合周期性，求得函數(shù)f【解答過(guò)程】（1）解：函數(shù)y=fx是定義在R上的周期函數(shù)，且T=5，所以f而函數(shù)y=fx在區(qū)間?1,1上是奇函數(shù)，所以f(?1)=?f(1)所以f1（2）解：由y=fx在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值?5可設(shè)f(x)=a(x?2)因?yàn)閒1+f4=0，即所以fx（3）解：函數(shù)y=fx,x∈?1,1是奇函數(shù)，又知y=f令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，由（2）得：f1=?3，可得k=?3，所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=fx為奇函數(shù)，可得當(dāng)x∈?1,1時(shí)，當(dāng)4≤x≤6時(shí)，可得?1≤x?5≤1，所以fx當(dāng)6<x≤9時(shí)，可得1<x?5≤4，所以fx所以函數(shù)fx當(dāng)x=4或x=9時(shí)，函數(shù)fx取得最大值f當(dāng)x=7時(shí)，函數(shù)fx取得最小值f【例7.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2∈0,1(1)求f(1(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n+1【解題思路】（1）根據(jù)題意可得f(1)=[f(12)]2（2）根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性可得f(x)=f(x+2),x∈R（3）由（1）可得f(12)=f(n?12n【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閷?duì)任意的x1,x所以f(x)=f(x又f(1)=f(1f(12)=f(∴f(1（2）設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1?x)，即f(x)=f(2?x),x∈R，又f(x)所以f(?x)=f(x),x∈R∴f(?x)=f(2?x),x∈R，將上式中?x以x得f(x)=f(x+2),x∈R則f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．（3）由（1）知f(x)≥0,x∈[0,1]，∵f(=f(1又f(12)=∵f(x)的一個(gè)周期是2，∴f(2n+12n)=f(【變式7.1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有fx+2=?fx．當(dāng)(1)求證：fx(2)當(dāng)x∈2,4時(shí)，求f(3)計(jì)算f0【解題思路】（1）把x+2看成一個(gè)整體證明fx+4（2）當(dāng)x∈2,4時(shí)，可得出0≤x?2≤2，再由fx=?fx?2可求得函數(shù)（3）計(jì)算出f1、f2、f3、f4的值，再利用函數(shù)【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f則fx+4=?fx+2=fx（2）解：當(dāng)x∈2,4時(shí)，0≤x?2≤2此時(shí)，fx（3）解：因?yàn)楫?dāng)x∈0,2時(shí)，fx=2x?x2所以，f1=2?1=1，f2=2因?yàn)?011=4×502+3，所以，f=503×1+0?1+0【變式7.2】（2023春·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=φx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,b成中心對(duì)稱圖形的充要條件是φa+x+φa?x(1)求c的值；(2)判斷fx在區(qū)間0,+(3)已知函數(shù)gx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，且當(dāng)x∈0,1時(shí)，gx=x2?mx+m．若對(duì)任意x【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到關(guān)于c的方程，解出即可求出函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f(x)單增,（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,2]上的值域A?[?2,4]，通過(guò)討論m的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．【解答過(guò)程】（1）由于f(x)的圖象的對(duì)稱中心為?1,c，則f(?1+x)+f(?1?x)=2c，即(x?1)?6整理得?2=2c，解得：c=?1，故f(x)的對(duì)稱中心為(?1,?1)；（2）函數(shù)f(x)在(0,+∞設(shè)0<x1<x2，則fx1?fx2=x1?（3）由已知，g(x)的值域?yàn)閒(x)值域的子集，由（2）知f(x)在[1,5]上遞增，且f(1)=?2,f5=4，故f(x)的值域?yàn)閇?2,于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,2]上的值域A?[?2,4]，當(dāng)m2≤0即m≤0時(shí)，g(x)在[0,注意到g(x)=x2?mx+m可知g(x)在(1,2]上亦單調(diào)遞增，故g(x)在[0，2]遞增，又g(0)=m，g2=2?g(0)=2?m，故A=[m,2?m][m,2?m]?[?2，4]，∴m≥?2且2?m≤4，解得?2≤m≤0，當(dāng)0<m2<1即0<m<2時(shí)，g(x)在(0,m2又g(x)過(guò)對(duì)稱中心(1,1)，故g(x)在(1,2?m2)遞增，在(2?故此時(shí)A=[min{g2，g(m2欲使A?[?2，4]，只需g(2)=2?g(0)=2?m≥?2g(m2解不等式得：2?23≤m≤4，又0<m<2，此時(shí)當(dāng)m2≥1即m≥2時(shí)，g(x)在[0,1]遞減，在(1,由對(duì)稱性知g(x)在[0,2]上遞減，于是A=[2?m,m]，則[2?m,m]?[?2，4]，故2?m≥?2m≤4，解得：2≤m≤4綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍是[?2,4]．模塊模塊四課后作業(yè)1．（2023·云南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A．fx=xC．fx=x【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐個(gè)判斷可得答案.【解答過(guò)程】對(duì)于A：f(x)=x3定義域?yàn)镽，且f(?x)=?x對(duì)于B：f(x)=x+1x定義域?yàn)閤|x≠0，且f(?x)=?x?對(duì)于C：f(x)=x2定義域?yàn)镽，f(?x)=?x對(duì)于D：fx=?2x定義域?yàn)镽，且f(?x)=2x=?f(x)，故故選：C.2．（2023春·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？计谀┰O(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則x∈?2,0時(shí)，f(x)的解析式為f(x)=（

A．x+4 B．2?xC．3?|x+1| D．2?【解題思路】根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，分別討論x∈?2,?1和x∈【解答過(guò)程】∵f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，∴x∈?2,?1時(shí)，2+x∈0,1此時(shí)fx當(dāng)x∈?1,0時(shí)，?x∈0,1此時(shí)fx所以fx綜上可得：x∈?2,0時(shí)，故選：C.3．（2023秋·廣東深圳·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)fx=a?1xx?b+1為奇函數(shù)且在RA．a(chǎn)>1,b=1 B．a(chǎn)>1,b<1C．a(chǎn)<1,b=1 D．a(chǎn)<1,b>1【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=a?1所以a?1≠0且f?1即?a?1所以?b=2?b，解得故fx因?yàn)楹瘮?shù)fx=a?1所以a?1<0，所以a<1.故選：C.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，f(x)=ax2+bA．?94 B．?32 C．【解題思路】通過(guò)fx+1是奇函數(shù)和fx+2是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式【解答過(guò)程】[方法一]：因?yàn)閒x+1是奇函數(shù)，所以f因?yàn)閒x+2是偶函數(shù)，所以f令x=1，由①得：f0=?f2因?yàn)閒0+f3令x=0，由①得：f1=?f1思路一：從定義入手．ff?f所以f9[方法二]：因?yàn)閒x+1是奇函數(shù)，所以f因?yàn)閒x+2是偶函數(shù)，所以f令x=1，由①得：f0=?f2因?yàn)閒0+f3令x=0，由①得：f1=?f1思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)fx的周期T=4所以f9故選：D．5．（2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè)）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gA．ff1<ffC．gf1<g【解題思路】由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合f1<f2【解答過(guò)程】因?yàn)閒x是定義在R上的偶函數(shù)，gx是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在所以fx在0,+∞上單調(diào)遞增，gx在0,+∞上單調(diào)遞減，所以f1<f2所以fg1<fg2所以B正確，C,D錯(cuò)誤；若f1>f故選：B.6．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎瘮?shù)fx，gx的定義域均為R，且fx+f2?x=4，gx=fx?1A．5 B．4 C．3 D．0【解題思路】根據(jù)已知條件求得fx的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、周期以及g【解答過(guò)程】∵fx+f2?x=4，∴fx∵gx+1=g?x+1∴fx為偶函數(shù)，以y∴f?(2?x)=f2?x由fx+f2?x∴fx+2=f2?x從而fx+2+2=fx+2?2∴fx的周期為4，∴g故g2022故選：B.7．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx+2是偶函數(shù)，當(dāng)x1、x2∈2,+∞時(shí)，fx1?fA．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【解題思路】根據(jù)題意先求出函數(shù)fx在2,+∞上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線【解答過(guò)程】∵當(dāng)2≤x1<∴當(dāng)2≤x1<x2∴函數(shù)fx在2,+∵函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù)，即f2+x∴函數(shù)fx的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴a=f1又函數(shù)fx在2,+∞上為單調(diào)減函數(shù)，∴即f52>f(1)>f(?故選：C.8．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)fx是定義在?∞,0∪0,+∞上的奇函數(shù)，對(duì)任意的x1、x2∈A．?1,0∪1,+∞C．?∞,?1∪【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fxx，其中x≠0，分析函數(shù)gx的單調(diào)性與奇偶性，求得g?1【解答過(guò)程】構(gòu)造函數(shù)gx=fxx所以，函數(shù)gx對(duì)任意的x1、x2∈0,+∞所以，gx1?gx2<0，即故函數(shù)gx在?因?yàn)閒1=2，則當(dāng)x<0時(shí)，由fx>2x可得gx當(dāng)x>0時(shí)，由fx>2x可得gx所以，不等式fx>2x的解集為故選：A.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)Pa,b成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=fx+aA．fx=3x+1關(guān)于B．fx=xC．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,bD．函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱的充要條件是y=f【解題思路】根據(jù)函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)Pa,b成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)【解答過(guò)程】對(duì)選項(xiàng)A，fx=3x+1，a=1fx對(duì)選項(xiàng)B，由fx=x則fx對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)楹瘮?shù)y=fx+a?b為奇函數(shù)，所以即fx+a+f?x+a=2b，令即fx對(duì)選項(xiàng)D，若y=fx+a為偶函數(shù)，則f令t=x+a，則有ft=f2a?t函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，則有f令x=t+a，則有ft+a即y=fx+a故選：A.10．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx是定義在R上的函數(shù)，若fx+x2是奇函數(shù)，fx?x是偶函數(shù)，函數(shù)gx=A．133 B．174 C．92【解題思路】由fx+x2是奇函數(shù)，fx?x是偶函數(shù)，求出【解答過(guò)程】因?yàn)閒x+x所以f?x+?x由gx當(dāng)x∈1,2時(shí)，則x?1∈0,1，所以同理：當(dāng)x∈2,3時(shí)，g以此類推，可以得到gx由此可得，當(dāng)x∈4,5時(shí)，g由gx≤3，得16x?45?x≤3又因?yàn)閷?duì)任意的x∈0,m，g所以0<m≤174，所以實(shí)數(shù)m的最大值為故選：B.11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx【解題思路】由奇偶性的定義對(duì)各個(gè)題一一判斷即可得出答案.【解答過(guò)程】（1）fx的定義域是?又f?x=?x（2）因?yàn)閒x的定義域?yàn)?1,1所以fx（3）因?yàn)閒x的定義域?yàn)?3,則fx（4）方法一（定義法）

因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)f①當(dāng)x＞1時(shí)，?x<?1，所以f?x②當(dāng)?1≤x≤1時(shí)，fx③當(dāng)x<?1時(shí)，?x>1，所以f?x綜上，可知函數(shù)fx方法二（圖象法）

作出函數(shù)fx的圖象，如圖所示，易知函數(shù)f12．（2023春·山東