第一次月考重難點特訓（三）之勾股定理與特殊三角形相關(guān)的壓軸題（附答案解析）

A

第一次月考重難點特訓（三）之勾股定理與特殊三角形結(jié)合的壓軸題

國【重難點題型】

1.（2021春.湖北荊門?八年級校考階段練習〉在RtAABC中，AB=AC,N34c=90。，。、E為BC上兩點、,

ZDAE=45°,F為工ABC外?點，且尸8_LBC,E4_LAE,則下列結(jié)論：①CE=BF；②助廳+CE?=￡>爐：③

S^^^DEF；④CE?+BE2=2AE2,其中正確的是（）

A.2+2』B.2+73C.4+6D.4+2-J3

5.（2023秋?浙江杭州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，，,ABC中，AB=AC,ADJ.BC于點D,0E平分NADC,交

AC與點￡于點八且交4r于點G,若AG=2,8C=12,則A尸=_____.

2.（2022春?湖北武漢?八年級武漢市糧道街中學校聯(lián)考期中）如圖，在中，ZA=60°,8。為AC邊上的高,

E為BC邊的中點，點尸在AB邊上，ZEDF=60°,若AF=2,=y,則3c邊的長為（）

6.（2022秋?廣東深圳?八年級深圳市海灣中學?？计谥校┤鐖D，如果四邊形A8CD中，AB=AD,

ZBA￡>=ZBCD=90°,ZE4F=45°,且BC=5,DC=I3,FC=9,則BE=.

A.與B.|V3C.|x/13D.g而

3.（2022秋?八年級課時練習）如圖，Z4QA=3（T,點M、N分別在邊04、OB且QM=3,QN=5,點P、Q

7.（2022秋?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABC。中，點E是。。上的?點，過點E作EF_L的，

分別在邊。&QA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）

交AO于點凡作點。關(guān)于EF■的對稱點G,依次連接BG、EG、FG.已知A8=I6,BC=12,且當反;是

以BE為腰的等腰三角形時，則CE的值為.

A.V34B.屈C.734-2D.735-2

4.（2023秋?江蘇宿遷?九年級南師附中宿遷分校校考期末）一A8C是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD

上的?個動點，連接BP,將BP繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到BE,連接PE、DE、CE,則△BDE周長的最小值是8.（2023春?八年級課時練習）如圖，已知RtZXABC,?B90?,NA=30°,AC=2,AB=6若點尸是48上

的?個動點，則。戶+]4。的最小值為.于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，.

(2)小試牛刀：如圖2所示，RL^ABC中，AB=5,AC=4,則點尸為48邊上一動點，則CP的最小值為.

(3)嘗試應用：如圖3所示,A3c是邊長為4的等邊三角形，其中點尸為高A。上的一個動點，連接WL將8。繞

點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到BE,連接PE、DE、CE

①求出。石的最小值.

②在①的條件下求..BPE的面積.

9.(2023秋?河南洛陽?八年級統(tǒng)考期末)【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖I,ABC和VAOE均為等邊三角形，點5,D,E

在同一直線上，連接CE,容易發(fā)現(xiàn)：①NBEC的度數(shù)為；②線段80、CE之間的數(shù)量關(guān)系

為;

【類比探究】

(2)如圖2,jABC和VAOE均為等腰宜角三角形，NBA。=N1ME=90°,點艮D(zhuǎn),E在同一直線上，連接CE,

試判斷/4EC的度數(shù)以及線段迎、CE、OE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

【問題解決】

(3)如圖3,ZAOB=ZACB=90°,OA=4,08=8,AC=BC,則OC?的值為.

11.(2023秋?浙江寧波?八年級統(tǒng)考期末)定義：在任意出6。中，如果一個內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個內(nèi)角度數(shù)的

和為90。，那么稱此一：角形為“倍角互余三角形

圖1圖2

⑴【基礎(chǔ)鞏固】若zuABC是“倍角互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,則NB=。：

(2)【嘗試應用】如圖1,在RIA4BC中，ZAC8=90。，點。為線段BC上一點，若NC4D與“43互余.求證:

△ABO是“倍角互余三角形”；

(3)【拓展提高】如圖2,在RLAMC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,試問在邊8C上是否存在點E，使得二ABE

是“倍角互余三角形”？若存在，請求出防的長；若不存在，請說明理由.

12.(2023秋?湖南衡陽?八年級?？计谀?如圖I,在'C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,點尸從點A出發(fā)，

以每秒I個單位長度的速度沿路線AfCf8fA運動.設(shè)點尸的運動時間為I秒.

10.(2023秋?江西南昌?九年級校聯(lián)考期末)(1)回歸教材：如圖1所示，點P是直線機外一點，POlm,點O

是垂足，點A、B、C在直線機上，比較線段PO,PA,PR，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是

(3)如圖3,四邊形A8CQ中，NA=90。，ND=120。，E為AD中點，尸、G分別邊A3、8上，且EFLEG,

ABBB

圖1圖2圖3

(l)4C=:當點。在AC上時，CP=(用含/的代數(shù)式表示):

(2)如圖2,若點戶在/A8C的角平分線上，求，的值；

(3)在整個運動過程中，當BCP是等腰三角形時，求/的值.

13.(2023春?全國?八年級專?題練習)閱讀下面材料:

某學校數(shù)學興趣活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：

15.(2023秋?廣東廣州?八年級廣東華僑中學?？计谀?在邊長為2的等邊三角形A3C中，點E在AB上，點。

在ABC中，ZBAC=9O°,AB=AC,ZB=ZBC4=45°,。是的中點,

在C3的延長線上，且

圖3

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點E、F分別在線段A4、AC上，RAE=CF,連接m、DE、DF.A。，此時小明

(I)當點E為A8的中點時，如圖1,求證：EC=EDx

發(fā)現(xiàn)440=。，ADDC(填"＞、＜、=")：接下來小明和同學們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)一個結(jié)

(2)當點E不是AS的中點時，如圖2,也與瓦)還相等嗎？請說明理由；

論：線段E尸與OE長的比值是?個固定值，即￡F=DE.

(3)當點E為45的中點時，如圖3,若旗=e，點M在線段CE上，8MN為等邊一:角形，且點M沿著線段CE從

(2)變式探究：如圖2,E、尸分別在線段以、AC的延長線上，EAE=CF,若所=4,求。E的長并寫出過程.

點C運動到點E,點N隨之運動，求8硒周長的最小值.

(3)拓展應用：如圖3,A8=AC=6,動點M在從。的延長線上，點〃在直線AC上,且滿足NBM”=90°,C”=2,

請直接寫出DM的長為.

16.(2022秋?遼寧撫順?九年級?？茧A段練習)如圖I,在△ACH"ZACB=90°,CA=CB,點、D,￡分別在邊

C4,CB上，CD=CE,連接?！?AE,BD,過點。作。/1.八￡,垂足為，，C尸與8。交于點凡

14.(2022秋?浙江寧波八年級校考期中)(1)如圖1,在一ABC中，AB=5,AC=3,AD為5c邊上的中線.求

中線A0的取值范圍；(提示：延長AD到點E,使?！?AD，連接6E)

(2)如圖2,在ABC中，ZA=90°,。是BC邊的中點，Z￡DF=90°,DE交AB千點E,DF交AC于點尸，

連接石尸，求證：BE-+CF2=EF-x

D

(1)如圖1,若N84C=90。，AF=\,AC=43,求6到AE的距離;

⑵如圖2,若E為8。中點,連接產(chǎn)D田平分乙VC,G為CF上一點，且NGDC=NGa>,求證：DG+AF=FC；

(2)將圖1中的..SW繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2,(1)的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如

(3)如圖3,若N8AC=120°,8c=12,將△A8D沿著A3翻折得△AB。，點”為8。的中點，連接“4、HC,

果不成立，請說明理由:

求△H4C周長的最小值.

(3)若6=2,8=4,將.CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當A,E,。三點共線時，直接寫出CF的長.

17.(2022秋?江蘇揚州?八年級校聯(lián)考期中)(1)如圖1,把一塊三角板(AB=8C,ZAfiC=90°)放入一個“U”

形槽中，使三角形的三個頂點A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知/。=/￡=90°,在滑動過程中，你

發(fā)現(xiàn)線段AD與班有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論；

19.(2023春?八年級課時練習)康康同學在研究等邊三角形，如圖1,己知..A4。是等邊三角形，。為3C邊的中

點，E為中線AO上一點(￡不可取A點，可取。點)，點E關(guān)于直線AC的對稱點是點F.連接AF,EF,BF.

圖4

【變式探究】(2)如圖2,在/8C中，點。、E、尸分別在邊3C、A3、AC上，若NB=/FDE=?,那么"ED

與NCDF有何關(guān)系，并加以說理；

【拓展應用】(3)如圖3,在.ABC中，"=8。，NB=45°,點D、F分別是邊BC、AB上的動點，且AF=23。.以圖1圖2備用圖

。尸為腰向右作等腰使得DE二DF，@尸=45。，連接CE.

(1)①在圖I中補全圖形；

①試判斷線段OC、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

②他發(fā)現(xiàn)E點在中線AD上運動時，△河產(chǎn)是一種特殊三角形.

②如圖4,已知AC=4,點G是AC的中點，連接￡4、EG,直接寫出￡4+EG的最小值.

請你回答&AEF是三角形；

18.(2022秋.重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學校考階段練習)在血中，AB=AC,。是邊4c上一點，F(xiàn)是邊

③利用圖1證明這個結(jié)論.

A3上點，連接30、C尸交于點E,連接4E,且AE_LCF.

(2)康康同學發(fā)現(xiàn)當E點在中線4。上運動時，所的長度也有規(guī)律的變化.當8尸為最大值時，在圖2中畫出點尸,

并連接AF,BF,BF與AC交于點P.

①按要求畫出圖形；

②在河上存在一點。，使PQ+QC的值最小，猜想這最小值____________BP(填>,<,=)：

③證明②的結(jié)論.

(3)在邊AC上存在?點M,同時滿足BM-ME的值最大且8M+ME的值最小，則此時MC與AC的數(shù)量關(guān)系是

如圖1,若力為ZXACB內(nèi)部一點，AE與8。的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【探索證明】

如圖2,若。為A8邊上一點，AD=5,BD=12,求DE的長.

(3)【學于致用】

20.(2023春?八年級課時練習)在二ABC中，N5AC=45。，CD_LAB于點。，AE_L3C'于點E,連接OE.

A運用(I)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成卜題：如圖3,已知N5CE=900,AC=AB,ABAC=45°,

AB=AC=\,求AE的長.

圖2

(I)如圖1,當二A4C為銳角三角形時，

①依題意補全圖形，猜想28/場與N8CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

22.(2022秋?浙江?八年級期中)如圖1,在&MC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,AE為BC邊上的中線.

②用等式表示線段AE，CE,。石的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖2,當為鈍角時，直接寫出線段AE,CE,的數(shù)量關(guān)系.

21.(2022秋?廣東深圳?八年級深圳市海灣中學?？计谥?已知zMCB和二日7)都是等腰直角三角形,

ZACB=/￡CD=90P.

(1)求AE的長；

(2)動點P的速度為2cm/s,運動時間為/秒.

①如圖2,當點P從點S開始沿BC邊向點C移動時，若二AAP是以8P為腰的等腰三角形，請你求出所有滿足條

件的，的值.

②如圖3,當點P從點C開始沿AC邊向點A移動時，將△CPE沿直線也對折，點C的對稱點為C',當ACPE

與AAEP重疊部分為直角三角形時，請直接寫出，的值為

⑴如圖1.點E為AC中點，點。為A8三等分點且BOvAD,若5“加=1，求5枷：

23.（2022秋?上海虹口?八年級?？计谥校┬⑼瑢W在?次課外活動中，用硬紙片做了兩個宜角三角形，見圖1、⑵如圖2.已知2DFB=60°,點//為8C中點,連接DH交見于點Q,連接CQ并延長交AD于點M,若DM=MQ,

圖2.探究CQ、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由：

圖1中，?B90?,ZA=30°,BC=5cm：圖2中，'?D90?,ZE=45°,DE=3cm.（3）如圖3.已知3c=86,點七在AC上，點〃在班延長線上且C￡=AD，連接口）并以ED為邊向左側(cè)作等邊

圖3是小劉同學所做的一個實驗：他將ADE廠的直角邊。月與AABC的斜邊AC重合在一起，并將乂歸尸的直角

△￡>￡”，點M為AC上一點且AC=44M,當取最小值時請直接寫出的面積.

邊DE與AA6C的斜邊AC重:合在一起，并將』）即沿AC方向移動.在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上

（移動開始時點。與點A重合）.

⑴在川耳、沿AC方向移動的過程中，小劉同學發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸—：（填“不變”、“變大或'變

小”）

（2）小劉同學經(jīng)過進?步研窕，編制了如下問題：

問題①：當山斯移動至什么位置，即AO的長為多少時，尸、。的連線與A8平行？

25.（2022秋?江蘇鹽城?八年級景山中學?？计谥校┱奂?，常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如，在“

問題②：當.?！晗乱苿又潦裁次恢茫碅O的長為多少時，以線段AD、FC、8c的長度為三邊長的三角形是直

中，AB>AC（如圖1）,怎樣證明/C>NB呢？

角三角形？

把AC沿NA的平分線AD翻折，因為AO>AC,所以點。落在AB上的點。'處（如圖2）.于是，由Z4CD=ZC,

請你分別完成上述兩個問題的解答過程.

ZACD>^B,可得NC>ZB.

24.（2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶八中校考期中）如圖1.已知為等邊三角形，點D和E分別是直線A8

和4C邊上的動點，連接CD和班:相交于點F.

(1)如圖1,點。是A〃的中點，點E與點C重合，連接4尸.若A3=6,求質(zhì)的長：

⑵如圖2,點G在AC上且NAGO=60°+NPC8,求證：CF=DG：

⑶如圖3,AB=6,BD=2CE,且點E與點C不重合，連接AF.過點F作瓶的垂線交AC于點P,連接8尸、

DP.將沿著利翻折得到岫"，連接QC.當AWP的周長最小時，直接寫出ACPQ的面積.

圖3圖4

【感知】

⑴①如圖2,在八中，若N8=35。，ZC=70°,則=

②如圖2,在中，若NC=2/B,求證：AB-AC=CD；

【探究】

27.(2023春?全國?八年級專題練習)己知：如圖，在等腰RtZXABC中，NAAC=90。，AB=BC,將線段BC繞

(2)若將圖2中A￡＞是角平分線的條件改成AO是高線，其他條件不變(圖3),即在中，NC=2NBAD1BC,

點B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段BO,連接A。交3C于點E,過點C作線段AO的垂線，垂足為點尸，交BD

請?zhí)剿骶€段AC、BC、8之間的等量關(guān)系，并說明理由.

于點G

【拓展】

(3)如圖4,在RS4BC中，NACB=90°,BC=4,AC=5,點尸是8。邊上的一個動點(不與8、。重合)，將△APC

沿AP翻折，點C的對應點是點C'.若以B、C、C為頂點的三角形是直角三角形，直接寫出5尸的長度—

(1)如圖1,若NCBO=45。

①求NBCG的度數(shù)；

②求證：CE=DG；

(2)如圖2,若NC8D=60°,當AC-DE=6時，求CE的值

28.(2022秋?浙江寧波?八年級慈溪市上林初級中學?？计谥?定義：若連結(jié)三角形一個頂點和對邊上一點的線段

能把該三角形分成?個等腰三角形和?個直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個三角形叫做智

26.(2022秋?羽慶沙坪壩?九年級重慶一中校考開學考試)在等邊AAZ?。中，點。在邊48上，點E在邊BC上,

慧三角形.

將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段0F,連接CF.

A

A

(1)如圖1,在智慧三角形A8C中，AD1BC,4。為該三角形的智慧線，8=1,AC=2,則8D長為，

23的度數(shù)為.

(2)如圖2,為等腰直角三角形，ZBAC=90°,廠是斜邊8C延長線上一點，連結(jié)4尸，以從尸為直角邊作等

腰直角三角形AFE(點AF,￡按順時針排列)，ZE4F=90°,AE交8c于點。，連結(jié)EC,EB,當

NBDE=2NBCE時,求證：E。是,E8C的智慧線.30.(2022?全國?八年級專題練習)如圖①，在四邊形ABCD中，ZB=ZC=9(F,點E是邊上一點，AB=EC,

(3)如圖3,"C中，AB=AC=5,8c=80,若八BCD是智慧三角形,且AC為智慧線，求△8C0的面積.BE=CD,連接AE,DE,可知，此時是等腰直角三角形;

【問題提出】

⑴如圖②，在長方形A8CD中，點尸是邊8上一點，在邊8cAD上分別作出點E、F,使得點尸、E、P是一個

等腰直角三角形的三個頂點，且PE=PF,/EPF=90。

要求：用尺規(guī)作圖，保招作圖痕跡，不寫作法；

29.(2022秋?湖北咸寧?九年級?？茧A段練習)問題背景

【問題探究】

如圖1,在等腰Rtz^ABC和等腰中，AC=BC,CE=CD,NACB=NDCE=90°,求證：AE=BD.

嘗試應用(2)如圖③，在平面直角坐標系xQy中，已知點A(20),點8(4.1),點C在第一象限內(nèi)，若是等腰直角三

如圖2,在等腰RtZXA3c中，AC=BC,NACB=90。，點E是AC邊上一點，點F是BE上一點,若NCPE=45。，角形，求點C的坐標：

EF=3,面積為14,求防的長.【問題解決】

拓展創(chuàng)新(3)如圖④，在平面直角坐標系立為中，已知點AQ0),點C是y軸上的動點，ABC是以點C為直角頂點的等腰

例是等腰RtZSABC外一點，ZACB=90°,AC=BC,若ZAMC=75°,/W=4,CM=20，通過旋轉(zhuǎn)“可

直角三角形，連接80,求8。+班的最小值.［注：在平面直角坐標系內(nèi)，A(a,c)tB也d),則

以求出的長，請你直接寫出MB的長____.

第一次月考重難點特訓（三）之勾股定理與特殊三角形結(jié)合的壓軸題

旨【重難點題型】

1.（2021春?湖北荊門?八年級校考階段練習）在中，AB=AC,N54C=90。，D、

E為8C上兩點，/D4E=45。，F(xiàn)為,"C外一點，且必_L8C,FAVAE,則下列結(jié)論：

21222

①CE=BF；?BD+CE=DE-?S^DE=^AD-EF.@CE+BE=2AE,其中正確

的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出,