《導數(shù)及其應用》（理）復習概要

《導數(shù)及其應用》（理）復習概要山東張俊華李緒軍一、導數(shù)1．導數(shù)的定義函數(shù)在點處可導：函數(shù)在到之間的平均變化率，即，如果當時，有極限，則稱在點處可導．注意：（1）導數(shù)與導函數(shù)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．一般地，導數(shù)是對一個點而言的，它是一個確定的數(shù)值（常數(shù)），與給定的函數(shù)及x（或）的位置有關，而與無關；導函數(shù)是對一個區(qū)間而言的，它是一個確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，但與x、x均無關．因此，導數(shù)和導函數(shù)常用“求函數(shù)在點處的導數(shù)”與“求函數(shù)的導數(shù)”在文字敘述上加以區(qū)別；同時采用“”與“等在符號上加以區(qū)別．函數(shù)在處的導數(shù)是一個數(shù)，它就是導函數(shù)在處的值，即是一個常量．也可以先求導數(shù)，再用代入計算其值，但前提條件是在處必須可導．（2）并不是所有的函數(shù)都有導數(shù)．（3）自變量的增量有多種表達形式，不論采用哪種形式，中自變量的增量都必須用相應的形式．如求，易出現(xiàn)這樣的錯誤：，這是將中自變量的增量誤認為是所致，事實上應為，令，則．2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率k，即．3．求函數(shù)的導數(shù)的方法、步驟（1）用定義基于對導數(shù)定義三個層次的理解，求一個函數(shù)的導數(shù)，一般先求函數(shù)的改變量，再求平均變化率，最后取極限，得導數(shù)．即分為以下三個步驟：①求差分，即求函數(shù)的變化量（增量）；②求差商，即求平均變化率（增量之比）；③求導，即求局部變化率（增量比的極限）．以上步驟熟練之后，可一并寫成．（2）利用基本函數(shù)的導數(shù)公式、四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)．①常用的導數(shù)公式（C為常數(shù)），， ， （，且），（，且）；②兩個函數(shù)四則運算的導數(shù)，這個法則可推廣到任意有限個可導函數(shù)的和（或差）；，特別的；，特別的當時，有．③復合函數(shù)的導數(shù)設，則．注意：對復合函數(shù)求導，關鍵在于選取合適的中間變量，弄清每一步是對哪個變量求導，不要混淆，最后要將中間變量換為自變量的函數(shù)．二、導數(shù)的應用1．求切線的斜率：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率．注意：當切線平行于軸時，這時導數(shù)不存在，切線方程為．2．求函數(shù)的單調區(qū)間：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）令，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調遞增的區(qū)間；令，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調遞減的區(qū)間．注意：在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意到定義域，以及定義域內的不連續(xù)點或不可導點．函數(shù)在某一區(qū)間（或）是在該區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件．如函數(shù)在為增函數(shù)，但有．3．求函數(shù)極值：設函數(shù)在點x0處連續(xù)且，若在點附近左側，右側，則為函數(shù)的極大值點；若在點附近左側，右側，則為函數(shù)的極小值點．注意：可導函數(shù)在點取得極值的充要條件是且在左右側符號不同．是為極值點的必要不充分條件．函數(shù)的極值點是區(qū)間內的點，不能是區(qū)間的端點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)在極小值點處是不可導的．把使的點附近的函數(shù)值的變化情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調區(qū)間的增減情況一目了然．4．求函數(shù)的最值：在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的單調函數(shù)，在［a，b］上必有最大值與最小值．設函數(shù)在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內可導，先求出的點，然后求出使的所有點的函數(shù)值，再與端點函數(shù)值比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注意：極值與最值的區(qū)別：（1）函數(shù)的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義區(qū)間而言，是在整體范圍內討論問題，是一個整體性概念．（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．（3）函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有．三、定積分與微積分基本定理如果函數(shù)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，用分點將區(qū)間［a，b］等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間［a，b］上的定積分，記作，即．1．性質：由定積分的定義，可得到定積分的如下性質：（1）（為常數(shù)）；（2）；（3）。（其中a＜c＜b）2．幾何意義：（1）當在區(qū)間［a，b］中，函數(shù)f（x）≥０，定積分在幾何上表示：由曲線y=f（x）、直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲線梯形的面積Ｓ，如圖1所示，即；（2）當在區(qū)間［a，b］中，函數(shù)f（x）≤0時，在幾何上表示如圖2所示，它等于所示曲線梯形面積的負值，即；（3）當f（x）在區(qū)間［a，b］上有正有負時，積分f（x）dx在幾何上表示如圖3所示的幾個小曲邊梯形面積的代數(shù)和．在x軸上方取正號，在x軸下方取負號，．3．求定積分的方法：（1）定義法：①分割：n等分區(qū)間［a，b］；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：；（2）微積分基本定理：一般地，如果，且f（x）在［a，b］上可積，．4．求平面圖形的面積的一般步驟：（1）畫出圖形，將其適當?shù)胤指畛扇舾蓚€曲邊梯形；（2）對每一個曲邊梯形確定