-0202-導數(shù)的運算(部編)課件

第二節(jié)求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則三、反函數(shù)的導數(shù)

四、初等函數(shù)的導數(shù)五、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)設函數(shù)與在點處均可導，則它們的和、差、積、商（當分母不為零時）在點處也可導，且有以下法則

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1(1)求增量:給自變量一個增量，則證(1)、(2)略.證(3)令(2)算比值:

(3)取極限:因在點處可導，則在該點處必連續(xù)，故當時,，.又當時，所以，特別地，若則可得公式定理推廣：例1

設,求解

例2

設,求．

解

用類似地方法，可得解例3

求的導數(shù)．即例4

求的導數(shù)．

．用類似地方法，可得

即解定理2即由外層向內(nèi)層逐層求導再相乘（鏈導法）或或二、復合函數(shù)的求導法則證如三層復合，

或或

推廣

對于多次復合的函數(shù)，其求導公式類似，解可看作是由復合而成的，因此例5

設，求．例6

設，求．解三、反函數(shù)的求導法則

如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導,且，則它的反函數(shù)在對應的區(qū)間內(nèi)可導，且有定理3即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).因是的反函數(shù)，故可將函數(shù)中的看作中間變量，從而組成復合函數(shù)．上式兩邊對求導，應用復合函數(shù)的鏈導法，得證或因此

是的反函數(shù)，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且可導，且，因此在對應的區(qū)間內(nèi)，有求函數(shù)的導數(shù)．

例7解即同理可得例8

求函數(shù)的導數(shù)

是的反函數(shù)，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且可導，且

,因此在對應的區(qū)間上，有解即同理可得1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式四、初等函數(shù)的導數(shù)2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設)(),(xvvxuu==可導，則（1）vuvu

￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))3.復合函數(shù)的求導法則

注意：(1)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決.(2)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).例9

設，求．

解

所以

例10解解

方法1函數(shù)可以寫成所以例11求將函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，即．兩邊對求導，注意左端的是的函數(shù)，由鏈導法，有因此

方法2方法2稱為對數(shù)求導法，一般地對于函數(shù)（稱為冪指函數(shù)）對數(shù)求導法除適用于冪指函數(shù)外，還適用于多個因式連乘的函數(shù)．解等式兩邊取對數(shù)得例12五、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)得導數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化

問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則:

用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.1.隱函數(shù)的導數(shù)例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過原點.2.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得例6解

所求切線方程為于是所求的切線方程為例15求曲線在處的切線方程

解曲線上對應的點為，曲線在處的切線斜率為六、高階導數(shù)如果函數(shù)的導函數(shù)仍是的可導函數(shù)，就稱的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù),記作或即或類似地，這個定義可推廣到的更高階的導數(shù),

而加速度是速度對時間的導數(shù),是位置函數(shù)對時間的二階導數(shù),即．二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).

二階導數(shù)有明顯的物理意義:考慮物體的直線運動，設位置函數(shù)為則速度為如階導數(shù)

例16

設，求

解特別地，根據(jù)高階導數(shù)的定義，求函數(shù)的高階導數(shù)就是將函數(shù)逐次求導，因此，前面介紹的導數(shù)運算法則與導數(shù)基本公式，仍然適用于高階導數(shù)的計算