山東省青島市城陽區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中階段質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(含解析)

山東省青島市城陽區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列四個(gè)圖形中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．解析：解：選項(xiàng)A、B、C中的圖形都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．選項(xiàng)D中的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．故選：D．2．如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人師傅在焊接立柱時(shí)，只用找到BC的中點(diǎn)D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（）A．等邊對(duì)等角 B．等角對(duì)等邊 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”解析：解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．3．交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時(shí)，我們往往會(huì)看到如圖所示的標(biāo)態(tài)．則通過該橋洞的車高x（m）的范圍在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．解析：解：由題意可得：通過該橋洞的車高x（m）的取值范圍是：0＜x≤4.5．在數(shù)軸上表示如圖：．故選：D．4．如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果將△ABC先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到△A′B′C′，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐（）A．（﹣4，0） B．（2，0） C．（﹣4，2） D．（2，2）解析：解：∵將△ABC先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到△A′B′C′，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．故選：C．5．若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣6＞b﹣6 B．3a＞3b C．﹣2a＜﹣2b D．a(chǎn)﹣b＜0解析：解：A、已知a＜b，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變，所以a﹣6＞b﹣6錯(cuò)誤；B、不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，所以3a＞3b錯(cuò)誤；C、不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，所以﹣2a＜﹣2b錯(cuò)誤；D、a﹣b＜0即a＜b兩邊同時(shí)減去b，不等號(hào)方向不變．不等式一定成立的是a﹣b＜0．故選：D．6．用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．每一個(gè)內(nèi)角都大于60° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60° C．有一個(gè)內(nèi)角大于60° D．有一個(gè)內(nèi)角小于60°解析：解：用反證法證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°．故選：A．7．已知點(diǎn)A（a﹣2，2a+6）在第二象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣3或a＞2 B．﹣3＜a＜2 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)＞﹣3解析：解：由題意知，，解得﹣3＜a＜2，故選：B．8．如圖，把△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點(diǎn)D，若∠A′DC＝90°，則∠A的度數(shù)（）A．35° B．75° C．55° D．65°解析：解：根據(jù)題意，把△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，∵∠A′DC＝90°，∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，∴∠A＝∠A′＝55°．故選：C．9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a必須滿足（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)＞﹣1 D．a(chǎn)＜﹣1解析：解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解為x＜1，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1．故選：D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)G，作射線AG，交BC于點(diǎn)D，則BD的長為（）A． B． C． D．解析：解：作DM⊥AB于M，由題意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，∴AC?BC＝AC?CD+AB?MD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．故選：D．二.填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖是環(huán)島行駛的交通標(biāo)志，表示在環(huán)形交叉路口中，車輛按逆時(shí)針方向繞行．將這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則旋轉(zhuǎn)的角度至少為120°．解析：解：∵360°÷3＝120°，∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，∴旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°．故答案為：120°．12．某校舉行“學(xué)以致用，數(shù)你最行”數(shù)學(xué)知識(shí)搶答賽，共有20道題，規(guī)定答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)或放棄扣4分，在這次搶答賽中，八年級(jí)1班代表隊(duì)被評(píng)為優(yōu)秀（88分或88分以上），則這個(gè)隊(duì)至少答對(duì)12道題．解析：解：設(shè)這個(gè)隊(duì)答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)或放棄（20﹣x）道題，根據(jù)題意得：10x﹣4（20﹣x）≥88，解得：x≥12，∴x的最小值為12，即這個(gè)隊(duì)至少答對(duì)12道題．故答案為：12．13．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，則∠ACP的度數(shù)為12°．解析：解：∵BP是∠ABC的平分線，∠ABC＝62°，∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝31°，∵P是線段BC的垂直平分線上一點(diǎn)，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB＝31°，∵∠A＝75°，∠ABC＝62°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝43°，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝12°，故答案為：12．14．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是m≤3．解析：解：，解①得x＞3，∵不等式組的解集為x＞3，∴m≤3．故答案為m≤3．15．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于點(diǎn)M，BE⊥AM于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，AB＝7，EF＝3，則△ABM的面積為21．解析：解：過E作EG⊥AB于G，如圖：∵AM平分∠BAD，∴EG＝EF＝3，∠DAM＝∠BAM，∴S△ABE＝×7×3＝，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB，∴∠BAM＝∠AMB，∴AB＝BM，∵BE⊥AM，∴BE是△ABM邊AM上的中線，∴S△ABM＝2S△ABE＝2×＝21．故答案為：21．16．如圖，函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），與函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A，下列結(jié)論：①點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2；②關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集為x＞2；③關(guān)于x的方程kx+b＝2x的解為x＝2；④關(guān)于x的不等式組0＜kx+b＜2x的解集為1＜x＜2．其中正確的是②④（只填寫序號(hào)）．解析：解：由所給函數(shù)圖象可知，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則2x＝2，解得x＝1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．故①錯(cuò)誤．因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），所以當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)y＝kx+b的圖象在x軸下方，即kx+b＜0，則不等式kx+b＜0的解集為x＞2．故②正確．因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x和函數(shù)y＝kx+b交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以方程kx+b＝2x的解為x＝1．故③錯(cuò)誤．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y＝kx+b的圖象在函數(shù)y＝2x圖象的下方，即kx+b＜2x，當(dāng)x＜2時(shí)，函數(shù)y＝kx+b的圖象在x軸上方，即kx+b＞0，所以關(guān)于x的不等式組0＜kx+b＜2x的解集為1＜x＜2．故④正確．故答案為：②④．三、作圖題（本大題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD；求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部，PD＝PC，且點(diǎn)P到∠BAD兩邊的距離相等．解析：解：如圖，點(diǎn)P即為所求．四.解答題（本大題共7小題，共68分）18．（20分）計(jì)算：（1）解不等式x﹣1≥2x；（2）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上；（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非負(fù)整數(shù)解；（4）解不等式組：；（5）解不等式組：．解析：解：（1）移項(xiàng)得，x﹣2x≥1，合并同類項(xiàng)得，﹣x≥1，x的系數(shù)化為1得，x≤﹣1；（2）去分母得，4+3x≤2（1+2x），去括號(hào)得，4+3x≤2+4x，移項(xiàng)得，3x﹣4x≤2﹣4，合并同類項(xiàng)得，﹣x≤﹣2，x的系數(shù)化為1得，x≥2，在數(shù)軸上表示為：；（3）去括號(hào)得，3x﹣9﹣6＜2x﹣10，移項(xiàng)得，3x﹣2x＜﹣10+9+6，合并同類項(xiàng)得，x＜5，故其非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3，4；（4），由①得，x≤1，由②得，x＜3，故不等式組的解集為：x≤1；（5），由①得，x＜，由②得，x≥1．故不等式組的解集為：1≤x＜．19．（6分）如圖，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．解析：（1）證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△CDB和Rt△BEC中，，∴Rt△CDB≌Rt△BEC（HL），∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵∠A＝60°，∠BDA＝90°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝1，∴BD＝＝＝．20．（6分）△ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），B（3，4），C（3，1），將△ABC先向下平移2個(gè)單位長度，再向左平移4個(gè)單位長度，得到△A1B1C1．（1）如果將△A1B1C1看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是2個(gè)單位長度；（2）在y軸上有點(diǎn)D，則AD+CD的最小值為5個(gè)單位長度；（3）作出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．解析：解：（1）∵將△A1B1C1看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的，∴平移的距離是＝2個(gè)單位長度；故答案為：2；（2）如圖點(diǎn)D為所求，∴AD+CD的最小值為＝5個(gè)單位長度；故答案為：5；（3）如圖，△A2B2C2即為所求．21．（8分）如圖，已知△ABC，以AC為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，在BD上取一點(diǎn)O，使∠AOD＝60°，在OD上取一點(diǎn)E，使AO＝AE，連接OC．（1）求證：△AOC≌△AED；（2）OA，OB，OC三條線段長度之和與圖中哪條線段的長度相等？請(qǐng)說明理由．解析：（1）證明：∵∠AOE＝60°，AO＝AE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAE，∴∠OAC＝∠EAD，在△OAC和△EAD中，，∴△AOC≌△AED（SAS）；（2）解：結(jié)論：BD＝OA+OB+OC．理由：∵△AOE是等邊三角形，∴OA＝OE，∵△AOC≌△AED，∴OC＝DE，∴BD＝OB+OE+ED＝OB+OA+OC．22．（9分）兩個(gè)家庭暑假結(jié)伴自駕到某景區(qū)旅游，該景區(qū)售出的門票分為成人票和兒童票，小鵬家購買3張成人票和1張兒童票共需350元，小波家購買1張成人票和2張兒童票共需200元．（1）求成人票和兒童票的單價(jià)；（2）售票處規(guī)定：一次性購票數(shù)量達(dá)到30張，可購買團(tuán)體票，即每張票均按成人票價(jià)的八折出售．若干個(gè)家庭組團(tuán)到該景區(qū)旅游，導(dǎo)游收到通知該團(tuán)成人和兒童共30人，估計(jì)兒童8至16人．導(dǎo)游選擇哪種購票方式花費(fèi)較少？解析：解：（1）設(shè)成人票的單價(jià)是x元，兒童票的單價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：成人票的單價(jià)是100元，兒童票的單價(jià)是50元；（2）設(shè)該團(tuán)兒童有m人，則該團(tuán)成人有（30﹣m）人，購買團(tuán)體票所需費(fèi)用為100×0.8×30＝2400（元），不購買團(tuán)體票所需費(fèi)用為100（30﹣m）+50m＝（﹣50m+3000）元，當(dāng)2400＜﹣50m+3000時(shí)，m＜12，∴當(dāng)8≤m＜12時(shí)，購買團(tuán)體票花費(fèi)較少；當(dāng)2400＝﹣50m+3000時(shí)，m＝12，∴當(dāng)m＝12時(shí)，兩種購票方式花費(fèi)一樣多；當(dāng)2400＞﹣50m+3000時(shí)，m＞12，∴當(dāng)12＜m≤16時(shí)，不購買團(tuán)體票花費(fèi)較少．答：當(dāng)8≤m＜12時(shí)，購買團(tuán)體票花費(fèi)較少；當(dāng)m＝12時(shí)，兩種購票方式花費(fèi)一樣多；當(dāng)12＜m≤16時(shí)，不購買團(tuán)體票花費(fèi)較少．23．（9分）【問題情境】如圖①，△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線BD，CD交于點(diǎn)D．【建立模型】（1）如圖②，過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)A作直線l∥BC，延長BD和CD，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB＝4，AC＝3，請(qǐng)你直接寫出EF的長度（不需要證明）．【類比探究】如圖④，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BD，與它的外角∠ACG的平分線CD交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．解析：解：（1）EF＝BE+CF，理由如下：如圖②，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∴∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，∴∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，∴BE＝DE，CF＝DF，∴DE+DF＝BE+CF，即EF＝BE+CF；（2）EF＝7；理由如下：如圖③，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∴∠EBC＝∠ABE，∠FCB＝∠ACF，∵EF∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∠FCB＝∠AFC，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，∴AE＝AB，AF＝AC，∵AB＝4，AC＝3，∴EF＝AE+AF＝4+3＝7；（3）EF＝BE﹣CF，理由如下：如圖④，∵∠ABC的平分線BD與∠ACG的平分線CD交于點(diǎn)D，∴∠DBC＝∠ABD，∠ACD＝∠DCG，∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE，∠CDF＝∠DCG，∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF，∴DE＝BE，DF＝CF，∵EF＝DE﹣DF，∴EF＝BE﹣CF．24．（10分）如圖，在長方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝4cm