第09講 空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學暑假自學課講義

第09講空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關運算.會求空間向量的夾角、長度以及有關平行、垂直的證明.知識點1空間直角坐標系1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系．在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標、向量的坐標（1）空間點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序實數(shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內Oyz平面內Ozx平面內坐標的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點的對稱問題①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．（3）空間向量的坐標向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數(shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝(x，y，z)．知識點2空間向量的坐標運算1．空間向量的坐標運算法則設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點：(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結果為數(shù)量．2．空間向量相關結論的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.3．空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空間兩點間的距離公式推導過程如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.1．建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點M的坐標的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．3.空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定．已知空間點的坐標、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐標等于終點坐標減起點坐標．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．4.解決空間向量垂直、平行問題的有關思路(1)若有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標．例如，設向量a＝(x，y，z)．(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解．(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．5．利用向量數(shù)量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；(3)利用向量數(shù)量積的坐標公式求得異面直線上有關向量的夾角，并將它轉化為異面直線所成的角．6．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出線段端點的坐標；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．考點一：空間中點的坐標表示例1．（2023秋·北京西城·高二北師大二附中?？计谥校┮阎c，，點滿足，則點的坐標是______．變式1．（2022·高二課時練習）若△頂點，且，，則點C坐標是___________.變式2．（2022·全國·高二專題練習）平行六面體中，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·全國·高二專題練習）已知點，，，則點的坐標為______．變式4．（2023春·高二課時練習）若?，點C在線段AB上，且，則點C的坐標是___________.變式5．（2023·高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點、、，則頂點D的坐標為______．考點二：空間點的對稱問題例2．（2023春·高二課時練習）在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高二專題練習）已知點，分別與點關于軸和軸對稱，則（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）已知點關于平面的對稱點為，而點關于軸的對稱點為，則（

）A． B． C． D．8變式3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系Oxyz中，P是坐標平面xOy內一動點，，，當最小時P的坐標為___________.考點三：空間向量的坐標表示例3．（2023春·高二課時練習）已知點，，則向量的坐標為________．變式1．（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為________．變式2．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（

）A． B． C． D．變式3．（2023·全國·高二專題練習）已知空間直角坐標系中，點，，若，與同向，則向量的坐標為______.變式4．【多選】（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中校考階段練習）已知四邊形的頂點分別是，，，，那么以下說話中正確的是（

）A． B．C．的中點坐標為 D．四邊形是一個梯形考點四：空間向量的坐標運算例4．（2022秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）已知，(2，1，1)，則________．變式1．（2023·全國·高二專題練習）向量，，，中，共面的三個向量是（

）A． B． C． D．變式2．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為________．變式3．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，已知三點，若點C在平面內，則點C的坐標可能是（

）A． B． C． D．變式4．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知在空間直角坐標系中，O為坐標原點，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．若，則P，A，B，C四點共面變式5．（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┫铝袔捉M空間向量中，不能作為空間向量基底的是（

）A．B．C．D．變式6．（2022·高二課時練習）在中，若，，則是（

）A．頂角為銳角的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．頂角為鈍角的等腰三角形考點五：空間向量的平行問題例5．（2022·高二課時練習）若，且與共線，求x，y的值．變式1．（2023春·高二課時練習）已知向量，，且，則實數(shù)k的值為（

）A． B．C． D．變式2．【多選】（2023秋·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實驗中學校考期中）與向量共線的單位向量是（

）A． B． C． D．變式3．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學?？茧A段練習）已知空間兩點，1，，，2，，下列選項中的與共線的是（

）A．，0， B．，1， C．，， D．，2，變式4．（2022秋·廣東江門·高二江門市第二中學?？计谥校┮阎臻g直角坐標系中，點，，若，且與反向共線，則_____．變式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系Oxyz中，，，，若四邊形為平行四邊形，則________.考點六：利用坐標運算解決數(shù)量積問題例6．（2022·全國·高二專題練習）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15變式1．（2022·高二單元測試）若向量，，則______．變式2．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．變式3．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）在中，．(1)求頂點的坐標；(2)求．考點七：空間向量的垂直問題例7．（2023秋·高二課時練習）已知，單位向量滿足，則_________．變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谥校┮阎蛄?，若，則的值為（

）A． B． C． D．變式2．（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學?？计谥校┮阎蛄?，，若與垂直，則＝_____.變式3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知空間有三點，，，若直線上存在一點M，滿足，則點M的坐標為______.變式4．（2022秋·山東濟寧·高二統(tǒng)考期中）已知空間中三點，，，設，.(1)求向量與向量的坐標；(2)若與互相垂直，求實數(shù)的值.變式5．（2023·全國·高二專題練習）在空間直角坐標系中，若三點，，滿足，則實數(shù)a的值為（

）．A． B．1 C． D．變式6．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知長方體中，，，，，若則（

）A． B． C． D．考點八：利用坐標運算解決夾角問題例8．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則_________．變式1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2例9．（2023春·高二課時練習）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.變式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中學?？计谥校c，，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.變式2．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍______.變式3．（2023春·高二課時練習）已知空間中的三點，，.(1)求的面積；(2)當與的夾角為鈍角時，求k的范圍．變式4．（2023秋·高二單元測試）已知，則的面積為__________．變式5．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）長方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．考點九：利用坐標運算解決距離問題例10．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，點，則______變式1．（2022·全國·高二專題練習）若，，則（

）A． B． C．5 D．10變式2．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┰O正四面體ABCD的棱長為1，點M、N滿足，，則______.變式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，，，則的最小值是________.變式4．（2022·高二單元測試）若A，B，當取最小值時，x的值等于（

）A． B． C． D．變式5．（2022·全國·高三專題練習）在空間直角坐標系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.變式6．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.考點十：利用坐標運算求投影或投影向量例11．（2023春·高二課時練習）已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習）已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．變式3．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學?？茧A段練習）已知點，則在上的投影向量的長度為________.1．已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．2．已知向量，且，則____________．3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．4．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，求的取值范圍．5．如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設二面角的大小為．（1）當時，求的長；（2）當時，求的長．一、單選題1．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）已知點，，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高二專題練習）三個頂點的坐標分別為，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．正三角形 D．直角三角形3．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．4．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，若，則點B的坐標為（

）．A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）5．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知的三個頂點分別為，，，則BC邊上的高等于（

）A． B． C． D．6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學?？茧A段練習）下列各組空間向量不能構成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中學?？计谀┮阎?，，則等于（

）A． B．C． D．9．（2023·全國·高二專題練習）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．3610．（2023春·寧夏固原·高二?？茧A段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．11．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2023春·寧夏中衛(wèi)·高二中衛(wèi)中學?？茧A段練習）已知向量，，，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．6二、多選題13．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知向量，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．記與的夾角為，則 D．若，則14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學?？茧A段練習）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．15．（2023春·安徽合肥·高二統(tǒng)考開學考試）已知向量，則（

）A． B．C． D．16．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A． B．C． D．∥17．（2023春·福建龍巖·高二