第11講 用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題11種常見(jiàn)考法歸類(lèi)原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第11講用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題11種常見(jiàn)考法歸類(lèi)會(huì)用向量法求線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值；會(huì)用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線(xiàn)、點(diǎn)面、線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.知識(shí)點(diǎn)1空間距離及向量求法分類(lèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離點(diǎn)到平面的距離圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言設(shè)u為直線(xiàn)l的單位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線(xiàn)l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：實(shí)質(zhì)上，n是直線(xiàn)l的方向向量，點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線(xiàn)l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度．注意點(diǎn)：(1)兩條平行直線(xiàn)之間的距離：在其中一條直線(xiàn)上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離即為兩條平行直線(xiàn)之間的距離．(2)如果一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α平行，可在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)P，將線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解．(3)如果兩個(gè)平面α，β互相平行，在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解．知識(shí)點(diǎn)2空間角及向量求法角的分類(lèi)向量求法范圍異面直線(xiàn)所成的角設(shè)兩異面直線(xiàn)所成的角為θ，兩直線(xiàn)的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩異面直線(xiàn)所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．直線(xiàn)與平面所成的角設(shè)直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)線(xiàn)面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直線(xiàn)與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱(chēng)為這兩個(gè)平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)兩個(gè)平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．思考：（1）兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角．二面角的平面角范圍是[0，π]，而兩個(gè)平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？?jī)善矫娴膴A角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．1、用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的一般步驟(1)求直線(xiàn)的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線(xiàn)上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線(xiàn)的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線(xiàn)間的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之間的轉(zhuǎn)化．2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟注：線(xiàn)面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線(xiàn)到平面、平面到平面的距離的前提是線(xiàn)面、面面平行．3、基向量法求異面直線(xiàn)的夾角的一般步驟(1)找基底．(2)用同一組基底表示兩異面直線(xiàn)的方向向量．(3)利用向量夾角公式求出兩條直線(xiàn)的方向向量夾角的余弦值．(4)結(jié)合異面直線(xiàn)的夾角范圍得到異面直線(xiàn)的夾角．4、用空間向量法求異面直線(xiàn)夾角的步驟(1)確定兩條異面直線(xiàn)的方向向量．(2)確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．(3)得出兩條異面直線(xiàn)所成的角．5、求直線(xiàn)與平面所成角的思路與步驟思路一：找直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線(xiàn)與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線(xiàn)與平面所成角的基本步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線(xiàn)的方向向量eq\o(AB,\s\up7(→))；③求平面的法向量n；④計(jì)算：設(shè)線(xiàn)面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|n|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|).6、向量法求兩平面的夾角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的三個(gè)步驟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②求出兩個(gè)半平面的法向量n1，n2；③設(shè)兩平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí).))[注意]若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解．7、立體幾何中的探索性問(wèn)題立體幾何中的探索性問(wèn)題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度．這類(lèi)題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語(yǔ)句表述．解答這類(lèi)問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性．考點(diǎn)一：求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)____________．變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為_(kāi)_________．變式2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線(xiàn)的距離為（

）

A． B． C． D．變式3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．變式4．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍.變式5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求的值．考點(diǎn)二：求點(diǎn)到平面的距離例2．（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中為線(xiàn)段的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．變式3．（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．變式4．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.變式5．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．(1)求；(2)求點(diǎn)B到平面PAM的距離．變式6．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)三：求兩平行平面的距離例3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線(xiàn)與平面的距離；(2)平面與平面的距離．變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．變式4．【多選】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是B．點(diǎn)到平面的距離為C．平面與平面間的距離為D．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為考點(diǎn)四：求兩條異面直線(xiàn)的距離例4．【多選】（2023·遼寧朝陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)段，C．異面直線(xiàn)與所成的角為D．異面直線(xiàn)與間的距離為變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形中，，，，．(1)求證：；(2)求異面直線(xiàn)與的距離；(3)求二面角的大?。兪?．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線(xiàn)AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi)_____．變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與的距離是______．變式4．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；(2)求異面直線(xiàn)與之間的距離．考點(diǎn)五：求異面直線(xiàn)所成的角例5．（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，BD，的中點(diǎn)，則與FG所成的角的余弦值為_(kāi)_____.

變式1．（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，為體對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，，M為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AC，BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式3．（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.變式4．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線(xiàn)、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面AEF的距離．變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考期中）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為直線(xiàn)上的異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．變式6．（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與所成的角最小時(shí)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)___________考點(diǎn)六：已知線(xiàn)線(xiàn)角求其他量例6．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面.(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).變式1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.變式2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，，且異面直線(xiàn)與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），且．若直線(xiàn)與所成角的余弦值是，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，則的最大值為_(kāi)__________.考點(diǎn)七：求直線(xiàn)與平面所成的角例7．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．變式1．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，E在線(xiàn)段上，且.

(1)求證：平面DBE；(2)求直線(xiàn)與平面DBE所成角的正弦值.變式2．（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.變式3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱錐P－ABC的所有側(cè)面都是直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC，垂足為，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)證明：起的中點(diǎn)．(2)求直線(xiàn)與平面夾角的正弦值．變式4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．變式5．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，B為直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上．

(1)求證：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直線(xiàn)AF與平面BDF所成角的正弦值．變式6．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點(diǎn)M在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值的最大值.考點(diǎn)八：已知線(xiàn)面角求其他量例8．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟w，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值.變式1．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，求：

(1)與所成角的大?。?2)二面角的大?。?3)點(diǎn)在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由.變式2．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線(xiàn)段上滿(mǎn)足，求二面角的余弦值.變式3．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，D為AB的中點(diǎn)，，．

(1)若，證明：平面；(2)若直線(xiàn)與平面所成角為，求的值；變式4．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，的中點(diǎn)為.

(1)證明：直線(xiàn)平面；(2)若，當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角最大時(shí)，求三棱錐的體積.變式5．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊PC上的一個(gè)點(diǎn).

(1)求證:平面AEF⊥平面PAD；(2)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成角的正切值的最大值為，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.變式6．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，且，，且，且.平面，.

(1)求平面與平面的夾角的正弦值；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且直線(xiàn)與平面所成的角為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).考點(diǎn)九：求兩平面的夾角（二面角）例9．（2023·吉林四平·四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點(diǎn)，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求銳二面角的余弦值．變式1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.變式2．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.變式3．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.變式4．（2023春·四川瀘州·高二瀘縣五中?？计谀┤鐖D，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿(mǎn)足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.變式5．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．考點(diǎn)十：已知面面角求其他量例10．（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且．

(1)證明：．(2)若二面角的余弦值為，求的值．變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．變式3．（2023春·湖南郴州·高二?？计谀┱庵?，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上.

(1)證明：平面；(2)若二面角大小為，求以為頂點(diǎn)的四面體體積.變式4．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線(xiàn)BD與平面PBC夾角的正弦值．考點(diǎn)十一：立體幾何中的探索性問(wèn)題例11．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．(1)證明：；(2)在棱A1B1上是否存在一點(diǎn)M，使得異面直線(xiàn)MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說(shuō)明理由．變式1．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：平面(2)確定在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)P，使得AP與平面所成角為，若存在，求出的值;若不存，說(shuō)明理由.變式2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺(tái)的下底面圓的直徑為，圓臺(tái)的上底面圓的直徑為，是弧上一點(diǎn)，且.

(1)求證：；(2)若點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的取值范圍.變式3．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；(2)求直線(xiàn)PC與平面ABP所成角的余弦值；(3)線(xiàn)段PA上是否存在點(diǎn)E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式4．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知是直角梯形，，，，C、D分別為BF、AE的中點(diǎn)，，，將直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小為60°，如圖2所示，設(shè)N為BC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若M為AE上一點(diǎn)，且，則當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)BM與平面ADE所成角的正弦值為.變式5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在底面ABCD為梯形的多面體中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形BDEN為矩形．

(1)求證：BD⊥AE；(2)線(xiàn)段EN上是否存在點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)BE與平面QAD所成的角為60°？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．若存在，確定點(diǎn)Q的位置并加以證明．變式6．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式7．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大小．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足，求二面角的正弦值．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．一、單選題1．（2022春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線(xiàn)和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若、則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A．[) B．[] C．[) D．[]3．（2022秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在正方體中，棱長(zhǎng)為2，是底面正方形的中心，點(diǎn)在上，是上靠近的三等分點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與垂直的時(shí)候，的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．4．（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，直線(xiàn)與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山東濟(jì)南·高二校考期中）已知向量分別是直線(xiàn)l與平面α的方向向量、法向量，若，則l與α所成的角為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，，兩兩垂直，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，，.當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．（2022秋·河北保定·高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，向量，，則平面與平面ABC夾角的正切值為（

）A． B．2 C． D．9．（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知向量，分別為平面和平面的法向量，則平面與平面的夾角為（

）A． B． C． D．二、多選題10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是 B．直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離是C．點(diǎn)到平面的距離是 D．直線(xiàn)到平面的距離是11．（2022秋·福建廈門(mén)·高二統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為正方形，，平面，，點(diǎn)在棱上，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．當(dāng)時(shí)，平面與平面的夾角為12．（2022秋·河北保定·高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（

）A．平面PACB．平面EFCC．點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（包含線(xiàn)段的端點(diǎn)），點(diǎn)，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面B．異面直線(xiàn)與的距離為C．三棱錐的體積為定值D．不存在點(diǎn)，使得三、填空題14．（2022秋·福建泉州·高