第21講 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程7種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第21講雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程7種常見考法歸類1.了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用．2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．注：1、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．2、對(duì)雙曲線定義中限制條件的理解(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，M的軌跡不存在．(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時(shí)，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.①若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;②若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2a與b沒有大小關(guān)系注：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程①觀察我們畫出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對(duì)稱性，而且直線F1F2是它的一條對(duì)稱軸，所以以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，焦距為2c，c>0.設(shè)P(x，y)是雙曲線上一點(diǎn)，則||PF1|－|PF2||＝2a(a為大于0的常數(shù))，因?yàn)閨PF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)－eq\r(x－c2＋y2)＝±2a，①類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過程，化簡(jiǎn)①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，兩邊同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.由雙曲線的定義知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．②設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．2、巧記雙曲線焦點(diǎn)位置與方程的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走，即若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上．3、共焦點(diǎn)雙曲線的設(shè)法與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程為eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知識(shí)點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．以雙曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)雙曲線的定義：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要結(jié)論：S△PF1F2=推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==1、雙曲線方程的辨識(shí)方法將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，則當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．2、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．注：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標(biāo)明條件mn<0.4、雙曲線的焦點(diǎn)三角形解題注意點(diǎn)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，要注意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問題要考慮正、余弦定理、勾股定理等．另外在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用．5、利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問題(注意實(shí)際意義)．考點(diǎn)一：雙曲線定義的理解例1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（

）A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線C：，點(diǎn)M與曲線C的焦點(diǎn)不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在曲線C右支上，則的值為______．考點(diǎn)二：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的辨識(shí)例2．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)a，b，“”是“方程對(duì)應(yīng)的曲線是雙曲線”的（

）充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中學(xué)?？计谥校┮阎€C：，則下列說法不正確的是（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為C．若，則C是圓，其半徑是D．若，則C是兩條直線變式4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件變式6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．或變式8．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線有個(gè)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓有個(gè)，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22變式9．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┰O(shè)m為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式10．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┓匠瘫硎窘咕酁榈碾p曲線，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1考點(diǎn)三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．求曲線E的方程；變式1．（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．變式2．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．變式4．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或變式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．變式6．（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．變式7．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，P為C上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（

）．A． B．C． D．考點(diǎn)四：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例4．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8變式1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12變式2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則_________，_________；變式3．（2023春·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為__________．變式4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，且是等腰三角形，則的周長(zhǎng)是________.變式5．（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線，、是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，若，則的面積為______．變式6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為____.變式7．（2023春·江西·高二臨川一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支第一象限于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為1，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．變式8．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線與雙曲線的右半支交于點(diǎn)，，使得，則（

）A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．直線的斜率為或 D．的內(nèi)切圓半徑是變式9．【多選】（2023秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，分別是左?右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點(diǎn)到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．變式10．【多選】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（

）A．P的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為4考點(diǎn)五：雙曲線定義的應(yīng)用例5．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式1．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11變式2．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12變式3．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．變式5．（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍是________．變式8．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2考點(diǎn)六：雙曲線的軌跡方程例6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；(3)在中，，，直線，的斜率之積為，求頂點(diǎn)的軌跡方程.變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；變式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知圓，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為______.變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程變式5．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是、，且，所在直線的斜率之積等于2，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（

）A．（） B．C． D．（）變式6．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)七：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用例7．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考期中）單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為，樓底的直徑為，樓頂直徑為，最細(xì)處距樓底，則該地標(biāo)建筑的高為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則______．1．已知方程表示雙曲線，求m的取值范圍．2．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．3．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．4．設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．15．設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為_____________．一、單選題1．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線3．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知兩點(diǎn)及直線l：①；②；③；④，在直線l上存在點(diǎn)P滿足的所有直線方程是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則k的值為（

）A． B． C． D．6．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，曲線表示兩條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲