2024年北京高考數(shù)學(xué)真題試卷及答案

絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知，則（）．A. B. C. D.13.求圓的圓心到的距離（）A. B.2 C. D.4.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（）A.15 B.6 C. D.5.已知向量，，則“”是“或”的（）條件．A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.47.記水的質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且，，則與的關(guān)系為（）A.B.C.若，則；若，則；D若，則；若，則；8.已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，，，則該四棱錐的高為（）A. B. C. D.9.已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）A. B.C. D.10.若集合表示的圖形中，兩點(diǎn)間最大距離為d、面積為S，則（）A.， B.，C.， D.，第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)________．12.已知，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為________．13.已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為________．14.已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為________．15.已知，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是______.①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；④單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△ABC中，，A為鈍角，．（1）求；（2）從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．①；②；③．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點(diǎn)，．（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．18.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為萬元，前3次出險(xiǎn)每次賠付萬元，第4次賠付萬元賠償次數(shù)01234單數(shù)在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤(rùn)為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降，已賠償過的增加．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．19.已知橢圓方程C：，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形，過的直線l與橢圓交于A，B，，連接AC交橢圓于D．（1）求橢圓方程和離心率；（2）若直線BD的斜率為0，求t．20.已知在處切線為l．（1）若切線l的斜率，求單調(diào)區(qū)間；（2）證明：切線l不經(jīng)過；（3）已知，，，，其中，切線l與y軸交于點(diǎn)B時(shí)．當(dāng)，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？（參考數(shù)據(jù)：，，）21.設(shè)集合．對(duì)于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．若為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題1.A2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.D9.A10.C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題11.12.13.14.15.①③④三、解答題16.（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則17.（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為18.（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元）19.（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）顯然直線斜率存在，否則重合，直線斜率不存在與題意不符，同樣直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.20.（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過.（3）時(shí)，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；因?yàn)?，，所以由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足的有兩個(gè).21.我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得為常數(shù)列.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)證明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，