線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 課件 第四章 樣本及抽樣分布

第四章樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)序數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用廣泛的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性做出合理的估計(jì)和判斷，以便對所考察的問題盡可能地作出精確而可靠的推斷和預(yù)測,直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。總體與樣本第一節(jié)基本概念1定義1

01總體（population）02個(gè)體（individual）被研究對象的全體組成總體的各個(gè)元素在研究2000名學(xué)生的年齡時(shí),這些學(xué)生的年齡的全體就構(gòu)成一個(gè)總體,每個(gè)學(xué)生的年齡就是個(gè)體。例1某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中，個(gè)體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù)，這是個(gè)有限總體；而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體是一個(gè)無限總體，它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命。例2總體可以記作X個(gè)體用xi表示01抽樣(sampling)從總體中抽取若干個(gè)體的過程02樣本(sample)所得到的部分個(gè)體定義2定義303樣本容量(samplesize)樣本中所含個(gè)體的數(shù)量01樣本觀測值(sampleobservations)從總體中抽取樣本容量為

n的樣本，即得到n個(gè)隨機(jī)變量：X1

,

X

2

,

,

Xn

.當(dāng)n次試驗(yàn)結(jié)束后，得到n個(gè)數(shù)值：x1

,

x2

,

,

xn

.

稱這n個(gè)數(shù)值為樣本觀測值.定義401簡單隨機(jī)樣本(simplerandomsample)從總體中抽取樣本容量為n的樣本，若滿足：1隨機(jī)性：X1

,

X

2

,

,

Xn與總體X同分布2獨(dú)立性：X1

,

X

2

,

,

Xn相互獨(dú)立.則稱此樣本為簡單隨機(jī)樣本。樣本的分布2設(shè)X1

,

X

2

,

,

Xn為總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本.01nx p

x

p

x1 21 2 n*x

,

x ,

,

xp

p

若X是離散型隨機(jī)變量,其分布律為P{X

x}

p(x)

則樣本

X1

,

X2

,

,

Xn

的分布律為02

n

f

x1 2 n 1 2*f

x

,

x ,

,

x

f

x

f

x若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f

(

x)則樣本

X1

,

X2

,

,

Xn

的概率密度為

niniii

x n

xn

p

q

p

qi

1i

1x 1

x

i

1*nn1 2 n 1 1 2 2

x

}p (x,x

,

,

x )

P{X

x

}P{X

x

}

P{X設(shè)X1

,

X

2

,

,

Xn是來自兩點(diǎn)分布總體X的樣本，X的分布為例1P{X

1}

p,P{X

0}

q(q

1

p,0

p

1

)

求樣本分布律解(k

0,

1)P{X

k}

pk

q1

k由題知則樣本分布律為樣本樣本容量簡單隨機(jī)抽樣小結(jié)基本概念個(gè)體總體有限總體無限總體說明2在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體，它對應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量；當(dāng)總體中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)很大時(shí)，在理論上可認(rèn)為它是一個(gè)無限總體。一個(gè)總體對應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X，以后將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱為總體X。說明1樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量的概念一若樣本函數(shù)g

X1

,

X

2

,

,

Xn

中不含任何未知參數(shù)，則稱樣本函數(shù)g(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)為統(tǒng)計(jì)量.定義Note：1.統(tǒng)計(jì)量實(shí)質(zhì)上是特殊的樣本函數(shù).2.統(tǒng)計(jì)量中一定不能含有未知參數(shù).樣本方差：2其觀測值為:其觀測值為：樣本均值：1常用的統(tǒng)計(jì)量二樣本k階原點(diǎn)矩4其觀測值為:其觀測值為：樣本標(biāo)準(zhǔn)差3常用的統(tǒng)計(jì)量二其觀測值為:樣本k階中心矩5常用的統(tǒng)計(jì)量二本小節(jié)結(jié)束！第四章樣本及抽樣分布抽樣分布第四節(jié)定義1設(shè)總體X

~

N

0,

1

，X1,

X

2

,

,

Xn是來自X的一個(gè)樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量(1)22212nX

X

X

X

…

223Note自由度是指(1)式右端包含的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)

2分布的性質(zhì)可加性

2分布的期望和方差E(

2

)

n,

D(

2

)

2n.

2一分布~

2

n

.

2服從自由度為n的

2分布

記為定義2設(shè)X的分布函數(shù)為F

x

，對給定的

(0

1)，若有P

X

x

則稱點(diǎn)x

為

F

x

的上

分位點(diǎn).

f

x

dx

.P{X

x }

x

對于不同的α和n，上α分位點(diǎn)的值，可查閱

2分布表Note當(dāng)X有密度函數(shù)f(x)時(shí)，(2)式可寫成20.05

20

31.410.查得取

0.05，n

20例如t分布二定義1設(shè)

X

~

N

0,

1

，Y

~

2

(n)，且相互獨(dú)立，則稱定義2若對給定的

(0

1)，有P

T

t

(n)

.

f

t

dt

.P{T

t (n)}

t

(

n

)TNote隨機(jī)變量Y nXT

服從自由度為n

的t

分布.記為

T

~

t

n

.t

分布的上α分位點(diǎn)則稱點(diǎn)

t

(n)

為

t

n

分布的上

分位點(diǎn).

t(n)的上α分位點(diǎn)t

(n)

可查t分布表.t

n

1.7058.利用t

分布的對稱性，可得

t1

n

t

n

.當(dāng)n

26，

0.05時(shí)例如，且相互獨(dú)立，則稱2212

n

，V

~

(n)設(shè)

U

~

F

分布三定義1

若F～F(n1

,

n2

)，則

1/F～F(n2

,

n1

).Note服從自由度為(n1

,n2

)

的F

分布.記為

F

~

F

n1

,

n2

.隨機(jī)變量V

n2n1F

U

1

2

f

x

dx

.

(1) P{F

F

(n

,

n

)}

F

(

n1

,n2

)FF1

n1

,

n2

1

F

(n2

,

n1

).(2)利用F

分布的性質(zhì)，有：定義2若對給定的

(0

1)，有

P

F

F

(n1

,

n2

)

.則稱點(diǎn)F

(n1

,

n2

)

為

F

n1

,

n2

分布的上

分位點(diǎn).NoteF(n1

,n2

)的上α分位點(diǎn)F

(n1

,

n2

)

可查F分布表當(dāng)n1

10,

n2

30,

0.05時(shí)，F(xiàn)

n1

,

n2

2.16.例如正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布四定理1設(shè)總體

X

~

N

,

2

，X

,

X,,

X

是來自總體

X的樣本，則X

12

3n定理2設(shè)總體

X

~

N

,

2

，X

,

X,

,

X是來自總體

X的樣本，有X

12

3nX

~

N

n

2

(1)

,

X