新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)全書要點速記教師用書新人教A版必修第二冊

第六章平面對量及其應(yīng)用1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是隨意的．(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算運算法則(或幾何意義)運算律加法(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.【重要結(jié)論】(1)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1．(2)對于隨意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.4．平面對量基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．5．平面對量的坐標(biāo)運算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2(3)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0．6．平面對量的數(shù)量積(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].(2)數(shù)量積的定義、性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|·cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a|a|＝x夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系axx【易錯警示】(1)兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；(2)兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．(3)投影向量：設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cosθbb＝a(4)平面對量數(shù)量積的運算律①交換律：a·b＝b·a；②數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③支配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【拓展】極化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]7．正弦、余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA＝bsinBa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，R為△ABC的外接圓半徑cosA＝b2cosB＝c2cosC＝a8．三角形面積公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bc第七章復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的概念(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a22．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)平面對量OZ＝(a，b)．3．復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：z1z2＝a+bic+di＝第八章立體幾何初步1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；②棱錐的底面是隨意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形；③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相像多邊形．(2)特別的四棱柱四棱柱直平行六面體正四棱柱(3)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任始終角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄局匾Y(jié)論】依據(jù)斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝24S3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋SS)球S＝4πR2V＝43πR【拓展】求空間幾何體的體積的常用方法：公式法、割補(bǔ)法、等體積法．5．4個基本領(lǐng)實基本領(lǐng)實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．基本領(lǐng)實2假如一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本領(lǐng)實3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本領(lǐng)實4平行于同一條直線的兩條直線平行．推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．6．空間點、線、面的位置關(guān)系(1)空間兩條直線的三種位置關(guān)系共面直線(2)定理：假如空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．(3)線面、面面平行(垂直)的判定與性質(zhì)定理關(guān)系判定定理性質(zhì)定理直線與平面平行假如平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行一條直線與一個平面平行，假如過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行平面與平面平行假如一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行兩個平面平行，假如另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行直線與平面垂直假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直垂直于同一個平面的兩條直線平行平面與平面垂直假如一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直兩個平面垂直，假如一個平面內(nèi)有始終線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直【必記結(jié)論】三種關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化(4)三種角的定義及范圍類別定義范圍異面直線所成的角設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(0°，90°]直線和平面所成的角一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角[0°，90°]二面角從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角[0°，180°]第九章統(tǒng)計1．普查與抽樣調(diào)查(1)全面調(diào)查(普查)：對每一個調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查．①總體：調(diào)查對象的全體．②個體：組成總體的每一個調(diào)查對象．(2)抽樣調(diào)查：依據(jù)確定目的，從總體中抽取一部分個體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的狀況作出估計和推斷的調(diào)查方法．①樣本：從總體中抽取的那部分個體．②樣本量：樣本中包含的個體數(shù)．2．簡潔隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本．假如抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡潔隨機(jī)抽樣；假如抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡潔隨機(jī)抽樣．放回簡潔隨機(jī)抽樣和不放回簡潔隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡潔隨機(jī)抽樣，通過簡潔隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡潔隨機(jī)樣本．(2)方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．3．分層隨機(jī)抽樣(1)一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進(jìn)行簡潔隨機(jī)抽樣，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層．在分層隨機(jī)抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的支配方式為比例支配．(2)假如總體分為2層，兩層包含的個體數(shù)分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數(shù)分別為x，y，兩層的總體平均數(shù)分別為X，Y，總體平均數(shù)為W，樣本平均數(shù)為w，則w＝mm4．作頻率分布直方圖的步驟5．總體百分位數(shù)的估計(1)百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)四分位數(shù)①25%，50%，75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．②第25百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)；第75百分位數(shù)又稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．6．總體集中趨勢的估計名稱概念平均數(shù)假如有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么1n(x1＋x2＋…＋xn)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用x表示，即x＝1n(x1＋x2＋…＋x中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)7．總體離散程度的估計假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個數(shù)的(1)方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2(2)標(biāo)準(zhǔn)差s＝1n8．分層隨機(jī)抽樣的均值與方差分層隨機(jī)抽樣中，假如樣本量是按比例支配，記總的樣本平均數(shù)為w，樣本方差為s2．以分兩層抽樣的狀況為例．假設(shè)第一層有m個數(shù)分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s12；其次層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為s22.則s2＝1m其中【重要結(jié)論】(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2．①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2．第十章概率1．樣本空間與樣本點(1)樣本點：隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示；(2)樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間；稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)與不行能事務(wù)(1)隨機(jī)事務(wù)：樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事務(wù)，簡稱事務(wù)，隨機(jī)事務(wù)一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事務(wù)A發(fā)生．(2)隨機(jī)事務(wù)的特別情形：必定事務(wù)Ω(含有全部樣本點)、不行能事務(wù)?(不含任何樣本點)、基本領(lǐng)件(只包含一個樣本點)．3．兩個事務(wù)的關(guān)系和運算事務(wù)的關(guān)系或運算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事務(wù)(和事務(wù))A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事務(wù)(積事務(wù))A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω4．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)會漸漸穩(wěn)定于事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這特性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．5．古典概型(1)古典概型試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．(2)古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事務(wù)A包含其中的k個樣本點，則定義事務(wù)A的概率P(A)＝kn＝n6．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5假如A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．7．相互獨立事務(wù)(1)概念：對隨意兩個事務(wù)A與B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立，簡稱獨立．(2)性質(zhì)：假如事務(wù)A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與模塊綜合測評(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．復(fù)數(shù)21A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[化簡可得z＝21-i＝21+i12．(2024·湖南長沙試驗中學(xué)期末)“治國之道，富民為始．”共同富有是社會主義的本質(zhì)要求，是中國式現(xiàn)代化的重要特征，是人民群眾的共同期盼．共同富有是全體人民通過辛勤勞動和相互幫助最終達(dá)到豐衣足食的生活水平，是消退兩極分化和貧困基礎(chǔ)上的普遍富有．請你運用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)問加以分析，下列關(guān)于個人收入的統(tǒng)計量中，最能體現(xiàn)共同富有要求的是()A．平均數(shù)小，方差大 B．平均數(shù)小，方差小C．平均數(shù)大，方差大 D．平均數(shù)大，方差小D[方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動狀況，方差越大說明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，平均數(shù)是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫，所以最能體現(xiàn)共同富有要求的是平均數(shù)大，方差?。蔬xD.]3．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若m∥α，m⊥n，則n⊥αB．若m∥α，β⊥α，則m∥βC．若m∥α，n⊥α，則m⊥nD．若m∥α，m⊥β，則α∥βC[若m∥α，不妨設(shè)m在α內(nèi)的投影為m′，則m∥m′，對于選項A：若m∥α，m⊥n，則n⊥m′，結(jié)合線面垂直判定定理可知，n不愿定垂直α，故A錯誤；對于選項B：若m∥α，β⊥α，此時m與β可能相交、平行或m在β上，故B錯誤；對于選項C：若m∥α，n⊥α，則n⊥m′，從而m⊥n，故C正確；對于選項D：若m∥α，m⊥β，則m′⊥β，結(jié)合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D錯誤．故選C.]4．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，則()A．a(chǎn)＝3＋1B．A＝15°C．C＝45°D．△ABC為鈍角三角形D[由正弦定理，212＝2sinC有sinC＝22，因為C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有兩解，故ABC均錯誤，當(dāng)C＝45°時，A5．據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級．若給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為()A．15B．25C．4C[由題知，基本領(lǐng)件的總數(shù)有25種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、候、公，共5種情形，故所求事務(wù)的概率為1－525＝2025＝6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，G為EF的中點，則A．12ADC．34ADB[DG＝1＝12(DA+＝12(－AD+＝12故選B.]7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．32B．155C．10C[如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D，∵BC1＝2，BD＝22+1-2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5，易得C1D28．(2024·吉林期末)體積相等的球、正四面體和正方體，則它們的表面積的大小關(guān)系為()A．S球<S正四面體<S正方體B．S球<S正方體<S正四面體C．S正四面體<S球<S正方體D．S正方體<S球<S正四面體B[設(shè)球、正四面體和正方體的體積都為V，若球的半徑為R，則V＝43πR3，可得其表面積為S1＝4πR2＝336πV2.若正四面體的棱長為m，則V＝13·34m2·63m＝212m3，可得m＝362V，所以其表面積為S若正方體的棱長為a，可得V＝a3，所以正方體的表面積為S3＝6a2＝63V2＝3216V2，可得S1<S3<S2，即S球<S二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)9．為比較甲，乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項實力指標(biāo)值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維實力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下列說法正確的是()A．甲的邏輯推理指標(biāo)高于乙的邏輯推理指標(biāo)值B．甲的數(shù)學(xué)建模指標(biāo)值高于乙的直觀想象指標(biāo)值C．甲的數(shù)學(xué)運算指標(biāo)值高于甲的直觀想象指標(biāo)值D．甲的六維實力整體水平低于乙的六維實力整體水平AD[對于A選項，甲的邏輯推理實力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理實力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理實力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理實力指標(biāo)值，故選項A正確；對于B選項，甲的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)建模實力指標(biāo)值低于乙的直觀想象實力指標(biāo)值，故選項B錯誤；對于C選項，甲的數(shù)學(xué)運算實力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象實力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運算實力指標(biāo)值低于甲的直觀想象實力指標(biāo)值，所以選項C錯誤.對于D選項，甲的六維實力指標(biāo)值的平均值為4+3+4+5+10．已知復(fù)數(shù)z滿意i-1A．z＝2B．z的虛部為－iC．z的共軛復(fù)數(shù)為z＝－1＋iD．z是方程x2－2x＋2＝0的一個根AD[因為(i－1)z＝2i，所以z＝2ii-對于A，z＝12+-對于B，z的虛部為－1，故選項B錯誤；對于C，z的共軛復(fù)數(shù)為z＝1＋i，故選項C錯誤；對于D，因為方程x2－2x＋2＝0的根為2±8-4i2＝1±i，所以z11．口袋里裝有2紅，2白共4個形態(tài)相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事務(wù)A＝“取出的兩球同色”，B＝“第一次取出的是紅球”，C＝“其次次取出的是紅球”，D＝“取出的兩球不同色”，下列推斷中正確的()A．A與B相互獨立 B．A與D互為對立C．B與C互斥 D．B與D相互獨立ABD[盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，共4×3＝12個基本領(lǐng)件，事務(wù)A共有4個基本領(lǐng)件，事務(wù)B共6個基本領(lǐng)件，事務(wù)C共6個基本領(lǐng)件，事務(wù)D共8個基本領(lǐng)件，由題可得P(A)＝412＝13，P(B)＝612＝12，P(D)＝812＝23，P(AB)＝212＝16，P(BD)＝412＝13，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A與對于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時發(fā)生，故C錯誤．故選ABD.]12．已知正三棱臺的上底面邊長為6，下底面邊長為12，側(cè)棱長為6，則()A．棱臺的高為23B．棱臺的表面積為1263C．棱臺的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為3D．棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為2BD[在正三棱臺ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由點A1向AB作垂線，垂足為D，取線段BC的中點E，連接AE，在平面AEA1中，由點A1向AE作垂線，垂足為F，連接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，則AD＝12-62＝3，A1D＝62-32＝33，所以棱臺的表面積為3×12(6＋12)×33+34×62＋34×122＝1263，故選項B正確；又三棱臺為正三棱臺，所以A1F為正三棱臺ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝ADcosπ6＝332＝23棱臺的側(cè)棱與底面所成角為∠A1AE，cos∠A1AE＝AFAA1＝2棱臺的側(cè)面與底面所成二面角為∠A1DF，sin∠A1DF＝A1FA1D三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在一次校內(nèi)歌手大賽中，6位評委對某選手的評分分別為92，93，88，99，89，95．則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是________．95[依題意，先將上述6個分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整為第5個數(shù)，即95．]14．已知甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，假如甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，則a的最大值是________．0.79[∵甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]15．如圖，水平桌面上放置一個裝有水的圓柱形玻璃水杯，AB為杯底直徑，現(xiàn)以點B為支點將水杯傾斜，使AB所在直線與桌面所成的角為π125π12[如圖所示，由題意可知：∠ABC＝母線與水平面所成角為：∠EDB＝∠DBF＝π2-π16．一個大型噴水池的中心有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)60m到達(dá)點B，在點B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m．30[如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝3h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，∴3h2＝h2＋602－2×60×h×即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．∴水柱的高度是30m．]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2024·浙江臺州期末)設(shè)i為虛數(shù)單位，a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋a2-1i，z①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的點在第一象限的角平分線上．(1)求實數(shù)a的值；(2)若z1z2＋b(b∈R)注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．[解](1)若選①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±3.若選②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i?2a2=6a若選③：由2＝a2－1得a＝±3.(2)z1z2＋b＝2+2i1-2i＋b＝－25＋b＋618．(本小題滿分12分)(2024·山東濟(jì)南期末)已知某校高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為180，120，120．現(xiàn)接受樣本按比例支配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)去敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從該7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院衛(wèi)生打掃工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②記事務(wù)M＝“抽取的兩名同學(xué)中至少有一名來自高一年級”，求P(M).[解](1)由題意知，高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，又接受樣本量按比例支配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)．故應(yīng)從高一、高二、高三三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①由題意知，全部可能的抽取結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(C，G)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(D，G)，(E，F(xiàn))，(E，G)，(F，G)．②不妨設(shè)7名同學(xué)中來自高一的3人分別為A，B，C，則M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(C，G)}，共含有15個樣本點．所以P(M)＝1521＝519．(本小題滿分12分)甲、乙、丙三臺機(jī)器是否須要照看相互之間沒有影響，已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都須要照看的概率為0.05，甲、丙都須要照看的概率為0.1，乙、丙都須要照看的概率為0.125．(1)分別求甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)須要照看的概率；(2)計算這一小時內(nèi)至少有一臺機(jī)器須要照看的概率．[解]記甲、乙、丙三臺機(jī)器在某一小時內(nèi)須要照看分別為事務(wù)A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨立．(1)由題意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)須要照看的概率分別為0.2，0.25，0.5．(2)∵A，B，C兩兩相互獨立，∴A，∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在一個小時內(nèi)都不須要照看的概率為P(ABC)＝P(A)P(B∴這一小時內(nèi)至少有一臺須要照看的概率為P＝1－P(ABC)＝1－0.320．(本小題滿分12分)(2024·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m(1)求角A的大?。?2)若D是BC的中點，AD＝1，求△ABC面積的最大值．[解](1)由m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m得(1＋cosA)b＝3asinB，由正弦定理得(1＋cosA)sinB＝3sinAsinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴1＋cosA＝3sinA，∴2sinA-π又∵A∈(0，π)，A－π6∈-π6，5π6，∴A－π(2)由AD＝12AB+AC，得到AD2＝14(AB則4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC，化簡得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤43當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，∴S△ABC＝12bcsinA≤12×即△ABC面積的最大值為3321．(本小題滿分12分)(2024·湖北孝感重點中學(xué)聯(lián)考期中)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為一般市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)建者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的相識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”學(xué)問競賽，從全部答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成果(滿分100分，成果均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成果的第80百分位數(shù)和平均數(shù)；(2)已知落在[50，60)的平均成果是56，方差是7，落在[60，70)的平均成果為65，方差是4，求兩組成果的總平均數(shù)z和總方差s2．[解](1)∵每組小矩形的面積之和為1，∴(0.00