備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題22平面向量

專題22平面對(duì)量【考點(diǎn)預(yù)料】一、向量的基本概念1、向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如（其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)）.注：談到向量必需說明其方向與大小.向量的大小，有就是向量的長度（或稱模），記作或.2、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量零向量：長度為零的向量，記為，其方向是不確定的.單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量.當(dāng)時(shí)，向量是與向量共線（平行）的單位向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因?yàn)槿魏纹叫邢蛄拷?jīng)過平移后，總可以移到同一條直線上.規(guī)定零向量與任何向量平行（共線），即.注：①數(shù)學(xué)中探討的向量都是自由向量，可以隨意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何中平行不行以重合；③，，不愿定有，因?yàn)榭赡転?二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法，已知向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，則向量叫做向量與的和（或和向量），即.向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則.如圖所示，向量=.2、向量的減法（1）相反向量.與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作.（2）向量的減法.向量與的相反向量的和叫做向量與的差或差向量，即=.向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，，則向量.3、向量的數(shù)乘（1）實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向不確定；時(shí)，方向不確定.（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.設(shè)、為隨意向量，、為隨意實(shí)數(shù)，則；；.三、平面對(duì)量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理假如，則；反之，假如且，則確定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2、平面對(duì)量基本定理假如和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底，記為.叫做向量關(guān)于基底的分解式.3、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為平面內(nèi)一點(diǎn).四、平面對(duì)量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面對(duì)量的坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面對(duì)量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（）.(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量（）向量點(diǎn)（）.（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.若=（），為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（4）設(shè)A，B，則=， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).五、向量的平行設(shè)，.的充要條件是.除了坐標(biāo)表示外，下面兩種表達(dá)也常常運(yùn)用：當(dāng)時(shí)，可表示為；當(dāng)時(shí)，可表示為，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.六、平面對(duì)量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量和，作＝，＝，叫作向量與的夾角．記作，并規(guī)定.假如與的夾角是，就稱與垂直，記為.(2)叫作與的數(shù)量積，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是=0.兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是.七、平面對(duì)量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度||與在方向上的射影||cosθ的乘積．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面對(duì)量數(shù)量積滿意的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）為實(shí)數(shù)）；（3）（支配律）。數(shù)量積運(yùn)算法則滿意交換律、支配律，但不滿意結(jié)合律，不行約分.九、平面對(duì)量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量由此得到（1）若；（2）設(shè)兩點(diǎn)間距離（3）設(shè)的夾角，則【典例例題】例1．（2024·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)料）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不愿定是共線向量C．對(duì)于隨意向量，必有D．若滿意且與同向，則【答案】C【解析】依題意，對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不愿定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，依據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于隨意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.例2．（2024·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，是上靠近的四等分點(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭巧峡拷乃牡确贮c(diǎn)，是上靠近的四等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：C.例3．（2024秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）已知向量，若與共線，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】因?yàn)榕c共線，所以．故選:A．例4．（2024秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）如圖所示的矩形中，滿意，為的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】連接，由題可知，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：A.例5．（2024秋·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在矩形中,,點(diǎn)滿意,則（

）A． B．14 C． D．【答案】A【解析】解:由題不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn),方向分別為軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則所以,,因?yàn)樵O(shè),所以,解得,所以,所以.故選:A例6．（2024·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面對(duì)量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.例7．（2024秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，解得，所以，故選：C例8．（2024秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以所以向量與的夾角為故選：C例9．（2024春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）已知向量的夾角的余弦值為，，，則（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】C【解析】由題意不妨設(shè)，，則，，由，可得，即，又由，解得，所以.故選：C.例10．（2024秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以，故，則，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接，與交于點(diǎn)，若，則的值為______.【答案】【解析】在中，不共線，因?yàn)椋瑒t有，又三點(diǎn)共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：例12．（2024秋·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，，則___________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，因?yàn)?，所以有，故答案為：?3．（2024秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，向量滿意則__________【答案】0【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，設(shè)，，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，設(shè)，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得.故選：D.2．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）在中，，，若點(diǎn)M滿意，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：.故選：A.3．（2024秋·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知向量，且與相互平行，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵向量，，∴，，∵與相互平行，∴，解得．故選：C．4．（2024秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中,,,點(diǎn)在線段上,且,設(shè),,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,，畫出示意圖如下:因?yàn)?,,所以.故選:C5．（2024秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)校考期末）已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】由，得，解得.故選：A.6．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，則，無解，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，又∵A是公共點(diǎn)，∴A，B，D三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，若A，C，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，又，所以，無解，所以A，C，D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若B，C，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，又，，所以，無解，所以B，C，D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤；故選：B.7．（2024春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且，．故選：A．8．（2024春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平行四邊形中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，解得，即.故選：C.9．（2024春·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量．若，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】解析：依據(jù)題意，向量，則，則．若，則有，兩邊平方得到，再平方得到，解得．故選：．10．（2024秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，，由與平行，有，解得.故選：B11．（2024秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┮阎矫鎸?duì)量，且，則（）A． B．（0，0）C． D．（1，2）【答案】B【解析】由于，所以，所以.故選：B12．（2024秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】依題意，，由，則，所以.故選：D.13．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知向量，的夾角為，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】向量在向量方向上的投影為，，，則向量在向量方向上的投影為，故選：D.14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，則向量在向量方向上的投影是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】向量在向量方向上的投影是.故選：B15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，下列正確的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，，因?yàn)?，所以不平行，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以不垂直，B錯(cuò)，因?yàn)榉较蛏系耐队盀?，C對(duì)，因?yàn)?，所以不垂直，D錯(cuò)，故選：C.16．（2024春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知向量，滿意，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，則，，.故選：C.17．（2024春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿意，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，兩邊平方得，所以.故選：A18．（2024·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】．故答案為：A.19．（2024春·浙江·高三開學(xué)考試）若向量滿意，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，得，又，所?故選：A．20．（2024春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知兩個(gè)單位向量滿意，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，故選：.21．（2024·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)料）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點(diǎn),是上靠近的三等分點(diǎn),若,則（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【解析】解:由題知,所以,記,因?yàn)榍覟槠叫兴倪呅?所以,解得:(舍)或.故選:A22．（2024秋·山東煙臺(tái)·高三山東省煙臺(tái)第一中學(xué)校考期末）若平面對(duì)量與的夾角為，，，則等于（

）．A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因?yàn)槠矫鎸?duì)量與的夾角為，，，所以，，所以.故選：B.23．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設(shè)向量，滿意，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，以上兩式相減可得，，所以，即，故選：D.24．（2024春·河南洛陽·高三洛陽市第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量，，，若，則（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)?，所以，可得，故選：D．25．（2024秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【解析】由已知，又，，或（舍去，）故選：A.二、多選題26．（2024秋·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列描述錯(cuò)誤的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，確定同向【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實(shí)數(shù)，使得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線長，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則，同向或反向，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上所述：選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，故選：ACD.27．（2024秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】由，得，即，解得或，則A錯(cuò)誤，B正確；由，得，解得，則C，D正確．故選：BCD.三、填空題28．（2024秋·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)校考期末）若，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為.故答案為：.29．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量、滿意，且，若為在方向上的投影向量，并滿意，則________．【答案】【解析】因?yàn)闉樵诜较蛏系耐队跋蛄?，，所以，又，且，所?故答案為；.30．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】點(diǎn)，，則，所以的坐標(biāo)是.故答案為：31．（2024春·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___________．【答案】【解析】向量，，則，而，則有，解得，所以實(shí)數(shù).故答案為：32．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知向量，若，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得故答案為?3．（2024秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知正方形的邊長為，邊，的中點(diǎn)分別為，，則________．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，，方向分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，∴，∴.故答案為：.34．（2024秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則______．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，則，而，又，，三點(diǎn)共線，則有，因此，解得，所以.故答案為：35．（2024秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則t的值為______．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，，又因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：.36．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量，，且，則x的值為______．【答案】6【解析】因?yàn)?，，且，所以，?故答案為：6.37．（2024秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知向量,,則向量在向量方向上的投影是______．【答案】【解析】解:由題知,,在向量方向上的投影為:.故答案為:-138．（2024秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）已知，且，則在上的投影向量為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，且，則在上的投影向量為，故答案為：.39．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量、、滿意，，，且，則______．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?、、滿意，，，且，則有，所以.故答案為：40．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在中，已知，，，則的值為______．【答案】【解析】，又，，.故答案為：．41．（2024秋·山東東營·高三東營市第一中學(xué)校考期末）已知非零向量滿意，，，則的夾角為_____________．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為θ.由已知可得，，所以，所以.又，所以，所以，.則，又，所以.又，所以，所以的夾角為.故答案為：.42．（2024秋·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）在中，分別為的中點(diǎn)，則__________.【答案】－4【解析】由已知，，．故答案為：．43．（2024·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預(yù)料）已知向量與的夾角是，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】由已知，，，又，故答案為：44．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)料）已知向量滿意，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的向量的坐標(biāo)______.【答案】（答案不唯一）【解析】依據(jù)題意，向量，且，則有，即，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：（答案不唯一）45．（2024春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試