高中數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題

高中數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題

v—3

1.設(shè)全集l={(x,y)|x,y€R},集合M=〈(x,)，)」；=1,N={(x,y)|y*x+l},那么GMCGN等于

x-2

()

A.。B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+l)

2.函數(shù)/(x)=log|(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

A.(-OO,-1)B.(-oo,1)c.(1,+oo)D.(3,+co)

3.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，若人=僅|4140},B={X|IOA2-2=IOX},則AC看是()

A.{2}B.{-1}C.{x|x<2}D.。

4.集合A,B的并集AUB={j,a2,a2},當(dāng)A力B時(shí)，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣

的(A,B)對的個(gè)數(shù)有()

A.8B.9C.26D.27

5.若非空集事A={x|2a+lwx<3a-5},B={x13?xw22},則能使AqAnB成立的所有Q的集合是

()

A.{a11<a<9}B.{a|6<a<9}C.{a|a<9}D.

xY

6,函數(shù)/(為二丁/一不()

1-22

A,是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

C.既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)

7.設(shè)/(x)是一個(gè)函數(shù)，使得對所有整數(shù)x和y，都有f(x+y)=/(x)+/(y)+6xy+l和/(-x)=/(x)

貝1J/(3)=-------------------------------

8.如果在區(qū)間[1,2]上，函數(shù)/(x)=x2+px+q(p€[-4,-2])與g(x)=x+二在同一點(diǎn)取相同的最

x

小值,那么/(X)在該區(qū)間上的最大值是-----------------------

9.一次函數(shù)/(x)=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(10,13),西x軸的交點(diǎn)為(p,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,

q),金P是質(zhì)數(shù)，q是正整數(shù)，則滿足條件所有一次函數(shù)為.

10.已知/(x)=sinx+cos(x+t)為偶函數(shù)，且t滿足不等式t2-3t-40<0,則t的值為.

H.設(shè)乂={1,2,1995),A是M的子集且滿足條件：當(dāng)x€A時(shí)，19x星A,是A中元素的個(gè)

數(shù)最多是.

12.已知/*)的定義在R上的函數(shù)，/⑴=1且對任意x€R都有/(x+5)>/(x)+5

/(x+l)</(x)+l若g(x)=/(x)+l-x,貝iJg(2002)=.

1,13

13.若函數(shù)/(幻=-2/+耳在區(qū)間[。，b]上的最小值為2a,最大值為2b,求[a,b],

14.設(shè)a€R,求函數(shù)/(x)=2a4—L在區(qū)間(0J上的最大值.

X

15.設(shè)函數(shù)/(x)=ax2+8x+3(a<0),對于給定的負(fù)數(shù)0,有一個(gè)最大的正數(shù)/(a),使得在整個(gè)區(qū)

間[0,/(a)]上,不等式|/(x)|V5都成立.

問：。為何值時(shí)/(。)最大？求出這個(gè)最大的/(。).證明你的結(jié)論.

16.設(shè)xe[-1,1]時(shí)，恒有|ax2+bx+c|vl,求證：當(dāng)x€[-l,1]時(shí),WIcx2±bx+a|<2.

17.設(shè)y=/(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)，且滿足條件：①/(—1)=/(1)=0；②對任意的u,

VG[-1,1],都有|/(w)-/(v)|<|u-v|.

(1)證明：對任意的x€[JH，都有x-14/(x)wl-x

(2)證明:對任意的u,v€[-l,l],都有I/⑺一/⑺I<1；

(3)在區(qū)間[11]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=/(x),使得

I/(M)-/(V)1<1〃-VI,當(dāng)〃,ue[0,^],

若12

I/(M)-/(V)1=1M-Vl,^H,Ve[y,l].

存在，請舉一例；若不存在，請說明理由。

18.設(shè)An={l,2,n},證明或否定下列命題對所有正整數(shù)n》2,存在函數(shù)f:An-An和g:An

fA。，滿足條件：

JWk))=g(g(k>=k,k=l,2,n,

g(f(k))=k+l,k=l,2,n-1.

19.A),A2,A30是集合{1,2,2003}的子集,且|AJ>660,i=l,2,30.證明:存在

i.j€{1,2,TO},i-j,使得14nAi>203.

20.函數(shù)/(x)對一切x>0有定義且取正值，又當(dāng)a,b,c為三角形三邊時(shí)，f(a),f(b),/(c)仍

可構(gòu)成三角形的三邊長.證明：存在正數(shù)A和B,使得對一切x>0,都有f(x)wAx+B.

21.若人是$={1,2,n}的一k元子集，171為正整數(shù),滿足條件2。-1)(。；+1),則存在S中的元

素L,…Jm,使得：

4={x+，jIxeA},j=l,…，m中任意兩個(gè)的交集為空集.

22O數(shù)集M由2003個(gè)不同的實(shí)數(shù)組成，對于M中任何兩個(gè)不同的元素a和b,數(shù)a?+匕痣都是有

理數(shù)。證明：對于數(shù)集M的任何一個(gè)數(shù)都是有理數(shù)。

23.稱有限集S的所有元素的乘積為的“積數(shù)”。給定數(shù)集M=］；，g，…，*｝。求數(shù)集M的所有含

偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和。

24.設(shè)集合S“=｛1,2,…,n｝。如果X是Sn的子集，把X中的所有數(shù)的和稱為的容量(規(guī)定空集的

容量為0)。如果X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集。

(1)。求證：鼠的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等。

(2)。求證：當(dāng)〃23時(shí)，鼠的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等。

(3)。當(dāng)〃23時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量之和。

25求y=(3x-1)J9——6x+5+1)+(2x—3)?(，4米―12x+13+1)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

26.設(shè)。>0"。)=竺上，討論函數(shù)r岡在(0,8)上的單調(diào)性，最小值，最大值。

X

27.設(shè)二次函數(shù)/(x)=+/+。(a,6,ceK0)滿足條件：

(1)當(dāng)xeR時(shí)，fl/(x-4)=/(2-x),/(x)>0o

v-21

(2)當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/(x)V((-)2。

(3)在R上的最小值為0o

求最大的使得存在feR,只要xe［l,機(jī)］,就有

/(x+f)vx

28.設(shè)f為R+fR+的函數(shù)，對任意的正實(shí)數(shù)x"(3x)=3/(x),且/(x)=l—|x—2|,l《xw3求最

小的實(shí)數(shù)x,使得=f(2004).

+kx2+1

29.k是實(shí)數(shù)，=一，對任意三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,存在一個(gè)以為f(a),f(b),f(c)三邊長

x+x2+1

的三角形，求k的取值范圍。

30.設(shè)N是非負(fù)整數(shù)集，/：NfN是一個(gè)函數(shù)，使得對任意〃eN,都有

(/(2n+l))2-(/(2n))2=6/(")+1/(2〃)>/(?)

問：于(N)中有多少個(gè)元素小于2003?

31.已知二次函數(shù)f(x)=爐+ox+b(a,b€R)

(1)?若方程/(x)=0無實(shí)根，求證：b>0.

(2).若方程/(x)=0有兩實(shí)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個(gè)整數(shù)，求證：/(-a)=-(a2-l)

40

(3)。若耀/(x)=0有兩個(gè)非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)根都在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間，求證：存在整數(shù)k,

使得|/(左)K；成立。

(4)o若第/(x)=0有兩個(gè)非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)根在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間，請你探求當(dāng)ab滿足

什么條件時(shí)，一定存在整數(shù)k,使得成立。

32.設(shè)〃6N,〃sinl>5cosl+1,則n的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

33.M.N在RtZ\ABC的斜邊AB上，兇”"那么M,N兩點(diǎn)分別到兩直角邊的距離

MB4NB2

之和與△ABC的周長之比的最大可能值是()

.10+4后D10-473_16_21

5555

34.如果函數(shù)/(x)=sin"xsinnx+cos"cosnx-cos"2x,對任意xwR都使f(x)為常數(shù)，則正整

數(shù)n應(yīng)為()

A.1B?3C。3或1D。不存在

35.關(guān)于x的方程2cos2(22A/)=。+石sin(22*f*)至少有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)Q取值范圍是

()

A.(-1,2)B.(-1,2)Co[-1,2]Do[-1,2]

21

36.設(shè)/(%)=冗-7a,(7=arcsin-,p=arctan,y=arccos(-^),6=j),那么

B./(a)可⑻>/(￡)>J。)

C./(^)>/(?)>/(/?)>/(7)

37.銳角滿足則。=$布。-〃)與匕=$皿。一$泣尸的大小關(guān)系是

A.a>bB.xbC.a=bD不確定

38.函數(shù)y=21^5畝“一()+20^110+()的定義域是,值域是.

39.函數(shù)y=arccot(2sin：l)的值域是___________.

sinx+3

40.函數(shù)/(x)的定義域是(-與,=),則g(x)=/(J°sx)的定義域是

332+sinx

a—2cosxJr

41.函數(shù)/(x)=--------;---------在(0,彳)上是增函數(shù)，則。的范圍是_________1

3sinx2

2sinx-cos2x+3

42.三角式的范圍是.

4sin2Jt+2

,皿sin3xsin3x+cos3xcos3x..

43.函數(shù)y=-----------------------------------+sin2x的值域是.

44.如果xe[0,9，求〉=cos2xsii?x的最大值。

45.已知a,，G(0,5),求y=(J^sina-3tan/7)2+(遙cosa-3cot/?)2的最小值。

46.設(shè)〃GN+,y=COS2"95由8與》=5山2"%052。的最大值。

47.R上的奇函數(shù)/(x)在[0,+8)上是遞增的，且/(cos28—3)+/(4加一26cos8)>0恒成立，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍。

48.AABC的內(nèi)角滿足acos?A+沙sinA=1,acos2B+bsinB=1,acos2C+bsinC=l,試判定△

ABC的形狀.

49.平面上四邊形ABCD中，AB=A/3,AD=CD=BC=1,4ABD和4BCD的面積分別為S、T,求

S2+T2的最大值和最小值.

50.體積為V的圓錐體中，求側(cè)面積的最小值.

一、c-兀——2cosxsinx

51.設(shè)0〈xv—,求證：-----<-----.

21+coxx

j[JI

52.已知x,y,ze(0,—),x+y+z=—,求tanxtanytanz的最大值.

22

+

53.a:eR(i=1,2,3,4),Z-------=1,求為。2a3a4的最小值?

，=i1+aI

lx+x2y=y,

54.求方程組,2)，+Vz=z，的實(shí)數(shù)解.

2Z+Z2X=X

55/4^ZtankO?tan(k+1)6(。*k7i,kGZ).

k=\

4q1

56.過銳角4ABC的重心G作AB、BC、AC的垂線，垂足為M、N、P.求證:------<s---------------0-

27V4

//°AABC,

57.P是aABC的內(nèi)心，Rsr分別為aABC外接圓和內(nèi)切圓半徑.

求證：6r<PA+PB+PC<3R.

58.P是AABC的垂心，以BC、AC、AB為直徑向外作三個(gè)半圓，分別與高AD、BE、CF延長線交

ADBECF

于G、H、L.求證:------------------------>71.

DGEHFL

59.P在AABC內(nèi)，求證：acosA+bcosB+cosC<PA-sinA+PB-sinB+PC-sinC.

60.P在AABC內(nèi)，AP、BP、CP與對邊分別交于L、M、N.求證：

>q(6。=。,4。=/?,46=。.,54表示4人80的面積，R為其外接圓半徑).

61.設(shè)%%,%,優(yōu)eR+,仇+%+%+%="，求:

2222

(2sin4+(2sin02+—^~)(2sin&+(2sin。的

sin_sm"%'sw3ysnr2

最小值.

62.求證：sinn2x+(sinnx-cosnx)2Vl.

63.條錐V—ABC的三條棱VA、VB、VC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角大小分別為a、

B、y.求證：cosacos/?cosy(——\—i------—+―\—)》g.

cos-acos-pcosy

64.設(shè)a、b、c為AABC的三條邊，awbwc,R和r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑.令

f=a+b-2R-2r,試用C的大小來判定f的符號.

65.給定a,41<a<2,內(nèi)接于單位圓F的凸四邊形ABCD適合下列條件：

(i)圓心在這凸四邊形內(nèi)部；

(ii)最大邊長是。，最小邊長是J4-a?.

過點(diǎn)A、B、C、D依次作圓「的4條切線LA、LB、LC、LD.已知LA與LB.LB與[、1與LDSLD

s.

與LA分別交于A'、C\O'.求面積之比V的最大值與最小值.

ABCD

n]

66.化簡V---------------------------------------------------k7l,kGZ)

金cos(a+k/3)cos(a+(k+1)夕)

(x2+1)cos0-x(cos-5)+3._,八

67不等式--------------；——--------------->sin61-l對任何實(shí)數(shù)x均成立，求。的取值

X--x+i

范圍.

68設(shè)x,y,zeR*,^x2+y2+z=1,試求+2xz的最大值。

69已知a+q+…+a=肛a之oa=1,2,…，“）求

2

sin24+sin2q+…+sin0n得最大值。

70、在AABC中，高AD=h,BC=a,AC=b,AB=c.若Q+h=b+c,求NBAC的取值范圍。

71.已知數(shù)列｛凡｝滿足3。向+%=4(n>l)且at=9,其前n項(xiàng)之和為Sn,則滿足不等式

|Sn-n-6|〈卷的最小整數(shù)n是

A.5B.6C.7D.8

72.設(shè)等差數(shù)列｛4｝滿足3a8=5^3,且5>0,為其前n項(xiàng)之和，貝ij(n€N+)中最大的是

A.S10B.SuC.S2oD.S2i

73.等比數(shù)列｛a“｝中,q=1536,公比q=-g,用II口表示它的前n項(xiàng)之積，貝川n(n€N+)中最大

的是

A.II9B.II”C.II|2D.II13

74.已知數(shù)列｛x,J中滿足Xn+i=Xn-Xn」(n>2).X]=CI,X2=b,記Sn=X|+X2+…+Xn，則下列結(jié)論正確的是

A.xloo=-a,S10o=2b-aB.x)00=-b,Sl00=2b-a

C.X|00=-b,S|oo-b-aD.X|(x)--o,Sioo-b-o

75.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)之和記為Sn,若%=10,S30=70,則%等于

A.150B.-200C.150或-200D.400或-50

+

76.給定公比為q(q*l,q€R)的等比數(shù)列｛a“｝,設(shè)b1=a)+a2+a3,b2=a4+asa6,…，

6=。3?2+。3的+。32…，則數(shù)列｛"｝

A.是等差數(shù)列B.是公比為q的等比數(shù)列

C.是公比為q3的等比數(shù)列D.既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列

77.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3,且各項(xiàng)為972,則這樣的數(shù)列共有

±-

.78.設(shè)數(shù)列ch,a?…，an,…滿足5=。2=1,03=2,且對任意自然數(shù)n,都有a。??5+2-1,

又cin-an+1?an+2-an+3=an+an+1+an+2+an+3,貝ijJ+CI2+…+Joo的值是.

79.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100,這樣的數(shù)列至多

有項(xiàng).

80.等比數(shù)列a+log23,a+log43,。+嘮83的公比是.

81.設(shè)正數(shù)a。，a,,a2,???,an,…滿足My飛*k=2a*n22),且/=。尸1,則數(shù)列

｛??｝的通項(xiàng)公式是1

82.設(shè)Sn=l+2+3+…+n,nWN+,則/(〃)=——葭——的最大值是________.

(〃+32)S,,+1

83.求數(shù)列｛%｝:1,3,8,20,43,81,…的一個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式.

84.設(shè)數(shù)列⑸｝滿足為+尸a：—+n=l,2,3,

(1)當(dāng)5=2時(shí)，求a?，。3,a4,并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)ai>3時(shí)，證明對所有的n,l,有

(i)Qn>n+2;

(ii)---------1----------1-…-l-----------K-.

1+%1+a21+%2

85.數(shù)列｛x,J由下列條件確定：X|=a>0,xn+l=^(x?+—),n€N+.

2x.

(1)證明：對nm2,總有x“

(2)證明：對n>2,總有X“NX“M；

(3)若數(shù)列｛x,J的極限存在，且大于零，求limx“的值.

/J—XX)

86.已知｛““｝是由負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足5=0,c>2=3,an+)-an=(an.1+2)(an.2+2),n=3,4,5,---.

(1)求。3；

(2)證明5=%.2+2,n=3,4,5,???;

(3)求｛%｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和阻

87.在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)q,a2,an)使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入

n個(gè)正數(shù)3,b2,???,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=ae2a3…5,Bn=bI+b2+---+bn.

(1)求數(shù)列｛A,J和｛紇｝的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n>7時(shí)，比較A”與又的大小，并證明你的結(jié)論.

88.(1)設(shè)｛%｝是集合｛2，+2s|0ws<t,且s,t￡Z｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即5=3,

a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,。6=12….將數(shù)列｛%｝各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫成如右的三

角形數(shù)表：

(i)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

(ii)求。⑼；

(2)設(shè)也｝是集合｛2'+2s+2[0<r<s<t,且r,s,t€z｝中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列.已知

bk=l160,求k.

89、已知數(shù)列｛冊｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，m,n,k為自然數(shù)，求證：

(1)若m+k=2n,貝|」與+與2~4;

%4a,1

°、11112n-l,、

(2)—4Y-1------12-----12->2-z(〃〉])，

a\a2a2n-20221T

90.在數(shù)列｛a,J中，a,=10,且。卅二2瘋，求

91.在數(shù)列｛%｝中，01=1,02=2,且5+2=75+1-125,求明

92.數(shù)列｛4｝滿足。產(chǎn)1,且為+|=」〃-+?""(〃eN+),求a。.

5an+n+n

4〃一23

93.在數(shù)列｛%｝中，5=1,且————-,求ai

6〃+32〃+1

2

94.已知數(shù)列｛%｝滿足。尸1,an+1+an=-n,求

xX

95.數(shù)列｛*中，X|=3,X2=2.,瑞=:"一2I(n>3),求4.

2x“_2-龍”T

96.已知數(shù)列｛%｝,｛2｝中，ci|=p,b1=q,且

a

\%"-P"?Ti(n>2,p>r>0)

b“=qa“_i+rb,i.

(1)求6;

b

(2)求lim:".

a—1___

97.在數(shù)列｛a.｝和｛%｝中，5=6=10,且<“Ta；b“'(n=l,2,-?-),求5，bn.

A.+i=?,X-

98.已知dpi,nan+l=(n+2)an+n,求

99.數(shù)列｛2｝滿足：a1=l,an+1=an+—,n€N+,求。必的整數(shù)部分.

a

n

n

100.3個(gè)數(shù)列，｛a,,｝,｛2｝,｛%｝存在下列關(guān)系：5=1,6=(,bn=an+,-an,cn=bn+l-bn=3-'-np

(n=1,2,3,…)，這里p為正常數(shù).

(1)求備；

(2)證明：若酬>0,必有Ce>0；

(3)若數(shù)列｛a｝的最小項(xiàng)為求p的取值范圍.

101.兩個(gè)數(shù)列｛4｝,｛a｝滿足a】=2,b,=l,

a,=5a?+3b“+7

<cc(n=l,2,3,-)試求通項(xiàng)％和bn.

也,+1=3牝+5〃,.

102.數(shù)列｛4｝,也J滿足0<j<6,-=—+,2bn+)=an+bn(n=l,2,3,-),證明下

a“+ia”2b“2

列命題:

(1)Q2Vb2vbI；

(2)對任何正整數(shù)n,有b/de；

(3)對任意整數(shù)n>2,有bn<6.

aa

103.已知g=l,02=5,an+1="'^=t求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

收+硝+1

104.HeN*,4=0,x>0,i=1,2,…，八.且=1.求證:

1=1

<,T兀

14，_V—

J1+4+%+???+%“/%,.+…+%”2

22

105、給定正整數(shù)n和正數(shù)M,對于滿足條件<M的所有等差數(shù)列生

試求S=an+l+an+2+??-+a2n+｝的最大值

106、N個(gè)正數(shù)排成n行n列：

"11"[3,"[4,

。21，°22，〃23，"24，'',，〃2"

〃32'〃33'。34，,''，°3ft

aa

n\，見2，。"3?。"4?>"'■>?n

其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比，并且所有公比相等，已知

,13

生4=1，。42=§，見3=—，求+a22+…+見〃

107、設(shè)a,b為正數(shù)，求證：、份+1>而成立的充要條件是對任意的x>l有ax+」〉A(chǔ)

x-i

108.設(shè)實(shí)數(shù)x,,X2滿足證明：對任意實(shí)數(shù)y,,丫2均有(XM+x2y2-1)2>

（X：+/-1）（y；+y；-1）.

109.設(shè)X],x2,X3€R+且x；+%；+%；=1,求證：“互+"2+；~~、>.

1—X：1—^21—X]2

110.設(shè)x,y,z€R,且x?+y2+z2=2,求證：x+y+z<xyz+2.

…「斤「c+、?。ā?1）33+1）3（c+l）381

111.已知。，b,c>0,求證：-------1--------------1------------》—.

hca4

112.設(shè)0<°<b&c&d&e,且Q+b+c+d+e=l,求證：ad+dc+cd+be+ea<

bc

113.設(shè)ci,d>0,b,c>0,且b+c>a+d,求：---+-----的最小值.

c+da+b

2

114.設(shè)ai>a2>--->an>0(n>3),且a：+---+?^>n,al+a2+---+an=3n,求證a1+a2+a3>n.

115.設(shè)為>0(i=l,2,n),且，>；+2Z求之七的最大值與最小值.

/=1\<k<j<nVJi=l

116.求最大的正實(shí)數(shù)a,使—>a對一切實(shí)數(shù)x,y,z均成立.

7r+z2V%2+?而2+-

117.設(shè)N+是正整數(shù)集，R是實(shí)數(shù)集，S是滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f：N+-R的集合.

(1)/⑴=2

n

(2)/(n+1)>/(?)>--/(2n)(n=l,2,.?■)試求最小的正整數(shù)M,使得對任何f€S

n+1

及任何n€N+,都有/(〃)<〃.

設(shè)求證：,并確定等號成

118.a1，a2,a3>0,a)+a2+a3+3^Jata2a3>2(y]ata2+

立的條件.

119、設(shè)5=｛1,2,3,???,〃｝,A為至少含有兩項(xiàng)的、公差為正的等差數(shù)列，其項(xiàng)都在S中，且添加$

的其它元素于A后均不能構(gòu)成與A有相同公差的等差數(shù)列，求這種A的個(gè)數(shù)(兩項(xiàng)也看作等差數(shù)列).

120、數(shù)列｛2｝定義如下：%=1,=—(1+4/+Jl+24a“),求它的通項(xiàng)公式

16

。1=7。+6b—3

121、設(shè)數(shù)列｛〃“｝和｛〃｝滿足4=1,仇=0,且，"°"/(〃^""證明：/

也用=8&+7"一4

是完全平方數(shù)。

122、設(shè)數(shù)列｛?！埃x如下:

11/八n

一］)/.試求

%=0,%=1,an=-nan_}+-n(n-l)an_2+(-1)"(123

的最簡表達(dá)式。

f?=+2ca,1+3C：aa_2_*----(n—1)C"'a2+nC：4

、設(shè)％對一切自然數(shù)有求所有被整除

123=1,a=3,nan+2=(〃+3)Q,,+1-(n+2)a“，n

的風(fēng)的值。

,、,a1,

124、設(shè)數(shù)列｛見｝定義如下：%=1,?,+|=-7+--，證明：對〃>1,均為自然數(shù)。

24an

125、設(shè)數(shù)歹ij｛?！埃凉M足4=2,an=—匕一；一(〃>1),求應(yīng)。

區(qū)I+1

126、已知數(shù)列｛?！埃謩e滿足下列條件，求它的通項(xiàng)公式

⑴、q=0,%=4,an+2=2an+i-2an

⑵、％=0,%=2,。m=2a2+。的一2見

(3)、%=1,%=2,4=&a2=6%+2T2%+8Q.

(4)、%=2,%=l,a3=-13,an+i=7an+2-16tz;i+1+12%

127、已知數(shù)列｛““｝分別滿足下列條件，求它的通項(xiàng)公式

+

⑴.at=a2=l,an+2=2ai+i-a,+2",nGN

2

(2)4=1,。1=-。"+：

%-4

(3).%=1,G“=—nan_x+n\

/八3a2+4

(4).”|=—,a="

2n+l2a,,+3

,1

128、一次競賽在n輪中共發(fā)了m枚獎?wù)?第一輪發(fā)了1枚及余下的山一1枚的二，第二輪發(fā)了2枚

7

1

及余下的一，…，直至第n輪正好發(fā)了n枚而沒有余下的獎?wù)?這個(gè)競賽共包括幾輪？共發(fā)了多少枚

7

獎?wù)隆?/p>

129、把一個(gè)圓分成n個(gè)不同的扇形(n>l)，依次記為與，…,Sn，每個(gè)扇形都可以用紅、藍(lán)、白三種

顏色中的任意一種顏色涂色，要求相鄰的扇形顏色互不相同，問有多少種涂法？

130、設(shè)為常數(shù)，且見=3"T-eN+)

(1)、證明：對任意的〃N1,有

牝=1(3"-(-2)")+(-1)"?2〃&

(2)、假設(shè)對任意n》l有，求40的取值范圍

13K設(shè)｛““｝為等差數(shù)列，｛〃,｝為等比數(shù)列，且a="：,包=見‘也=。；(為<生)，又

(2+b,+…+〃,)=拒+2,試求｛Q,J的公差與首項(xiàng).

n—>+oo

132、設(shè)演.>0（4=1,2,3「一，〃），求證：￡跖+

k-\k-l

4

133、設(shè)4，見，見，。4滿足Z"：=1,求證：Z（4+?）'<6

i=\WJ44

134、Q>0,西，了2,?…，ZG[0,t/]（H>2）使

?

XiX2--Xn=（。一不）2（。一％2）2…（。一％.）2，試確定乘積X112???%”的最大值

135、設(shè)〃和左是給定的正整數(shù)（左〈〃），已知正實(shí)數(shù)%,。2,???，氏，試確定正實(shí)數(shù)

樂+1，4+2,??,，見使得和式s=2^—最小?

i^jCl.

136、已知aNZ?NcN0,xNyNzN0,求證：

^++>2

(by+cz)(bz+cy)(ox+cz)(az+ex)(ax+by)(ay+bx)4

137、已知生(i=1,2,3,…)是正數(shù)，對任意“21有之％NJi,證明：

2"+雪1+-!

1423n

138、a",CR+,且4〃，求證：

i-l,=1

n11

n(-+-)>(H+ir

a,b：

139、xt>x2>Xy>x4>2,x2+x3+x4>X,,求證：

44

(￡王)‘“4立%,

i=lj=l

〃〃-1

140、x,eR(i=2)且Z%：+2%E+I=1,對每一個(gè)固定的％(1<女<九),

/=1,=1

求kJ的最大值.

141、已知：2%,=1,七>0,（i=1,2,…，〃）證明：

/=1

n11n1_1

22（一-1尸2（〃-1）2（-—1）2

;=1七,=|￡

142、設(shè)為正整數(shù)，實(shí)數(shù)AX?,…,x_滿足,<x2<-<xn.

證明：（￡￡|x,-xj）242（n-Xj）2等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

i=lj=I3i=lj=l

X1,X2,…,X”成等差數(shù)列

143、設(shè)a=（a],a2,…,an）和b=（b「b2,…,b"）是兩個(gè)不成比例的實(shí)數(shù)序列，又設(shè)

x=(x”X2,…,x”)是使￡ajXj=0,才設(shè)］=1,成立的任一實(shí)數(shù)序列，求證：

i=li=l

nAnn_n

-xj2AR-左其中A=ta；,B=Jb/,C=Yjaibi

i=lAB-Ci=ii=li=l

144、對于滿足條件=1的非負(fù)實(shí)數(shù)X1,X2,…,xn,求f（Xj4—X；）的最大值。

i=lj=l

145、設(shè)a1>a2>--->an>an+l=0,求證：Jjak4力人（向一

Vk=lk=l

146、已知0=X[<X2〈???<X2n<X2n+i=L且Xi+1-Xj<h（lwi〈n）求證：

1-h/b.，、...、/+h

、-/,X2i（X2i+l-X2i）4

Li=lZ

147.一個(gè)棱長為2的正方體S由8個(gè)單位正方體組成，我們稱S去掉一個(gè)單位正方體后的部分為一

個(gè)"角體”，T是一個(gè)由（2">個(gè)單位正方體組成的棱長為2n的正方體。證明：隨意去掉T的一個(gè)單位

正方體，余下的部分必要用“角體”拼成.

148.設(shè)n為正整數(shù)，夕為實(shí)數(shù)，證明：2cosn0可以表示為（2cos。）的首項(xiàng)系數(shù)為1的n次整

系數(shù)多項(xiàng)式的形式

149.設(shè)P（X|,x2,xn）是一個(gè)有n個(gè)變元的多項(xiàng)式，我們用+1或-1代替P中所有的變元，若

其中-1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則P的值為正；若其中-1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則P的值為負(fù).證明：P為一個(gè)至少n

次的多項(xiàng)式（即P中存在一項(xiàng)，其所在變元的次數(shù)和不小于n）.

150.n個(gè)復(fù)數(shù)Zk滿足|zM<1,k=12…，n.證明：存在e^,e2,???,e06{-1,1},使得對任意me

{1.2,-,n},均有|I42.

k=\

151.設(shè)neN,n>2,在一個(gè)(2。-1)x(2-1)的方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入+1或-1.如果任意一個(gè)方

格內(nèi)所填的數(shù)都等于與它的公共邊的那些方格中所填數(shù)的乘積，那么稱這種填寫方法是“成功”的，

求“成功”填法的總數(shù).

152.設(shè)n€N',q,a2,備為正實(shí)數(shù).證明：

153.設(shè)x,y是實(shí)數(shù)，使得x+y,x2+y2,x3+y3,x，+y4都是整數(shù).證明：對任意正整數(shù)n,數(shù)x%yn均

為整數(shù).

154.設(shè)。為無理數(shù)，n為大于1的整數(shù)，證明：

_____」_____2

(a+7a2-l)"—])"為無理數(shù).

aa.+1,-

155.設(shè)5=1,。2=2,CU尸二^——,n=2,3,….證明：對任意正整數(shù)n>3,均有

%

156.證明：對任意正整數(shù)n,均有工-----口<)=.

242ny/3n

、?]+4_+44+，一+6!~”〃+]

157.設(shè)a>0,證明：對任意neN,均有--------------1――>------.

。+/+…+產(chǎn)1〃

158.設(shè)m,neW,記Sm(n)=f[A2ML證明:$,“(〃)vn+皿收=I).其中岡表示不超過x的最

k=l

大整數(shù).

159.設(shè)n,k為正整數(shù)，現(xiàn)有nk件物口和k個(gè)盒子，每個(gè)盒子恰好能放下n件物品.已知：每件物品

被染上了某k種顏色中的一種.證明：這些物品可以放到盒子中，使得每個(gè)盒子中至多有兩種顏色的物

品.

160.設(shè)S為一個(gè)2002元集合，N為滿足04NV22。02的整數(shù).證明：可以將S的子集進(jìn)行黑白染色，

使得

(1)任意兩個(gè)白子集的并集仍然是白子集；

(2)任意兩個(gè)黑子集的并集仍然是黑子集；

(3)恰有N個(gè)白子集.

161.在某個(gè)罐里有黑、白兩種顏色的球各一個(gè)，我們另外還有50個(gè)白球和50個(gè)黑球，下面進(jìn)行50

次操作：隨機(jī)地取出一個(gè)球，然后放入罐中兩個(gè)與取出的球同色的球稱為一次操作，最后在罐中有52

個(gè)球.問：罐中最有可能有幾個(gè)白球？

162.證明：對任意正奇數(shù)都可以找到一個(gè)正整數(shù)，使得他們的乘積在十進(jìn)制表示下，各數(shù)碼均為奇

數(shù).

163.數(shù)列{4}定義如下：5=l,am=an」+a.，n=23….證明：此數(shù)列中有無窮多項(xiàng)是7的倍數(shù).

164.正整數(shù)n和實(shí)數(shù)/滿足：cos^=-,求所有的整數(shù)k,使得cosZ9為整數(shù).

n

165.給定正整數(shù)n,問：平面上最少要適當(dāng)?shù)剡x取多少個(gè)不同的點(diǎn)？才能具有如下性質(zhì)：對任意k

€{1,2，…，n},平面上總存在一條直線，它恰好通過所取的點(diǎn)聽k個(gè)點(diǎn).

166.設(shè)集合A1,A,是正整數(shù)集N'的一個(gè)r-分劃(BPAUAU-UA=N，,且對任意lvi<j