高一數(shù)學(xué)新教材人教A版2019同步教學(xué) 對數(shù)（原卷版）

對數(shù)

【題型歸納目錄】

題型一：對數(shù)的定義

題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用

題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值

題型四：積、商、塞的對數(shù)

題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題

題型六：對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

題型七：換底公式的運(yùn)用

題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式

題型九：證明常見的對數(shù)恒等式

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一、對數(shù)概念

1、對數(shù)的概念

如果”"=%卜/>0,且那么數(shù)6叫做以“為底N的對數(shù)，記作：k>g“N=〃.其中“叫做對數(shù)

的底數(shù)，N叫做真數(shù).

知識點(diǎn)詮釋：

對數(shù)式/og“N=人中各字母的取值范圍是：且N>0,bwR.

2、對數(shù)log,,N(。>0且。工1)具有下列性質(zhì)：

(1)0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即N>0；

(2)1的對數(shù)為0,即log,,1=0；

(3)底的對數(shù)等于1,即Iog"=l.

3、兩種特殊的對數(shù)

通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，lo&oN簡記作IgN.以e(e是一個(gè)無理數(shù)，e=2.7182…)

為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，log,N簡記為InN.

4、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系

由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)

系可由下圖表示.

指數(shù)式對數(shù)式

指數(shù)對數(shù)

事真數(shù)

II

b

a=NlogaN=b

底數(shù)

由此可見a,b,N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.

知識點(diǎn)二、對數(shù)的運(yùn)算法則

已知log,,M,log,,N(a>0且awl,M、N>0)

(1)正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對數(shù)的和；

log?(MN)=log,,M+log,,N

推廣：log”(MMNJ=log?N+log“M++log?Nk(乂、M、、Nk>0)

(2)兩個(gè)正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；

log“刀=log“"Tog"N

(3)正數(shù)的幕的對數(shù)等于幕的底數(shù)的對數(shù)乘以幕指數(shù)；

log,,Ma=<zlog?M

知識點(diǎn)詮釋：

(1)利用對數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時(shí)等式才

能成立.

(2)不能將和、差、積、商、暴的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、募混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)

誤的：

log,,(M土N)=log,,M±loguN,

log?(M-N)=log“M-log?N,

知識點(diǎn)三、對數(shù)公式

1、對數(shù)恒等式：

ab=N

=N

logoN=b

2、換底公式

同底對數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0,存1,的前提下有：

(1)log4M=log,,M”(〃eR)

6

令log.M=b,則有/=M,(a)"=M",即(/)"="',即b=log“.M",即：logaM=loga?M".

（2）log,,M=（c>0,c1）,令iog?M=b,則有a"=M,則有l(wèi)og""=log,.A/（c>0,cw1）

log,a

即8?log”a=log,M,即-=1°。。用,即k>g“M0,cw1）

log.,alog,,a

當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性.而且

由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：log*=」一（a>0,a#l,6>0）*l）.

log/

【典型例題】

題型一：對數(shù)的定義

2

例1.（2022?江蘇省南通中學(xué)局一階段練習(xí)）已知對數(shù)式1。&“川7工有意義，則a的取值范圍為（）

A.（-1,4）B.（-1,0）（0,4）

C.（-4.0）（0,1）D.H，l）

例2.（2022.全國?高一課時(shí)練習(xí)）使log,（2-3a）有意義的實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.。收）B.（0,1）_（1,+<?）

C.（0,|）D.（|，T

例3.（2022.江蘇南通?高一期末）使式子log-（-Y+X+6）有意義的x的取值范圍是（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.[-2,3]D.（2,3]

變式1.（2022.全國?高一課時(shí)練習(xí)）若1。&臼（1-&）有意義，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【方法技巧與總結(jié)】

對數(shù)式/og“N=人中各字母的取值范圍是：a>0且awl,N>0,bwR.

題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用

例4.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

A.lg（lglO）=lB.lg（lne）=0

C.若e=lnx,貝/e?D.ln（lgl）=0

例5.（2022.天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個(gè)結(jié)論：①lg（lgl0）=0；②ln（lge）=0；③若

10=lgx,則x=10；④若e=lnx,貝1底=缶，其中正確的是（）

A.①②B.②④

C.①③D.③④

例6.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7'=9等價(jià)的是（）.

A.log7x=9B.log9x=7C.log79=xD.log.、9=7

變式2.（2022?全國,高一課時(shí)練習(xí)）若log*必z,則（）

A.y7=B.y=x1:C.y=lxD.y=zlx

變式3.（2022.全國.高一單元測試）將"2〃=N（。＞0且axl）轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，其中錯(cuò)誤的是（）

A.b=alog“N-B.b=log（（：N.

N

C.log/N=2；D.b=log?—.

變式4.（多選題）（2022?湖南湘西?高一期末）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）

A.10。=1與lgl=0B.Iog34=2與）=3

-1]1]

1

C.27=-^log27-=--D.1嗎5=1與寧=5

【方法技巧與總結(jié)】

對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手

段.

題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值

例7.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））計(jì)算：3?+嗝3=.（可保留根式）

例8.（2022.上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）化簡3幅產(chǎn)的結(jié)果為（）

1,.1

A.xB.-C.\x\D.—

x|x|

例9.（2022?新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡：2、+砥$4=.

變式5.（2022?貴州?遵義四中高一期末）4臉有=.

【方法技巧與總結(jié)】

對數(shù)恒等式4°g"N=N中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為真數(shù).

題型四：積、商、塞的對數(shù)

例10.（2022.全國?高一專題練習(xí)）計(jì)算

*16

(1)logs8

(2)lg5-lg20+(lg2)2

例11.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）己知1。8“（與々…々必）=5,則log^xj+log"》；+…+log“x；（）2i=.

例12.（2022?湖南?平江縣第三中學(xué)高一期中）計(jì)算Iog327+lg25+lg4+log42=.

【方法技巧與總結(jié)】

利用對數(shù)恒等式、對數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡是化簡對數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把

握它們.在運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零：二要注意積、商、幕的對數(shù)運(yùn)算對應(yīng)著對

數(shù)的和、差、積得運(yùn)算.

題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題

例13.（2022?江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程.

42

⑴--2戶=3;

（2）log2（x+4）+log2（x-1）=1+log2（x+1）.

例14.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）已知演，巧是方程3（炮刈2-電爐+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求

館(中2>(1嗚W+kg./)的值.

例15.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）解方程：,31gx-2-31gx+4=0.

變式6.（2022.上海.高一單元測試）解關(guān)于x的方程:

⑴3*5=53+2+2；

2

⑵bg<x+2)(4x+5)-log(4A+5)(x+4x+4)-1=0；

變式7.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))解方程：Iog3(l-2x3')=2x+l.

【方法技巧與總結(jié)】

直接利用定義法或者換元法

題型六：對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

例16.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))計(jì)算：

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

(2)(lg5)2+31g2+21g5+lg2xlg5；

⑶(logo2『+(log63y+3log62x(^log6V18-1log()2^|.

例17.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))(I)0og37+log73『-詈￥-(陛”)。；

log73

108231

(2)log^9+ilg25+lg2-log49xlog38+2-+In.

例18.(2022?湖南?華容縣教育科學(xué)研究室高一期末)計(jì)算下列各式的值：

⑴(2|)。+2一2.|0.064*(2；,

51L

(2)-log23-(log32+logo2)+(log?3彳>+In五一1g1.

變式8.(2022?全國?高一專題練習(xí))求值21og,2-log,+log,8-5^3+(lg5)2+lg2xl50

9g

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時(shí)等式才

能成立.

（2）不能將和、差、積、商、幕的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、睡混淆起來.

題型七：換底公式的運(yùn)用

例19.（2022?全國,高一單元測試）（2log43+log83）（log32+log,2）=

例20.（2022?全國?高一專題練習(xí)）若2"=3"=加，且—1■—=2,則加=_____________.

ab

例21.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）log591og2251og34=.

+￥

變式9.（2022?全國?高一專題練習(xí)）若不,yfze/?,且3*=4=12"主/式幾〃+1）,nwN,則〃的值

是—.

變式10.（2022?上海?高一單元測試）已知若log/+k）g/=g,a"=/,則。+2力=.

變式11.（2022?吉林?撫松縣第一中學(xué)高一開學(xué)考試）若2"=3"=",則的值為___________.

ah

變式12.（2022.山東濱州.高一期末）已知2"=3"=log,64,則,+：=______.

ab

變式13.（2022?上海?高一單元測試）若Iog9（2a+A）=log3疝，則。+助的最小值為.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).

（2）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式.

（3）解決這類問題要注意隱含條件"log“a=1”的靈活運(yùn)用.

題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式

例22.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）若ln2=a,\n3=b,則1暇18=（）

a+3ba+2ba+2ba+3b

A.：—B.---------C.z—D.--------

cf3ao13a

例23.（2022?全國?高一專題練習(xí)）（1）已知log23=a,36=7,試用。力表示log^56；

49

（2）已知log32=a,log37="試用表示logzs?.

8

例24.（2022.浙江?高一期中）設(shè)lg2=“，lg3=6,把1叫18用含。，方的式子表示，形式為

變式14.（2022?上海閔行?高一期末）己知10。=3,用。表示logJO=.

變式15.（2022全國高一課時(shí)練習(xí)）已知a=1g2,b=\g3,!S!|log365=（）

2a+26\-a

A.B.

\-a2a+b

2-2a、\-a

C.--------D.---------

a+b2a+2b

變式16.（2022?浙江?玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知1og,3=a,則下列能化簡為的是（）

1+2a

A.log83B.Iogl83C.logl86D.logl23

變式17.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）己知"=1（^2,那么log’8-21og36用。表示是（）

A.5a—2B.ci-2C.3a—（l+a）~D.3a—/—I

【方法技巧與總結(jié)】

利用對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

題型九：證明常見的對數(shù)恒等式

例25.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）利用換底公式證明：log泮Jog,clog’anl.

hhm

例26.(2022?安徽?高一階段練習(xí))(1)設(shè)a>6>0,〃?>0,證明：一<——■

aa+m

(2)設(shè)a>6>l,機(jī)>0,證明：log,/<log("+M(Z>+〃?).

例27.（2022?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,b均為不等于1的正數(shù)，利用對數(shù)的換底公式，證明:

(2)log?bm=~\ogb(meR,neR〃w0).

an(lf

變式18.（2022.全國?高一單元測試）已知x,九z為正數(shù)，3，=4'=6工，2x=py.

（1）求。；

變式19.（2022?江蘇?高一單元測試）閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾1550

年-1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EWer,1707年-

1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.對數(shù)的定義：一般地，若優(yōu)=N（a>。，。*0）,則x叫做以。為

底N的對數(shù)，記作%=log,,N.比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216,對數(shù)式2=log325可以轉(zhuǎn)化為

52=25..我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

log,,MN=logaM+logaN（a>0,a^i,M>0,N>0）.

理由如下：設(shè)log“"=m,log?N=n,所以M=d",N=a",所以

MN=a'"a"=am+",由對數(shù)的定義得:m+〃=/%MN,又因?yàn)??+〃=log“M+log“N,所以

log.,MN=log?M+log（,N

解決以下問題：

（1）將指數(shù)53=125轉(zhuǎn)化為對數(shù)式:

（2）仿照上面的材料，試證明：log“x=log“M-log“N（a>0,awl,M>0,N>0）.

（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算/。&2+/。8318-/。834=

【方法技巧與總結(jié)】

利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2022?江蘇?南通一中高一階段練習(xí)）已知2"=3"=〃?且!+?=2,則，"等于（）

ab

A.V6B.6C.12D.36

2.（2022?山東?臨沂二十四中高一階段練習(xí)）1614年蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中為了簡化

計(jì)算而發(fā)明了對數(shù)方法；1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指

數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù).若5'=2,愴2憶0.301（）,則x的值約

為（）

A.0.431B.0.430C.0.429D.2.322

3.（2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知函數(shù)“X）滿足/（3'）=1幅工，則/⑼=（）

A.-1B.1C.2D.0

4.（2022?全國?高一單元測試）設(shè)Iog74=a,log73=6,plljlog4936=（）

A.-u-bB.—b+aC.—a+bD.-b—ci

2222

5.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）化簡（10862）2+豌62―10863+210863-6喻2的值為（）

A.-log62B.-log63C.logs3D.-1

（排I,則/

6.（2022.云南昆明.高一期末）已知函數(shù)”x）hf|logi3|=(

一\2力

log3x,x>0

A."B.-1C.1D.3

8

7.（2022?全國?高一單元測試）計(jì)算:1.1°+e,n2-0.5-2+坨25+21g2=()

A.0B.1C.2D.3

8.（2022?湖南?長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開學(xué)考試）已知/>0,log5b=〃，愴8=c,5J=10,則下列等

式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=〃+c

二、多選題

9.（2022?全國?高一單元測試）下列運(yùn)算中正確的是（）

log,8,_（_13

、l^?=10g?5B.行."=>

C.若a+“T=14,則a5+“-5=3D-I-I+In（Ine）=7

10.（2022?全國?高一單元測試）已知當(dāng)x>y>l時(shí)，lgx>lgy>0.根據(jù)上述結(jié)論，若10"=4,10*=25,

則（）

A.a+b=2B.b-a=\C.a/7>8（lg2）2D.b-a>\^6

11.（2022.全國.高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若。>0,旦aw1,則Vx>0,y>0,iog“(x+y)=iog“x+iog“y

B.若a>0,且