高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成"完全平方”)的技巧，通過配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡.何時配方,需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、

“配”與“湊”的技巧，從而完成配方.有時也將其稱為“湊配法

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于：已知或者未知

中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次

曲線的平移變換等問題.

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b):=a2+2ab+b2,將這個公

式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a'+b2=(a+b)2—2ab—(a—b)2+2ab；

b百

a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+y)2+(^b)2；

a2+b2+c2+ab+bc+ca=；[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=...

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=1+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2+^-=(X+-)2-2=(X--)2+2；...等等.

xxx

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，a,?a5+2a3*a5+a3-a7=25>則a3+a5=.

2.方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是.

A.1<k<lB.k4或k>lC.keRD.k=i?或k=l

3.已知sin4a+cos4a=1,則sina+cosa的值為.

A.1B.-1C.1或一1D.O

4,函數(shù)y=k)gi(-2x?+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2

A.(—oo,1]B.[1,+oo)C.(—1,41D.[f,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-l=0的兩根x?、x2,則點P(x],x?)在圓x?+y?=4上，則實數(shù)a

2

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a,”。a,,“-a?,,將已知等式左邊后配方(a3+a5)

2易求.答案是：5.

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x-a/+(y—b)?：/,解產(chǎn)＞0即可，選B.

3小題：己知等式經(jīng)配方成6布%+85%)2—2$吊％￡：0$201=1,求出sinacosa,然后求出所

求式的平方值，再開方求解.選C.

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.選D.

5小題：答案3-JTT.

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線

長為.

A.25/3B.V14C.5D.6

[2(xy+yz+xz)=11

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式:設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則,

而欲求對角線長廬萬壽，將其配湊成兩已知式的組合形式可得.

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和

2(xy+yz+xz)=11

為24”而得:V

4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：Jx2+y2+z2=+y+z)2-2(盯+yz+xz)=v62-11

=5,所以選B.

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個

數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解.這

也是我們使用配方法的一種解題模式.

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若(”)2+(2)2金成立，求實數(shù)k的取值范

qP

H.

【解】方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

P.，幺、2_/+/_（p2+q2）2—2p2q2_［（p+q￥-2pqY-2P2q2

4+P~（網(wǎng)——（P/2―（pg--

（女2—4）2_8__

-------------<7,解得或.

4

又,/p、q為方程x2+kx+2=0的兩實根，:.△=!<?一8K）即或kg-2

綜合起來，k的取值范圍是：一屈球一2c或者2五今三屈.

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；己知方程有兩根時，可

以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理.本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)

想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式.假如本題不對討論，結(jié)果將出錯，即使

有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤

為注意和重視.

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求（一^）^^+（/）|項.

a+ba+b

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為（￡）2+（￡）+1=0,則￡=3（3為1的立方虛根）；

bbb

或配方為（a+b/=ab.則代入所求式即得.

【解】由a'+ab+b-=0變形得：（~~）2+（-）+1=0，

bb

a、18飛--i

設(shè)（o=:，則co~+co+l=0,可知①為1的立方虛根，所以：一=—,co=（0=1.

bcoa

又由a2+ab+b?=0變形得：（a+b）2=ab,

所以（」一嚴(yán)98+（1嚴(yán)98=（土）999+（2）999=（色嚴(yán)9+（2）999=3999+1999

a+ba+bahabba

=2.

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表

達(dá)式中的高次嘉.一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開.

,-,acab-1±V3z

【另解】由a~+ab+b~=0變形得：(7)~+(7)+1=0,解出一=-后，化成三

bba2

角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(￡)999+(2)999后，完成后面的運(yùn)算.此方法用于只是未

ba

-1±V3z

―另—聯(lián)想到3時進(jìn)行解題.

_1+瓦

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+『=0解出：a=―b,

直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的

計算.

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化,

這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換

研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題

簡單化，變得容易處理.

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，

隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和

推證簡化.

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究

方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用.

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等.局部換元又稱整體換元，是在已知

或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通

過變形才能發(fā)現(xiàn).例如解不等式：4'+2-v-2>0,先變形為設(shè)2'=t而變?yōu)槭煜さ囊?/p>

元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題.

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角

知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元.如求函數(shù)y=6+J心的值域時，易發(fā)現(xiàn)xe[0,l],設(shè)*=

sin2a,問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域.為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)

該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要.如變量x、y適合條件x2+y2=J(r>0)時，則

可作三角代換x=rcos0、y=rsin0化為三角問題.

ss

均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設(shè)x='+t,y=彳-t等等.

我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范

圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大.如上幾例

7t

中的t>0和

I、再現(xiàn)性題組：

1.y—sinx-cosx+sinx+cosx的最大值是.

2.設(shè)f(x2+l)=log“(4—x4)(a>l),則f(x)的值域是.

3.已知數(shù)列｛a“｝中，a1=-1,a,l+1-an=a,1+1—a?,則數(shù)列通項a“=.

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x?+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是.

1+3T

5.方程，-=3的解是______________.

1+3

r1+1

6.不等式log2(2—1)-log2(2—2)(2的解集是.

產(chǎn)1

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t《[—及，血],則丫=彳+1—3'對稱軸t=-1,當(dāng)t

=區(qū)ymax=g+3；

2小題：設(shè)X?+l=t(e1),則f(t)=log”[4-1)2+4],所以值域為(一8,log“4]；

111

3小題：己知變形為---------=-1,設(shè)brt=—，則b]=-l,b〃=—l+(n—l)(-l)=-n,

%%

所以a〃=---；

n

4小題：設(shè)x+y=k,則x2—2kx+1=0,A=4k2—4K),所以k>l或k<—1；

5小題：設(shè)3*=y,則3y2+2y—1=0,解得y=a,所以x=—1；

5

6小題：設(shè)log2(2'—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以x￡(log?“l(fā)og23).

II、示范性題組：

例1.實數(shù)x、y滿足4x2—5xy+4y2=5(①式),設(shè)S=x2+y2,求+—的

“max°min

值.

.ccc[x=VsCOSQ

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos2a+sin2(x=l,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)《代

[y=y/Ssina

入①式求S111ax和S*的值.

X=VsCOSQ10

【解】設(shè)《f—代入①式得：4S—5Ssinacosa=5，解得S=--「.——；

y=V*Ssina8-5sin2a

101010

.*-I<sin2a<l3<8-5sin2a<13—<-----v—

13-8-5sin6Z-3

,---j-------31-1-3=：16—8

'Sm"5min1010105

8s—10

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=---的有界性而求，即解不等式:

2C_10

I—「51.這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法

5sSS

【另解】由S=x2+y2,設(shè)x2='+t,y2=彳—t,—,-],

貝ijxy=±代入①式得：4S+5

移項平方整理得100L+39S--160S+100=0.

39S2-160S+100<0解得：一SSS一,+=1--+1-1-2=-16=-8

133SmaxS*1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=X?+y2與三角公式COS

2a+sin2a=l的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題.第二

種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)x2=1.+

t、y2=￡-t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解.另外，還用到了求值域的幾種方法：有界

2

法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法.

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x

=a+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式.本題設(shè)x=a+b,y=a

—b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a,wiO,；],所以S=(a—b)2+(a+b)2=2(a

2210202101011

2+b2)=——F—a2]再求下一+《一的值.

1313133“maxMmin

11V2

例2.ZkABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,--------+---------=----------求cos

cosAcosCcosB

A.—C

二一的值.

2

，A+C=120°

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180?！钡男再|(zhì)，可得＜。；

B=60。

A=60+aA-C

由“A+C=120?！边M(jìn)行均值換元，則設(shè)《。，再代入可求cosa即cos「^

C=60°-a2

A+C=120°

【解】由AABC中已知A+C=2B,可得〈

B=60°

A=60°+a

由A+C=120。，設(shè)，，代入已知等式得:

C=60°-a

___1___|____1___1_|_1--1

cosAcosCcos(60°+a)_____cos(60°-a)---------1V3.

一cosa--sina

22

cosa

1=-2V2,

13

16.222

cosa+-sina—cosa—-sinacosa—-

22444

解得：cosa=#A-CV2

COS-------.

22

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120o,B=60。.所以-----+------=--------=-2A/2,

cosAcosCcosB

1L1LI1

設(shè)-----=—y/2+m,--------=—J2—m，所以cosA=----廣------，cosC=-----T=-----

cosAcosC2+m-V2-m

2V2

兩式分別相加、相減得：cosA+cosC=2cos—~—cos—~—

22m2-2,

A+CA-C2m

cosA—cosC=_2sin

222m2-2

A-C2m_272A-C_A-C由…

即：sin代入sin2-----------Feos2---------=1整理

2V3(m2-2)'m2-222

°A-C2J2V2

得：3m4—16m—12=0,解出m2=6,代入cos--------=-——=――.

2m2-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120?！?、“一^+―^=—2拒”分別進(jìn)行均值換元，

cosAcosC

隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公

式的運(yùn)用相當(dāng)熟練.假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A+C=2B,

[1ypl

得A+C=120°,B=60°.所以-------1---------=------------=-272,即cosA+cosC=-2

cosAcosCcosB

V2cosAcosC,和積互化得：2cos—cosLcos(A+C)+cos(A-C),即cos

A2g=一及cos(A-C)=~V2(2cos2"20-整理得：4V2cos242c+

A-C"A-CV2

2cos------------3A/2=0,解得：cos---------=—

222

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和

最小值.y

，，

【解】設(shè)sinx+cosx=t,則1￡[-血，行],由(sinx+cosx):=1

-V2V2x

產(chǎn)一1

+2sinx?cosx得：sinx-cosx=--------

f(x)=g(t)=——(t—2a)2+—(a>0),[-V2,V2]

t=-V5時，取最小值：-2a2—2A/2a-----

2

當(dāng)2aNV5時，t=,取最大值：-2a2+2V2a-----；

2

當(dāng)0〈2awJ5時，t=2a,取最大值：—.

2

[1V2

-(0<a<—)

f(x)的最小值為一2a?-2V2a—g,最大值為,

—2a2+2y[2a——{a>

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinxcosx的內(nèi)在聯(lián)系，

將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解.換元過程中

一定要注意新的參數(shù)的范圍(t￡[-V2,V2])與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出錯.本題解法

中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參

數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論.

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大

值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化

為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式x2log,+D+2xlog,-^―+log,>0恒成立,

aa+1-4a-

求a的取值范圍.

4(。+1)2a(a+lf

【分析】不等式中l(wèi)og,-——-、log2--、log,三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式

aa+\4?-

的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法.

2a行，4(。+1)8(a+l)a+12a

[解]設(shè)log2----=t，貝Ubg,-------=log----=3+k>g,——=3—log?-----

-a+\a22a'2aa+\

=3—t,log,=21og,3望=一23代入后原不等式簡化為(3—t)x?+2tx—2t>0,

4a-2a

'3—t>0t<3

它對一切實數(shù)x恒成立,所以12解得」:.t<0即

△=4產(chǎn)+8/(37)<0t<0或r>6

2a2a_

log,----<0,0<-----<1,解得0<a<l.

~a+1a+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用.為什么會想到換元及如何設(shè)元,

4(a+1)2a(a+l)2

關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og,q、log,—.log25三項之間的聯(lián)系.在解

決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”.另外，本題還要求對數(shù)運(yùn)算十分熟練.一般地,

解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件

進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點.

sin9cos9cos20sin2010x

例5.已知且----2--1---—=---77（②式），求」的值.

Xyxy3(X+y~)y

sin。cos0

【解】設(shè)——--------=k,則sin0=kx,cos0=ky,Ksin29+cos20=k2(x2+y2)=

xy

k2y2k2x21010!

1,代入②式得:+y23(x2+y2)3即:

x2x2/3

2

x]i.?.；=±6或。

設(shè)一/=如則t+-=W,解得：t=3或；;

y2t33

xsin0/cos2°

【另解】由7=衍『酬將等式②兩邊同時除以丁一’再表示成含tg，的式子:

42>2

l+tg9=(l+rg6)x——\—=—tg0,設(shè)tg2?=t,則3t2—10t+3=0,

3d+F3

tg-e

、1XL、百

；.t=3或;，解得一=±6或土=

3y3

sin°cos9

【注】第一種解法由------=------而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個數(shù).第

xsin0

二種解法將已知變形為一=2一丁，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg9,再進(jìn)行換元和變形.兩種解

ycose

法要求代數(shù)變形比較熟練.在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低.

例6.實數(shù)x、y滿足-+、?）.=1,若x+y-k>0恒成立，求k的范圍.

916

(X-1)21(>-+1)2

【分析】由已知條件=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a?+b2=l有相似之處，于是

916

實施三角換元.

(尤-?(y+l)2、了一1y+i

【解】由=1,設(shè)一=cos0,---=sin0,

9164

x=1+3cos。

即代入不等式x+y—k>0得3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos9+4sinO=

y=-1+4sin9

5sin(0+w),所以k<-5時不等式恒成立.

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒成

立的問題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍.一般地，

在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問

題時，經(jīng)常使用“三角換元法

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by

+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分.

此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x+y-k>0的區(qū)域.即當(dāng)

直線x+y-k=0在與橢圓下部相切的切線之下時.當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組

\:八有相等的一組實數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3

x+y—攵=0

時原不等式恒成立.

x+y-k>0

k平面區(qū)域

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)

的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)三g(x)的充要條

件是：對于一個任意的a值，都有f(a)三g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等.

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法，就是把具有

某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問

題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如

果具有，就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)

數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系

數(shù)法求解.

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下兒方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程.

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，

其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所

得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓

錐曲線的方程.

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=彳+m,f(x)的反函數(shù)f-(x)=nx—5,那么m、n的值依次為.

5555

A.—,—2B.---,2C.—,2D.-----,-2

2222

2.二次不等式ax2+bx+2>0的解集是(——則a+b的值是.

A.10B,-10C.14D.-14

3.在(1—x3)(1+x)1°的展開式中，x5的系數(shù)是.

A.-297B.-252C.297D.207

31

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為5,最小值為一萬，則y=-4asin3bx的最小正周期

是.

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線U的方程是.

6.與雙曲線x2—J=1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是__________.

4

X1

【簡解】1小題：由f(x)=5+m求出「(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一；,]),可知一；、g是方程ax?+bx+2=0的兩根，代入兩根，

列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析x5的系數(shù)由C：o與(一DC*兩項組成，相加后得X、的系數(shù)，選D；

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案方；

5小題:設(shè)直線U方程2x+3y+c=0,點A(l,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

222

6小題：設(shè)雙曲線方程*2—亍=入，點(2,2)代入求得九=3,即得方程三~-j=l.

II、示范性題組：

+4J3x+n

例1已知函數(shù)丫=------———■的最大值為7,最小值為一1,求此函數(shù)式.

x+1

【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；己知最大值、最小值實際是就

是己知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x2—4A/3x+(y—n)=0,x￡R,由已知得y-m#0

△=(-4A/3)2—4(y—m)(y—n)>0即：y2—(m+n)y+(mn—12)<0①

不等式①的解集為G1,7),則一1、7是方程y2—(m+n)y+(mn—12)=0的兩根,

1+("z+〃)+加〃-12=0m=5m=1

代入兩根得：49-7(/〃+〃)+僅〃-12=0解得：＜或

n=5

尸”士簾或者yx2+46尤+5

x2+1

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y+l)(y—7)W0,即y2-6y-7<0,然后與不等式①比較系數(shù)而得:

m+n=6

<?，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng).

【注】在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，

得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n.兩種方

法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等

式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解.本題要求對一元二次不等式的解集概念

理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)

于x的一元二次方程，可知其有解，利用AK）,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就

是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程.

例2.設(shè)橢圓中心在（2,-1）,它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的

端點距離是后一逐，求橢圓的方程.

【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了.設(shè)a、

b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距

離轉(zhuǎn)化為a-c的值后列出第二個方程.

【解】設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c,則|BF，|=a

B

2

a=/+。2

a=V10x~y

'a2+a2=(2b)2解得：《所求橢圓方程是：—+y=l

b=45

a-c—Vl0-y[5

也可有垂直關(guān)系推證出等腰RsBB'F后，由其性質(zhì)推證出等腰RtAB,OT\再進(jìn)行如下列

b=c

式＜a-c=V10-V5,更容易求出a、b的值.

a2=b-+c-

【注】圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定,

要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式.在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本

題就利用了這一特征，列出關(guān)于a-c的等式.

一般地，解析兒何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或

幾何數(shù)據(jù)）-＞幾何條件轉(zhuǎn)換成方程-＞求解—已知系數(shù)代入.

例3.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式1?2一+2,3-+…+n（n+1）-=―—（an_+bn+

c）對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在.由己知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n=l、2、

3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所

有自然數(shù)n都成立.

【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n=l,得4=/(a+b+c)；n=2,得22=；(4a

62

〃+Z?+c=24a=3

+2b+c)；n=3,得70=92+35+C整理得：,4。+26+。=44,解得"=11,

9Q+3"C=70[C=10

于是對n=l、2、3,等式l?22+2?32+...+n(n+l)2=———(3rT+lln+10)成立，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意自然數(shù)n,該等式都成立：

k(4+1)

假設(shè)對n=k時等式成立，即L22+2S2+...+k(k+l)2=———(3k2+1lk+10)；

k(k+1)

當(dāng)n=k+1時，1-22+2-32+...+k(k+l)2+(k+l)(k+2)2=(3k2+1lk+10)

2k(k+l)2(火+1)(左+2)2

+(k+l)(k+2)2=-方1(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2=-----------------(3k.+5k

(k+l)(k+2)2

+12k+24)=------------------[3(k+1)2+ll(k+l)+10],

也就是說，等式對n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立.

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到.此種解法中，也體現(xiàn)了

方程思想和特殊值法.對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸

納證明的步驟進(jìn)行.本題如果記得兩個特殊數(shù)列13+23+3+1？、12+22+~+112求和的

公式，也可以抓住通項的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n+l)2=n3+2n2+n

23332

得Sn-l-2~+2-3+...+n(n+1)'—(1+2+...+n)+2(1+2-+...+n~)+(l+2

,,、〃2(〃+l)2”(〃+l)(2〃+l)?〃(〃+l)〃(n+l)「........

+…+n)=|-2x-------------------------1------------------------------(3n+1ln+10),綜上

46212

所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立.

例4.有矩形的鐵皮，其長為30cm,寬為14cm,要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方

形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是

多少？

【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，

將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究.

【解】依題意，矩形盒子底邊邊長為(30—2x)cm,底邊寬為(14—2x)cm,高為xcm.

盒子容積V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x,顯然:15—x>0,7—x>0,x>0.

4—a—8+1=0

設(shè)丫=下(0-ax)(7b-bx)x(a>0,b>0),要使用均值不等式，則〈，「r,

ab\\5a-ax=ib-bx=x