高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》同步練習(xí)14 北師大版必修5

數(shù)列的概念

選擇題

.某數(shù)列｛q｝的前四項為QJE,O,0,則以下各式

①4=孝[1+(—1)[②%=Ji+(-i)"③4近（n為偶數(shù)）

0（n為奇數(shù)）

其中可作為｛4｝的通項公式的是()

A.①B.①②C.②③D.①②③

2.設(shè)函數(shù)/(x)滿足/(〃+1)=也半？且"1)=2,則/(20)=()

A.95B.97C.105D.192

n

3.已知數(shù)列中｛4｝,q=l,anan_｝=??_1+(-l)(〃22,〃N*),則:的值是()

1515c33

A.—B.—C.-D.一

16848

4.已知數(shù)列｛%｝的首項q=1,且4=24T+1(〃22),則%為()

A.7B.15C.30D.31

H-V79

5.已知%neN*）,則在數(shù)列｛4｝的前50項中最小項和最大項分別是（）

n-s/SQ

提示：化為a,—-二,作出圖像，則可直接求解.

n-y/SO

3上工79,…一個通項公式是

81-244880

7.己知q=1,ctn=1H----(”22),則

an-\

8.數(shù)列｛-2/+29〃+3｝中的最大項的值是一

9.已知｛周｝是遞增數(shù)列，且對任意〃G/T都有%二"+九“恒成立，則實數(shù)％的取值范

圍是____

三.解答題

io.數(shù)列滿足4+勿2+3g++田“求％

11.已知數(shù)列的前三項依次是1,2,3,它的前n項和為S“=即+而2+c〃3.試求“、b、

c的值.

n兀'

12.已知一■個數(shù)列的通項為a“=sina-\---（〃eN*）,再構(gòu)造一個新數(shù)列4a2，03a4，

2)

a5a這個數(shù)列是否為常數(shù)列？證明你的結(jié)論.

等差數(shù)列

選擇題

1.（2004武漢市高考模擬題）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且％+即=50,又見=13,則

生等于（）

A.1B.4C.5D.6

2.在等差數(shù)列｛4｝中，q=2,則該數(shù)列的前5項和為（）

A.10B.16C.20D.32

3.在｛4｝中，4=15,3a,,+1=3arl-2（〃eN*）,則該數(shù)列中相鄰兩項的乘積是負(fù)數(shù)的

項是（）

A.%］和%2B.。22和。23C.。23和〃24D.g4和〃25

4.數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列的一個充要條件是（5,是該數(shù)列前n項和）（）

2

A.SH=an+hB.Sn=an^hn+c

22

C.Slt=an+bn（aw0）D.Sn=CUT+hn

5.已知數(shù)列｛a“｝,a“=—2”+25,當(dāng)S”達(dá)到最大值時，n為（）

A.10B.11C.12D.13

6.設(shè)｛5,,｝是數(shù)列｛a,,｝的前n項和，已知&=36,S“=324,=144（n>6）,則n

等于（）

A.15B.16C.17D.18提示：^.Sn=arT+hn

二.填空題

7.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為-2,且4+a與…+a三刀，則

生+ab+丹+??q.提示：4=4+24,ab=a4+2d,…，-tz97+2d.

8.已知lg(7—2x),lg(4x-5),lg(x+l)成等差數(shù)列，則log.

9.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項是3,前n項和Sn=CUT+hn+c,lim^-=

"f"s“

10.若數(shù)列｛a,,｝的通項a“=4〃—1,由bk=4+%：,,+q(kwN*)所確定的數(shù)列也｝

K

的前n項和為.

三.解答題

11.數(shù)列｛七｝中，玉=1，求數(shù)列｛當(dāng)｝的通項公式

12.某產(chǎn)品按質(zhì)量分10個檔次，生產(chǎn)最低檔次的利潤是8元/件；每提高一個檔次，利潤每

件增加2元，每提高一個檔次，產(chǎn)量減少3件，在相同時間內(nèi)，最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)60

件.問：在相同時間內(nèi)，生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤？(最低檔次為第一檔次)

等比數(shù)列

選擇題

1.若Iga、Igb、Ige成等差數(shù)列,則()

A.b=――B./?=y(lga+lg/?)

C.a.b、c成等差數(shù)列D.a、b、c成等比數(shù)列

2.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其任何項都等于它后面兩項的和，則其公比是()

3.已知a、bGR-,/是匕的等差中項，G是a、b的等比中項，則()

A.ab<AGB.ab>AGC.abWIAG|D.ab>IAG|

4.若數(shù)列M，｝是等比數(shù)列，下列命題正確的個數(shù)為()

①｛《:｝、｛4“｝均為等比數(shù)列；②｛Inaj成等差數(shù)列；

(§)■—■>｛|%|｝成等比數(shù)列；④｛氣｝、｛4士外均為等比數(shù)列

.an.

A.4B.3C.2D.1

5.公比4*1的等比數(shù)列的前n項和公式恒等于a,出-q,則這樣的數(shù)列()

A.不存在B.必存在，且公比可確定而首項不能確定

C.必存在，且公比不確定而首項確定D.必存在，但公比和首項均不能確定

6.某企業(yè)在1996年初貸款材萬元，年利率為/〃，從該年末開始，每年償還的金額都是a

萬元，并恰好在10年間還清，則a的值等于()

+Mm+Mm

(1+7?2)'°-1(l+nz)1()+-1(1+m)10-1

二.填空題

7.等比數(shù)列中｛見｝,公比q*±l,=100,則

1+0

8.正項等比數(shù)列｛4｝的首項q=2-5,其前11項的幾何平均數(shù)為25,若前11項中抽取

一項后的幾何平均數(shù)仍是2、，則抽取一項的項數(shù)為.

9.用分期付款方式購買家用電器一件，價格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月

這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的第一個月開始算

分期付款的第一個月，全部欠款付清后，買這件家電實際付款元.

三.解答題

10.設(shè)有數(shù)列｛q｝,q=|,若以4,出，…，4為系數(shù)的二次方程：a,/—%彳+1=0

(〃eN*且“22)都有根a、夕滿足3。一83+34=1

(1)求證14—g］為等比數(shù)列；

（2）求a“；

（3）求a”的前n項和S”.

11.家用電器一件，現(xiàn)價2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一月，購買后

一個月付款一次，共付12次，即購買后一年付清，如果按月利率8%。，每月復(fù)利一次計算,

那么每期應(yīng)付款多少？

12.（2004年湖北八校聯(lián)考）數(shù)列｛%｝中，首項q=2,前n項和為S,,,對任意點(diǎn)

用，S"），點(diǎn)p”都在平面直角坐標(biāo)系xoy的曲線C±,曲線C的方程為

4x—（3f+@y=8,.其中/'<-3,n=l,2,3???

（1）判斷｛a,,｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（2）若對每個正整數(shù)〃，則a“，an+l,4+2為邊長能否構(gòu)成三角形，求力的范圍.

等差數(shù)列與等比數(shù)列

選擇題

1.互不相等的三個正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，又x是a、b的等比中項，>是/?、c的等

比中項，那么/、/、V三個數(shù)（）

A.成等差非等比數(shù)列B.成等比非等差數(shù)列

C.既成等差又成等比數(shù)列D.既不成等差也不成等比數(shù)列

2.（2004湖北八校聯(lián)考）等差數(shù)列｛4｝中，4+%+%=39,4+%+/=27,則數(shù)列

｛/｝前9項和Sg等于（）

A.66B.99C.144D.297

（提示：4=13，4=9，Sg=9（氣；哄）

3.（2004江蘇漂陽中學(xué)高考模擬題）一張報紙，其厚度為a,面積為6,現(xiàn)將此報紙對折,

（即沿對邊中點(diǎn)的連線折疊）7次，這時報紙的厚度和面積分別為（）

A.8。,一bB.64。，—bC.128a,---bD.256。，----b

864128256

4.（2004山西省試驗中學(xué)高考模擬題）已知等比數(shù)列｛為｝的公比為夕<0,前n項和為S”,

則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（）

A.S4a5=S5a4B.S4a5>S5a4C.S4a5<S5a4D.以上都不正確

5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若%4=9，則

1o,再十1@母a1+o$g.?等于（）

A.8B.10C.12D.2+Iog35

6.公差不為零的等差數(shù)列第二、三、六項構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為（）

A.1B.2C.3D.4

—.填空題

7.在等差數(shù)列｛%｝中，已知|名|=|4|，"<0,則使它的前n項和S“取得最大值的自然

數(shù)n=.

8.等差數(shù)列｛q｝、物“｝的前n項和分別為4和紇，且楙=表1，則/=-

9.在等比數(shù)列｛4｝中，己知5.=48,§2“=60,則％,=

10.某企業(yè)2003年12月份的產(chǎn)值是這年一月份產(chǎn)值的p倍，則該企業(yè)2003年年度產(chǎn)值的

月平均增長率是_____.

三.解答題

11.項數(shù)都是4〃一1的等差數(shù)列｛q｝與等比數(shù)列｛&｝的首項均為a（a>0）,

且它們的末項相等，試比較中間項的大小.

12.一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B）,車上有一郵

政車廂，每?？恳徽颈阋断虑懊娓髡镜泥]袋一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋

各一個.設(shè)從第4站出發(fā)時，郵政車廂內(nèi)共有％（k=l,2,…，n）個郵袋.試求：

（1）數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）k為何值時，為最大？求出%.的最大值.

數(shù)列求和

選擇題

1.數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=—60,且=a.+3,則這個數(shù)列的前30項的絕對值之和為（）

A.495B.765C.3105D.120

2.化簡5=〃+（〃-1*2+（〃-2*22+―+2*2"-1+2”|的結(jié)果是（）

A.2n+,+2-/1-2B.2"+'-n+2C.2"-n-2D.2"+'-n-2

3.在項數(shù)為2〃+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為（）

〃+1〃+12n+l1

A.----B.----C.-----D.1

n2nn

4.等比數(shù)列前n項和為54,前2n項和為60,則前3n項和為（）

22

A.66B.64C.66-D.60-

33

5.在50和350之間所有末位數(shù)是1的整數(shù)之和是（）

A.5880B.5539C.5208D.4877

1

6.數(shù)列｛%｝的通項公式是4若前n項和為10,則項數(shù)n為)

y/n+y/n+1

A.11B.99C.120D.121

二.填空題

7.一條信息，若一人收知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知

此信息的另外兩個人，如此繼續(xù)下去，一天時間可傳遍人.

8.-1+3-5+7-9+…+一.

9.對于每個自然數(shù)n,拋物線,=(〃2+〃卜2-(2〃+1)犬+1與％軸交于兩點(diǎn)4、B,,,則

同閔+…+1A20cMB2aMi的值為——.

10.項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44,偶數(shù)項之和為33,則該數(shù)列的中間項和項

數(shù)分別為.

三.解答題

11.(1)｛凡｝是等差數(shù)列，a“wO,求」——F」一H--F——

44。2a34一4

(2)求數(shù)列｛竺口)的前n項和

12.(2004湖南師大附中高考模擬題)已知二次函數(shù)/(x)="2+區(qū)+C經(jīng)過點(diǎn)(0,0),導(dǎo)

數(shù)/'(x)=2x+l,當(dāng)代[”,〃+1]("6"')時，/(x)是整數(shù)的個數(shù)記為q.

(1)求a、b、c的值；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式

2

(3)令2=-----,求也｝的前n項和S“

數(shù)學(xué)歸納法

選擇題

1.已知/(")=」一+」一+-+—!—,則/他+1)等于()

1

A.f(k)+zx—B.f(k]+—^—

J')3(左+1)+1')3k+2

，小1111，小11

')3左+23Z+33Z+4k+lv73攵+4Z+l

2.用同數(shù)學(xué)歸納法證明1+Q+/+…+a"+i=-----(a0l)，在驗證〃=1時，左端計

1—CL

算所得項為()

A.1B.1+QC.1+a+D.1+6Z4~cr4~ci

3.某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，如果n=k（4wN*）時，該命題成立，那么可推出當(dāng)〃=%+1

時，該命題成立，現(xiàn)已知當(dāng)〃=5時該命題不成立，那么（）

A.當(dāng)〃二6時該命題不成立B.當(dāng)〃=6時該命題成立

C.當(dāng)〃=4時該命題不成立D.當(dāng)〃=4時該命題成立

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2〃2/時，n應(yīng)取的第一個值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式」一+」一+…+」—>”的過程中，由〃=4遞推到

〃+1n+2n+n24

〃=k+l時，不等式左邊（）

A.增加了一項‘'一-

2伏+1）

1

B.增加了兩項

2k+\2(1+1)

C.增加了B項中的兩項，但又減少了另一項----

k+1

D.增加了A項中的一項，但又減少了另一項」一

A+1

二.填空題

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：］―--+———4-1---------——-----11---1--^時，第一

2342〃一12〃〃+1n+22n

步應(yīng)驗證左式是______,右式是_______.

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+；+；+-+手片<〃（〃€"",〃>1）時,在第二步證明從〃=&到

〃=攵+1成立時，左邊增加了的項數(shù)是.

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明與2之（卓）（a、匕是非負(fù)實數(shù)，〃eN*）時，假設(shè)〃=左

命題成立之后，證明〃=左+1命題成立的關(guān)鍵是.

三.解答題

9.求證：34"2+52"+|能被14整除

10.已知/(x)是定義在N*上的數(shù)值函數(shù)，滿足：

⑴/(2)=2；

(2)對任意相,〃wN*有=〃加)?/(")；

(3)當(dāng)時，/(加)>/(〃).

求證：/(力=%在"*上恒成立.

歸納、猜想、證明

填空題

1./(x)=—玉=1，怎=/(%-1+1)(〃22,〃€"*)則々、W、匕分別為，

猜想七=.

2.有濃度為a%的酒精滿瓶共加升，每次倒出〃升(〃<加)，再用水加滿，一共倒了10次,

加了10次水后，瓶內(nèi)的酒精濃度為.

3.在數(shù)列｛4｝中，已知q=2,a=—neN*,依次計算外,a、,可后，歸納、

n+i3a”+1

推測出4的表達(dá)式是一

4.數(shù)列一，一，—，—>—,—的第20項是

2510172637

5.已知｛4｝滿足：存在正數(shù)，，使得對所有正整數(shù)〃，有匹=士署成立(其中5.為數(shù)

列｛4｝前n項和)，則可通過計算￡、邑、S3,猜得S,,=—

6.設(shè)/㈤>0,neN*,對任意x,ywN*恒有=,又“2)=4,

則/⑴=，/(3)=，〃4)=.

2

7.若%=%=1,4=%_1+22_］，hn=+/??_,(〃=1,2,…)貝!Io/一圻=-------，

%2―時22

4—242=，%0()5-/”2()05

8.平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)攵條這樣的直線百平面

分成/（攵）個區(qū)域，則左+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)/（左+1）=/（4）+

二.解答題

9.己知數(shù)列｛/｝滿足5“=2〃一?！扒蟪銮八捻棧茰y的表達(dá)式，再證明.

10.已知對〃wN",試比較/（、巧）與2二的大小，并且說明理由.

X+Xfl+1

數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法單元測試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.數(shù)列｛%｝中，前三項依次為—,—,-則等于（）

x+16xx

A.50B.13C.24D.8

2.若a、b、c成等差數(shù)列，則函數(shù)/（x）=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.不確定

3.差數(shù)列｛〃〃｝中，公差d=1,々4+47=8,則+々4+。6+?一+々20=（）

A.40B.45C.50D.55

4.已知數(shù)列｛aJ的通項公式是%=2〃-49,則Sn達(dá)到最小值時，n的值是（）

A.23B.24C.25D.26

5.在等差數(shù)列｛&｝中/。＜0,即＞0,且%＞l4ol,則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為（）

A.STB.518C.519D.So

6.己知數(shù)列｛a“｝的前n項和S”=3"+左代為常數(shù)），那么下述結(jié)論正確的是（）

A.k為任意實數(shù)時，｛%｝是等比數(shù)列

B.%=-1時，｛凡｝是等比數(shù)列

C.k=0時，｛a“｝是等比數(shù)列

D.｛a,J不可能是等比數(shù)列

7.數(shù)列｛a“｝中，>0,且｛a/小｝是公比為g（g>0）的等比數(shù)列，滿足（）

+凡+心〃+2>4+24+3（〃GN），則公比夕的取值范圍是（）

1+V21+V5

A.0<q<B.0<q<

22

—1+V2-1+V5

C.0<q<-------D.Q<q<-------

22

8.數(shù)列｛4｝中，已知S=1,S=2，且第―3S+2S~1=0（〃￡N*）,則此數(shù)列為（）

A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列

C.從第二項起為等差數(shù)列D.從第二項起為等比數(shù)列

9.數(shù)歹！J｛4｝的前〃項和S尸5〃一乂）（）

A.Sn>na\>nat,B.Sn<nalt<na\

C.na^>S^>na\D.nat,<Sn<na\

10.已知某數(shù)列前〃項之和為/,且前〃個偶數(shù)項的和為〃2（4〃+3）,則前〃個奇數(shù)項的

和為（）

A.-3〃-（〃+1）B.〃~（4〃-3）C.-3/?"D.5〃'

11.己知等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列｛仇｝的首項均為1,且公差dHl,公比q>0且qHl,

則集合｛〃舊=么｝的元素最多有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12、已知〃=t9^,（〃eN+）,則在數(shù)列｛4｝的前50項中最小項和最大項分別是（）

A.B.a1,^^8C?^^8,cigD?（^9,

二、填空題：

13.數(shù)列［“｝的前〃項的和S=3//+則此數(shù)列的通項公式^產(chǎn)_____

14.在,和〃+1之間插入〃個正數(shù)，使這加2個正數(shù)成等比數(shù)列，則插入的〃個正數(shù)之積

n

為.

15.等差數(shù)列｛4｝中，公差*0,&,4成等比數(shù)列，則以上包口=.

%+%+。10

16.當(dāng)；rHl,0時，1+3A+5X2+..+(2n—1)Z1=.

三、解答題：

17.(本題滿分12分)已知：等差數(shù)列｛4｝中，a4=14,前10項和Ro=185.

(I)求a“；

(H)將｛4｝中的第2項，第4項，…，第2"項按原來的順序排成一個新數(shù)列，求此數(shù)列

的前〃項和G“.

18.(本題滿分12分)

數(shù)列｛??｝的通項公式

a?=--!—y(neN*),郎(〃)=(1-<2,)(1-a2)(1)???(1-a?).

(?+l)

⑴求:f(l)、f⑵、f(3)、f(4)的值;

(2)由上述結(jié)果推測出計算/Xn)的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

3

19.(本題滿分12分)設(shè)S,為數(shù)列回｝的前〃項的和，且S=一(&-1)(〃GN*),數(shù)列

2

｛4｝的通項公式b,,=4z?+5.

①求證：數(shù)列面｝是等比數(shù)列；

②若dG｛句，翹，“3，....｝n｛力，&,&,...｝，則稱d為數(shù)歹|J｛a｝和｛bn｝的

公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列｛4｝,求數(shù)列｛4｝的通項公式.

20.(本題滿分12分)已知數(shù)列｛許｝中，q=1,

前〃項和5“與通項an滿足

2S/

,(?eN,n>2),求通項即的表達(dá)式.

2\,-1

21.(本題滿分12分)甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六

年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個不同的信息圖：

個平均只數(shù)(萬只)個個數(shù)

2............-.................二*30

:??、、

:?■、

Af'

1y-：!，

io??；--------------'工

?:

(■

~7~3_4~5~6~年>

123456年

(A)(B)

(A)圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2

萬只雞：

(B)圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個.

請你根據(jù)提供的信息解答下列問題：

(1)第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？

(2)哪一年的規(guī)模最大？為什么？

22.(本題滿分14分)

對于函數(shù)/(x),若存在與w民使f(毛)=/成立，則稱/為/'(x)的不動點(diǎn).如果函數(shù)

/。)=19(仇。€")有且只有兩個不動點(diǎn)0,2,且/(—2)<——,

bx-c2

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)已知各項不為零的數(shù)歹U｛%｝滿足4S”?/(')=1,求數(shù)列通項4；

an

(3)如果數(shù)列｛%｝滿足q=4,a向=/(4),求證：當(dāng)〃N2時,恒有凡<3成立.

數(shù)列與答案

數(shù)列的概念

—.選擇題1.D2.B3.C4.D5.C

二.填空題

2〃+18

6.4=(-1戶7.y8.1089.(-3,400)

(2〃+1『-1

三.解答題

10.［解析］：a］=1x2x3=6

當(dāng)〃N2時4+2?2+3%++也“八+2)?

4+2%+3q++(〃+1)②

①一②得/觴=3〃(九+1)?,=3(〃+1)

當(dāng)〃=1口寸上式q=2x3=6

an=3(〃+1).

［評析］:此題的解法與已知5“求為的方法類似.

11.解析：由已知可得S}=1,S2=3,S3=6

Q+〃+C=1

<2。+4〃+8c=3

3。+9〃+27。=6

解之得a=—h=-c=0

2929

12.證：設(shè)這個數(shù)列的第n項為C，則

(2n-l)7r.(2n/r

???C〃=〃2〃T%〃=sma+sina-\------

I2

Q

=sina+n7i--s--in(a+w)

2J

=-cos(a+〃7)sin(a+〃萬)

—sin（2a+2n^）=--sin2a（為常數(shù)）

這個數(shù)列是常數(shù)列.

［評析］:1.此題的關(guān)鍵是找出新數(shù)列的第n項Q與已知數(shù)列｛4｝的關(guān)系式?！?的,一生”

(〃GN*).

2.思考問題時，不要僅停留在前幾項，而更重要的是要抽象到第n項，這是數(shù)學(xué)的

重要思想方法.

等差數(shù)列

選擇題

1.C2.A3.C4.D5.C6.D提示：Sn=arr+bn

7.—82提示：a3=ay+2d,a6=+2J,…，須=%7+2d.

8.—9.410.n~+2/?

2

三.解答題

11.［解析］思路1：計算出天，七，猜想七，再證明.

思路2：???x?+1

.1無;+211Hn111

?-—7=-5-—=-+—即——7——7=-

xn+i2X"2xnx“+]xn2

/.數(shù)列」是首項為"4=1,公差為1的等差數(shù)列

.Xn\X\2

12.［解析］10個檔次的產(chǎn)品的每件利潤構(gòu)成等差數(shù)列：8,10,12,…，

4?=8+)=加+

(1<H<10),10個檔次的產(chǎn)品相同時間內(nèi)的產(chǎn)量構(gòu)成數(shù)列：60,57,54,…，

bn=60-3（/?-l）=63-3n（l<n<10）

，在相同時間內(nèi)，生產(chǎn)第n個檔次的產(chǎn)品獲得的利潤

y=（2n+6）（63—3〃）

=-6（〃-9『+6x144.

當(dāng)〃=9時y1mx=6x144=864（元）

生產(chǎn)低9檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤.

等比數(shù)列

選擇題

1.D2.D3.C4.C5.B6.C

二.填空題

7.1008.69.1255元

三.解答題

?/?=」一代入3a-姐+3尸=1

10.[解析](1)證明：???a+￡=—J,

an-\an-\

11

得an+]

111

—u—I-------

3"32=」為定值

3

數(shù)列14-共是等比數(shù)列

25]_

2623

114

/?+11

一^--2x3"

11.［解析］法一：設(shè)每期付款數(shù)x元，則

第一次付款與到最后一次付款所生利息之和為所生利息之和為尤(1+0.008)”

第二次付款與到最后一次付款所生利息之和為所生利息之和為》(1+0.008)°

第十一次付款與到最后一次付款所生利息之和為所生利息之和為x(l+0.008)

第十二次付款與到最后一次付款所生利息之和為所生利息之和為x

1_1

所以各期付款連同利息之和為x(l+l.OO8+--+l.OO8")=x

’71.008-1

又所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2000x1.00812

1HAQ12_1

于是有一-x=2000x1.008'2

1.008-1

得XX175.46即每期應(yīng)付款元175.46元

法二：設(shè)每期付款數(shù)x元，第4月后欠款為%元5=1,2,…，12)

則巧=2000x(1+0.008)—x

%=qx(l+0.008)_jr

an=%x(l+0.008)-x

Y

設(shè)4—2=1.008(41-4則力=訴

a-——=l.OOsfa.———

"0.008L0.008J

數(shù)列［4———l構(gòu)成等比數(shù)列

n0.008J

xx

1.008,,-'+

0.0080.008

x

6z=0即a=Q]—-1.008"+^^=0

pn10.0080.008

將q=2016—x代入上式得xa175.46即每期應(yīng)付款元175.46元

［評析］兩種解法從不同角度解決分期付款問題，解法一即教材所提供的解法，通過兩種解法

的比較，也可進(jìn)一步加深對分期付款問題的理解.

=

12.［解析］（1）由S］=q=2,S2=2+

4（2+生）一2（3r+8）=&得出=2薩于是彳'=49

又4電+「（3r+8）S.=8r

4⑸一（3r+8）S,i=8r（n>2）

兩式相減得4必用=（3/+8）（n>2）

,,3/+8/_x.ci,,,13f+8/,\

故3=----（）（）

v?>273=------neN

an4/anAt'）

a*?o

r.{a“}是首項為2,公比為節(jié)2的等比數(shù)列.

（2）由（1）知4=2［4

Q/1Q

；t<-3：.0<^—^<1又CL=2>0

At'

,{a,,}是一個單調(diào)遞減的數(shù)列

從而a,,,an+i,為+2為邊長能構(gòu)成三角形的充要條件是

a,出+q+2>4

即2（主』'+2（主修川>（土打’

IJI2f）I2rJ

解得/〉—8+^^或z<-8-l^

55

又t<-3

：.<8一座

5

［評析］此題（1）中證明&=2則是必要的.充分利用已知條件對構(gòu)成三角形的充要條

q4;

件進(jìn)行簡化，能達(dá)到事半功倍的效果.

等差數(shù)列與等比數(shù)列

一.選擇題

1.A2.B（提示：4=13,4=9，怎/（%；%））

3.C4.B5.B6.C

二.填空題

［48

7.5或68.——9.6310.聽一1

in7y

三.解答題

11.［解析］設(shè)｛4｝的公差為d,｛"｝的公比為q,則它們的中間項分別為

2nl

%”=Q+(2〃-l)d,b2n=aq~

由a4n-\=。4〃一1得

"+2(2〃-1”=矽2(2,1)

b2I

2。2〃一。=3-即％〃=—+"）

a2a/

生=*—+/）-%

1,

=?。?-。）20

2a

當(dāng)且僅當(dāng)a=a,即夕=1時，上式等號成立.

故當(dāng)4=1時，a2n=b2n,當(dāng)qxl時，a2n>b2n.

［評析］將出“用%，表達(dá)是解答本題的關(guān)鍵；作差后的配方是判斷符號的需要，也體現(xiàn)了“集

中變量”這一重要的數(shù)學(xué)思想.

12.［解析］由題設(shè)知q=n-l,%=(〃一1)+(〃-2)-1,

%=(〃-1)+(〃-2)+(〃_3)-1-2,…

在第攵站出發(fā)時，前面放上的郵袋共有(〃—1)+(〃—2)+…+(〃—2)個，而從第二

站起，每站放下的郵袋為1+2+…+(&-1)個.

故為二(nT)+(n-2)+**,+(n-k)-[l+2+,e*(k-l)]

=kn-[1-\-2-\----FZ)-[1+2H--1■(k-1)]

7k(k+l)(k-l)k.,2/,八、

=kn-----------------------=kn-k~(k=l,2,3,…，n)

22

(n2

(2)由(1)知％=-k—IH---

、2)4

若n為偶數(shù)，則當(dāng)k二W時，%的最大值為亍

,,「天跖msMj九一1〃+1的日古、[/—I

右n為奇數(shù)，則當(dāng)后=--2--或&=---2-,A4的取大值為---4----

數(shù)列求和

一.選擇題

1.B2.D3.A4.D5.A6.C

二.填空題

<J〃(〃為偶數(shù))2004

-n(〃為奇數(shù))2005

三.解答題

11.［解析］:裂項求和

,,n—1

答：——

(2)求數(shù)列｛與二｝的前n項和

［解析］:錯位相減法

c2/7+3

答：3------

2"

12.［解析］⑴???八％）的圖像過（0,0）Jc=0

又/'(%)=2tix+Z?=2x4-1a=l9b-1

(2);/(x)=x2+x對稱軸為了二-g，/(x)在xcfn,幾+1］上單調(diào)遞增

而/(〃)=〃2+八，+=(力+1)2+(〃+1)=A?+3〃+2

?二4=/(〃+1)-"〃)+1=2〃+3

⑶“二_=_2—=」_______L

anan+i(2〃+3)(2〃+5)2/7+32n+5

Sn=b}+b2+b3+--+bn

____1

~5~2n+5

2n

-5(2n+5)

數(shù)學(xué)歸納法

選擇題

1.C2.C3.C4.D5.C

—.填空題

6.1--,----7.2*8.兩邊同乘以-----

21+12

三.解答題

9.證明：(1)當(dāng)〃=1時3皿2+52*1+|=854=61x14能被14整除，二〃=1時命題成

(2)假設(shè)〃=左時命題成立，即3軟+2+521能被14整除

則〃=左+1時

^4(A:+l)4-2+^2(A+1)+1_3(4?+2)+4+5(2力+1)+2+^4§2々+1^4$2^+1

=34(34i+2+52t+l)+52U,(52-34)

=34(34i+2+52t+l)-52A+,-4-14

能被14整除

〃=。+1時,命題成立.

綜合(1)、(2)知命題對一切〃eN*均成立.

［評析］第二步證明中想方設(shè)法配出假設(shè)中的代數(shù)式3北+2+521是此類問題的解題規(guī)律.

10.證明：由條件(1)、(2)知2=/(2)=/(1)-/(2)=2/(1)/(1)=1

即當(dāng)x=l時，/(x)=x成立

假設(shè)x=l,2,3,…，*時，有/(x)=x

則當(dāng)x=Z:+l時，若后+l=2s(IWSWZ),

則/伏+l)=/(2s)=/(2)〃s)