數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第八章第2講空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系

第2講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

考綱展示命題探究

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.

(1)1.內(nèi)容探究：平面的基本性質(zhì)，平面的位置關(guān)系，

(2)了解可以作為推理雌的公理和定理.

空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系異面直線的判定及所成的角的求法是高考命題熱點(diǎn).

能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明T

(3)2.形式探究：本講內(nèi)容高考中多以解答題形式出現(xiàn).

空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

__Z

皤考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

g源基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1平面的基本性質(zhì)

圖形文字語言符號(hào)語言

A^r

如果一條直線上的兩點(diǎn)在

BUI

公理1一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直0/Ua

A^a

線在此平面內(nèi).

BRa,

續(xù)表

圖形文字語言符號(hào)語言

過不在同一條直線A,B,。三點(diǎn)不共線今有

公理2上的三點(diǎn),有且只且只有一個(gè)平面a,使A

ZH7有一個(gè)平面.

續(xù)表

圖形文字語言符號(hào)語言

如果兩個(gè)不重合的平面有一

若PWa且尸￡夕，則

公理3個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有

Jap]aCB=a,且PWa.

一條過該點(diǎn)的公共直線.

2空間直線的位置關(guān)系

⑴位置關(guān)系的分類

’共面!相交直線:同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

＜直線1平行直線:同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn);

、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

(2)平行公理

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(3)等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互

(4)異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，。是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)0作直線

a'//a,b'//b,把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a

與b所成的角.

②范圍：［o,f.

3空間直線、平面的位置關(guān)系

圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)

相交QG。=AL個(gè)

直線與-----------a

平行a//a，個(gè)

平面/

在平

aUa無數(shù)個(gè)

面內(nèi)上

平面與/___/

平行a//13，個(gè)

平面4___/

相交an片/無數(shù)個(gè)

版注意點(diǎn)對(duì)異面直線定義的理解

(1)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個(gè)

平面，因此異面直線既不平行，也不相交.

(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面

直線.

(3)異面直線不具有傳遞性，即若直線a與。異面，8與c異面，

則Q與C不一定是異面直線.

題快做：

1.思維辨析

(1)如果兩個(gè)不重合的平面a,4有一條公共直線a,就說平面a,

夕相交，并記作aA￡=a.()

(2)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.()

(3)兩個(gè)平面a,4有一個(gè)公共點(diǎn)4,就說a,4相交于4點(diǎn)，并

記作aG4=4()

(4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.()

(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.()

(6)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X(5)V(6)X

2.若空間三條直線a,b,c滿足a±b,b±c,則直線。與c()

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是異面直線

D.平行、相交、是異面直線都有可能

答案D

解析當(dāng)a,b,c共面時(shí)，a//c；當(dāng)a,b,c不共面時(shí)，a與c

可能異面也可能相交.

3.如圖所示，A5CD—AiSGA是長方體，AAi=a,ZBABi=

ZBiAiCi=30°,則A5與4G所成的角為,AAi與耳。所成

的角為.

答案30。45°

解析\'AB//AxBi,

二.ZBiAiCi是45與AiCi所成的角，

二.AB與AiG所成的角為30°.

\'AAi//BB\,

是AAi與所成的角，

由已知條件可以得出

BBi=a,A5i=AiG=2a,AB=y^a,

??BiCi=BC=a.

...四邊形是正方形，

...ZBB1C=45°.

（gk命題法解題法

量［考法綜述］點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容，

高考既有單獨(dú)考查直線和平面位置關(guān)系的題目，也有以多面體為載體

考查線面位置關(guān)系的題目.高考試題對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的考查

以理解和掌握為主，試題一般為中等難度.

命題法點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷及異面直線所成的角

典例（1）已知矩形ABC。中，A5=l,將△A3。沿矩

形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線A5與直線CZ）垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與5?！薄癆B與CD”“A。與

5C”均不垂直

如圖所示，在四棱錐尸一A5CD中，底面A5CD是矩形，以，底

ffiABCD,E是尸。的中點(diǎn).已知A5=2,AD=25B4=2.求：

①三角形PCD的面積；

②異面直線BC與AE所成的角的大小.

［解析］⑴如圖

作AM±BD,垂足為M；作CN±BD垂足為N,若存在某個(gè)位

置，使得4CLBZ),則30,平面AM。，5。，平面ANC,矛盾，故

A錯(cuò)誤；當(dāng)翻折到點(diǎn)A在平面5CD上的射影“落在上時(shí)，由CD

±CB,CDLAH,所以CDLABH,所以CZ)，A5,故B項(xiàng)正確，D

項(xiàng)錯(cuò)誤；若存在某個(gè)位置使得則再由CDLCB得平

面ACD,所以NACB=90。，這樣|A5|>|5C|,而A5=l,BC=木,矛

盾，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

(2)①因?yàn)榈酌鍭5CD,所以B4LCD.

又因?yàn)?Z)，CD,所以CD,平面B4D

從而CDLPD

因?yàn)槭?gt;=^22+(2吸尸=2小,CD=2,

所以三角形PCD的面積為:X2X2小=25.

②取尸5的中點(diǎn)F,連接EF,AF,則EF//BC,從而N4E7(或其

補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角.

在AAEF中，由EF=\［2,AF=^2,AE=2知AAE尸是等腰直

7T

角三角形，所以NAE尸=7因此，異面直線與AE所成的角的大小

^4,

［答案］(1)B(2)見解析

9【解題法】異面直線的判定及其所成角的求法

(1)判定空間兩條直線是異面直線的方法

①判定定理：平面夕I■點(diǎn)A與平面內(nèi)一■點(diǎn)5的連線和平面內(nèi)不

經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.

②反證法：證明兩直線平行、相交不可能或證明兩直線共面不可

能，從而可得兩直線異面.

(2)求解異面直線所成角的常用方法

①平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利

用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.最終將空間

角轉(zhuǎn)化為平面角，利用解三角形的知識(shí)求解(常結(jié)合余弦定理求解).

②因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是0。＜6^90。，所以所作的

角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

尊廄對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.若空間中〃個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)〃的取

值（

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

答案B

解析首先我們知道正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等，于

是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相

等，于是排除A,故選B.

2.若/,根是兩條不同的直線，陽垂直于平面a,則帆”是

“/〃a”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由“機(jī)_La且/”推出"/Ua或/〃a”,但由

且/〃a”可推出“/，機(jī)”，所以'是"/〃a”的必要而不充分

條件，故選B.

m,〃表示兩條不同直線，a表示平面.下列說法正確的是（）

A.若機(jī)〃a,n//a,則m//n

B.若機(jī)_La,nUa,貝!J

C.若冽J_a,mA^n,則“〃a

D.若m//a,m^n,則〃_La

答案B

解析A選項(xiàng)772、〃也可以相交或異面，C選項(xiàng)也可以“Ua,D

選項(xiàng)也可以n//a或〃與a斜交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.

4.直三棱柱A5C—ALBCI中，N5cA=90。，M,N分別是A/i,

AiG的中點(diǎn)，BC=CA=CCx,則3M與AN所成角的余弦值為（

B

A,101

D.乎

Jo

答案c

解析取5。的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BM〃QN,則N4N。

即為所求，

設(shè)5C=CA=CC=2,

則AQ=小，AN=小,QN=\[6,

AA^+N。一A。5+6—5__6__咽

cos/ANQ=,故選

2AN-NQ—23X必—2相一10

C.

5.如圖，在三棱錐4—5CD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=

BC=2,點(diǎn)M,N分別為A。，5。的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所

成的角的余弦值是.

7

答案8

A

解析如右圖所示，連接N。，取的中點(diǎn)E,連接ME,CE,

則ME//AN,

則異面直線AN,CM所成的角即為NEMC由題可知CN=1,AN

=2隹

.,.ME=也又CM=2吸，DN=2吸,NE=也,，CE=小，

CAf+EAf—C田8+2—37

川nlcosZCME-2CMEM_2X2碑X啦一樂

如圖，四邊形A5CD和AOP。均為正方形，它們所在的平面互

相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段尸。上，E,尸分別為Ab5。的中點(diǎn).設(shè)異

面直線與A尸所成的角為仇則cos。的最大值為.

2

套案-

口木5

解析取5尸的中點(diǎn)N,連接MN,EN,則EN〃AF所以直線

EN與所成的角就是異面直線與A尸所成的角.在八EMN中,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)尸重合時(shí)，EM1AF,所以當(dāng)點(diǎn)M逐漸趨近于點(diǎn)。時(shí)，

直線EN與的夾角越來越小，此時(shí)cos。越來越大.故當(dāng)點(diǎn)M與

點(diǎn)。重合時(shí)，cos。取最大值.設(shè)正方形的邊長為4,連接E。，NQ,

EO+EN2—QV2

在叢中，由余弦定理,得

EQNcosNQEN2EQEN

20+5-33_22

2X恒X巾——亍所以cos。的最大值為亍

7.如圖，在正方體A5CD—A/iGD中，E,F,P,Q,M,N

分別是棱ABAD,DDs,BBx,AiBi,4。的中點(diǎn)，求證：

(1)直線5G〃平面E尸尸0；

(2)直線AG_L平面PQMN.

證明(1)連接AA,由45CO—AiSGDi是正方體，

^ADi//BCi,

因?yàn)槭謩e是4。，。。的中點(diǎn)，所以尸尸〃AA.

從而BC1//FP.

而尸尸u平面EFPQ，且平面EFPQ，故直線5C〃平面EFPQ.

(2)如圖，連接AC,BD,

則AC1BD.

由CGJ_平面ABCD,5DU平面ABCD,可得CQ±BD.

XAcncCi=c,

所以瓦)，平面ACC.

而AQU平面ACCi,

所以50LAG.

因?yàn)镸,N分別是43,Ai。的中點(diǎn)，所以MN〃:BD,從而MN

±ACi.

同理可證尸NLAG.

又PNCMN=N,所以直線AC，平面PQMN.

8.如圖，在三棱柱A5C—A1BC1中，側(cè)棱垂直于底面，ABA_BC,

AAi=AC=2,BC=1,E,尸分別是4G,5C的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面B1BCG；

(2)求證：G尸〃平面A5E；

(3)求三棱錐E-ABC的體積.

解(1)證明：在三棱柱ABC—A/C1中，551，底面A5C所以

又因?yàn)樗?5,平面S5CG.

所以平面平面BiBCCi.

(2)證明：取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.

因?yàn)镋,尸分別是AiG,的中點(diǎn)，

所以尸G〃AC,且尸G=；AC

E

A|C.

C

因?yàn)锳C〃ACi,且AC=AG,

所以尸G〃EC,且尸G=EC.

所以四邊形尸GEG為平行四邊形.

所以C1F//EG.

又因?yàn)镋GU平面ABE,平面ABE,

所以G尸〃平面A5E.

(3)因?yàn)锳Ai=AC=2,BC=1,AB±BC,所以AB=事己二4=

V3.

所以三棱錐E-ABC的體積

V=^SAABCAAi=TXTX^3XIX2=^^.

?_/J乙J

學(xué)霸錯(cuò)題警示異面直線所成角的概念和范圍不清致誤

「---1

機(jī)已知在空間四邊形A5CZ)中，AB=CD=3,點(diǎn)E、尸分別是邊

和A。上的點(diǎn)，并且5E:EC=AF：FD=1：2,EF=小,求異面

直線AB和CD所成角的大小.

［錯(cuò)解］

啟見）上鼎才運(yùn)B的王普行員G,

走拉%、任，加用的東

A

.△一中,辨卷中白小.

局理,詹△恕。中，GF，艙.

即NE軒就是曲與。付式的缸

忘△漢6中，由GE/CD,CJ>=3,

§-T?懸陽.

龍△船。中，⑨修，的，麴=3,

寮二卷,?2=2.

啟△￡%中，%=/,%=2,日三萬，

由余顯5t理，居cos/EGF二

E—RAE戶__L

正6462?

再從NEG%/沙。.的從直戲用與CP的編發(fā)

為心°.

［錯(cuò)因分析］對(duì)異面直線所成角的概念和范圍不熟悉，誤將圖中

的NEG尸作為所求直線45與CD所成的角.

［正解］在50上取靠近5的三等分點(diǎn)G,連接尸G、GE,如圖

所示.

在△5C。中，亍0EG〃DC

UD

同理，在△A3。中，GF//AB.

所以EG和尸G所成的銳角（或直角）就是異面直線45和C。所成

的角，即NEG尸就是45與CD所成的角或其補(bǔ)角.

EG1

在中，由GE〃CD,CD=3,示=不得￡G=L

FG2

在△AB。中，由尸G〃AB,AB=30=全得尸G=2.

9AJDJ

在△EFG中，EG=1,FG=2,石尸=由，

?人，、e/目EGr+FGr-E^1

由余弦定理，得cosNEGF=-ZEGFG—=一亍

所以NEG尸=120。.所以直線45與CO所成角為60°.

［心得體會(huì)］

身面直栽衿癡的功的克國是（。。,夕。°［法多］

用金荏文理求導(dǎo)面直俄灣或?yàn)闀r(shí)，羽名譏匆的

住核廈召負(fù)值，應(yīng)轉(zhuǎn)化方正面求書第應(yīng)的銳玲

才走用面直戰(zhàn)衿前的笈，肉生易鋪設(shè)地將?導(dǎo)

面直胸衿就為;6O.

M課時(shí)撬分練

時(shí)間：45分鐘

基礎(chǔ)組

1.［2016彳斷水中學(xué)期末］設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,4是兩

個(gè)不同的平面，則下列命題中，其逆命題不成立的是（）

A.當(dāng)c，a時(shí)，若則a〃￡

B.當(dāng)bua時(shí)，若bl/3,則a_L￡

C.當(dāng)Z?Ua,且c是a在a內(nèi)的射影時(shí)，若bJ_c,則a_LZ?

D.當(dāng)Z?Ua,且cOa時(shí)，若c〃a,則人〃c

答案B

解析A的逆命題為：當(dāng)c，a時(shí)，若a〃夕，則C夕，由線面垂

直的性質(zhì)知c_L￡；B的逆命題為：當(dāng)Z?Ua時(shí)，若a_L￡,則b_L￡,顯

然錯(cuò)誤;C的逆命題為：當(dāng)Z?Ua,且c是。在a內(nèi)的射影時(shí)，若a_L

b,則。，c,由三垂線的逆定理知。，c；D的逆命題為：當(dāng)bua,且

時(shí)，若》〃c,則￡：〃如由線面平行的判定定理可得c〃a.故選B.

2.[2016箱水二中熱身]對(duì)于空間的兩條直線m,n和一個(gè)平面a,

下列命題中的真命題是（）

A.若加〃a,n//a,則加〃八B.若加〃a,nUa,則加〃“

C.若機(jī)〃a,〃_La,則機(jī)D.若機(jī)J_a,〃_La,則機(jī)

答案D

解析對(duì)A,直線機(jī)，〃可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)

B,直線機(jī)與〃可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C,m與n垂

直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,垂直于同一平面的兩直線平行，故D

正確.

3.[2016?武邑中學(xué)期末]已知直線a和平面a,￡,aA￡=/,ada,

a耶,且。在a,夕內(nèi)的射影分別為直線》和c,則直線。和c的位置

關(guān)系是（）

A.相交或平行B.相交或異面

C.平行或異面D.相交、平行或異面

答案D

解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，

故選D.

4.[2016彳斷水二中預(yù)測(cè)]已知a,b,c為三條不同的直線，且a

u平面M,0u平面N,MAN=c.①若a與。是異面直線，則c至少

與a,8中的一條相交；②若。不垂直于c,則。與》一定不垂直；

③若a〃兒則必有“〃c；④若a±c,則必有MLN.其中正確

命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析命題①③正確，命題②④錯(cuò)誤.其中命題②中。和8有可

能垂直；命題④中當(dāng)b〃c時(shí)，平面V,N有可能不垂直，故選C

5.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)月考]已知正四棱柱A5C。一AbBCiA中，AAi

=2AB,E是的中點(diǎn)，則異面直線與5E所成角的余弦值為

)

A-5B,10

「巫

JoD1

答案B

解析如圖,連接AiA由題意知AiDi5C,所以四邊形AiDiCB

為平行四邊形，故Z)C〃AiA所以NA/E為異面直線DC與5E所成

的角.不妨設(shè)A4i=2A5=2,則AiE=l,BE=j,AiB=y[5,在4

AiBE中，

4山2+成一AE

cosNA1BE=2ABEB

5+2—13y[Td,,、*

=2XV5XA/2=10'故選B-

6.[2016彳斷水二中猜題]設(shè)a,b,c是空間中的三條直線，下面給

出四個(gè)命題：

①若a〃Z?,b//c,則a〃c；

②若a_Lb,b-Lc,則a〃c；

③若。與8相交，8與C相交，則。與C相交；

④若QU平面a,Z?u平面.，則q,Z?一定是異面直線.

上述命題中正確的命題是（寫出所有正確命題的序號(hào)）.

答案①

解析由公理4知①正確；當(dāng)a_LZ?,Z?_Lc時(shí)，。與c可以相交、

平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)。與。相交，。與c相交時(shí)，。與c可以相

交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；aUa,bY，并不能說明a與b“不

同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò).

7.[2016彳斷水二中一輪檢測(cè)]如圖，在直三棱柱A5C—A1BC1中,

ZACB=90°,AAi=2,AC^BC=1,則異面直線45與4。所成角

的余弦值是.

套案近

口木6

解析由于AC〃4G,所以NB4G（或其補(bǔ)角）就是所求異面直

線所成的角.在△R41G中，AiB=AC=l,BCi=小,cosNA41G

6+1~5y/6

—2冊(cè)XI—6-

8.[2016?冀州中學(xué)周測(cè)]如圖所示，在四面體A5CZ）中,E、F分

別是AC、50的中點(diǎn)，若CD=2A5=2,EFLAB,則E尸與CD所成

的角等于.

c

答案30。

C

解析如圖所示，設(shè)”為D4的中點(diǎn)，連接”尸，HE,則易得

FHEF.在RtAEFH中，HE=1,HF=g,

：.ZHEF=30°,即E/與CD所成的角為30。.

9.[2016?冀州中學(xué)熱身]如圖所示,正方形中，E,尸分別

是A5,的中點(diǎn)，將此正方形沿E廠折成直二面角后，異面直線A尸

答案I

解析過尸點(diǎn)作加過A點(diǎn)作EF的垂線4G,垂足為G

連接HG,HE,A”.如圖

設(shè)正方形A5CZ）的邊長為2,?.?平面4EZU平面5CZ）尸E,且AG

LEF,「.46,平面3C。尸E.

?：BE=BH=AE=AF=\,:.EH=EF=#?:G為E尸的中點(diǎn)，

，EG=乎，AG=*.又，：HF=2,：.ZHEG=90°,

：.在RtAEHG中，

吁7臣+（"華

：.在RtAAGH中,

A"=A/哨2+閆2=小.

■:HF//BE,：.AF與BE所成的角即為/AFH.在AAHF中,AF

=1,HF=2,AH=事,：.ZHAF=90°,

AF1

?.cos/AFH—HF—2,

10.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)周測(cè)]如圖,在正方體A5CD—4中學(xué)A中,

M,N分別是棱CD,CG的中點(diǎn)，則異面直線A]〃與。N所成的角

的大小是.

答案90°

解析連接。1”,則。為在平面。CGA上的射影，在

正方形OCGA中，\'M,N分別是CD,CG的中點(diǎn)，：.DiM±DN,

由三垂線定理得4MLON.即異面直線AiM與。N所成的角為90°.

11.[2016?冀州中學(xué)預(yù)測(cè)]在三棱錐S-ACB中，ZSAB=ZSAC

=ZACB^9Q°,AC=2,BC=y[13,SB=?,則SC與A5所成角

的余弦值為.

套u(yù)案J7

解析如圖，取5C的中點(diǎn)E,分別在平面A5C內(nèi)作。石〃AS

在平面SBC內(nèi)作EF//SC,則異面直線SC與A5所成的角為NFED,

過尸作尸GLAS連接OG,則△。尸G為直角三角形.

由題知AC=2,BC=^13,SB=\[29,可得Z)E=呼，EF=2,

5DEr+EF2—DF^

DF宮,在ADEF中，由余弦定理可得cos/DEF=-指而后一=

ZZD乜?乜r

V17

17,

12.[2016彳斷水二中期中]如圖所示，在四棱錐尸一A5C。中，底

面是邊長為2的菱形，NQA5=60。，對(duì)角線AC與5。交于點(diǎn)O,P0

，平面45cZ),05與平面A5C。所成角為60。.

(1)求四棱錐的體積；

(2)若E是05的中點(diǎn)，求異面直線DE與B4所成角的余弦值.

解(1)在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，;尸。，平面4BCD,/.ZPBO

是P5與平面A5CZ)所成的角，即NP5O=60。.

在RtAAOB中,\'AB=2,/.BO=ABsin30o=1.

在RtAPOB中，,:POLOB,

：.PO=BO-tSLn6Q°=\[3,

???底面菱形的面積S=2X；X2X2X乎=2小，

/.四棱錐P-ABCD的體積VP_ABCD=3X2小X小=2.

(2)如圖所示，取AB的中點(diǎn)/，連接EEDF.

■:E為PB中點(diǎn)，

.'.EF//PA,

.二NDEF為異面直線DE與孰所成角(或其補(bǔ)角).

在RtAAOB中，

AO=AB-cos30°=5=OP,

.?.在Rt△尸OA中，B4=V6,：.EF=*.

在正三角形45。和正三角形PZ用中，。尸=Z)E=小，由余弦定

…DC+EO—DF2

理傳cos/DEF=2DEEF

(5>+]用2—(小)2)也

2fx坐.3一

...異面直線DE與熱所成角的余弦值為5.

能力組

13.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)模擬]已知羽、〃為異面直線，加u平面打，〃u

平面夕，aC0=l,則/()

A.馬m、n都相交

B.與根、〃至少一條相交

C.馬m、〃都不相交

D.至多與機(jī)、”中的一條相交

答案B

解析若I與m、〃都不相交，則/〃機(jī)，I//n.