遼寧省沈陽市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

遼寧省沈陽市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一.選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法．下面四個圖形是證明勾股定理的圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝33．（3分）若a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．＞ B．﹣2a＜﹣2b C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣m＞b﹣m4．（3分）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．335．（3分）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab?2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣26．（3分）不等式6﹣2x≥3x﹣4的正整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（3分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣2）和點(diǎn)B（﹣2，0），直線y＝2x過點(diǎn)A，則不等式2x＜kx+b＜0的解集為（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜08．（3分）下列真命題中，它的逆命題也是真命題的是（）A．全等三角形的對應(yīng)角相等 B．等邊三角形是銳角三角形 C．兩直線平行，同位角相等 D．對頂角相等9．（3分）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC上，且BD+AD＝BC，則點(diǎn)D在（）A．AC的垂直平分線上 B．∠BAC的平分線上 C．BC的中點(diǎn) D．AB的垂直平分線上10．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°二.填空題（每題3分，共15分）11．（3分）分解因式：y2+2y＝．12．（3分）已知4x2+ax+16是完全平方式，則a的值為．13．（3分）等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是21，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則BM+DM的最小值為．14．（3分）分式方程+＝1的解為．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∠BAO＝60°，點(diǎn)C（﹣4，0），點(diǎn)D（﹣5，3）在線段AB上，將線段CD沿射線AB方向平移，平移過程中的線段記為C1D1，點(diǎn)G是y軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)△C1D1G為等腰直角三角形（G點(diǎn)在C1D1右側(cè)）時，平移的距離為．三.解答題（本題共8小題，共75分）16．（6分）解不等式組：．17．（10分）因式分解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．18．（7分）先化簡，再求值÷（a+2﹣），其中a＝﹣2．19．（8分）如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC垂足為F，且BD＝CD．（1）求證：BE＝CF；（2）若BD∥AC，AB＝5，DF＝4，則AC＝．20．（10分）某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元．經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費(fèi)用，然后給予其余游客八折優(yōu)惠．設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時，所需的費(fèi)用為y1元；選擇乙旅行社時，所需的費(fèi)用為y2元．（1）請分別寫出y1，y2與x之間關(guān)系式；（2）該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？21．（10分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：若點(diǎn)P滿足PA＝PB，則稱P為線段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時，稱P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB＜180°時，稱P為線段AB的“近軸點(diǎn)”．（1）如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），則在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，線段AB的“軸點(diǎn)”是；線段AB的“近軸點(diǎn)”是．（2）如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝45°，若P為線段AB的“近軸點(diǎn)”，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值時，求PO長．22．（12分）某中學(xué)為了豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育用品商店購買一些足球和籃球，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個籃球的價錢比足球的價錢高出60%，用1760元購買籃球的個數(shù)比用850元購買足球的個數(shù)多5個．（1）購買一個足球、一個籃球分別需要多少元？（2）該中學(xué)根據(jù)實(shí)際情況，需從該體育用品商店一次性購買兩種球共96個，且購買兩種球的總費(fèi)用不超過5720元，求這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球？23．（12分）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為1，，，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以以AP為一邊在AP右側(cè)做等邊三角形APP′，連接CP′，此時可證△ACP′≌△ABP，這樣就可以將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；（2）基本運(yùn)用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題．已知，如圖②，點(diǎn)P為等邊△ABC外一點(diǎn)，∠APC＝30°，BP＝，AP＝3，求PC長．（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，線段BD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)△ABE為直角三角形時，求△ABE面積．參考答案與試題解析一.選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法．下面四個圖形是證明勾股定理的圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．2．（3分）使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3【解答】解：由分式有意義，得x﹣3≠0，解得x≠3，故選：A．3．（3分）若a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．＞ B．﹣2a＜﹣2b C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)﹣m＞b﹣m【解答】解：A．∵a＞b，∴，故A不符合題意；B．∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故B不符合題意；C．a(chǎn)＞b，不妨設(shè)a＝1，b＝﹣2，則a2＜b2，故C符合題意；D．∵a＞b，∴a﹣m＞b﹣m，故D不符合題意；故選：C．4．（3分）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【解答】解：過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周長是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故選：B．5．（3分）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab?2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2【解答】解：A．6a2b2＝3ab?2ab，等式的左邊不是一個多項(xiàng)式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2，不是把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．6．（3分）不等式6﹣2x≥3x﹣4的正整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：6﹣2x≥3x﹣4，移項(xiàng)，得﹣2x﹣3x≥﹣4﹣6，合并同類項(xiàng)，得﹣5x≥﹣10，系數(shù)化為1，得x≤2，所以，該不等式的正整數(shù)解為1，2，共計2個．故選：B．7．（3分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣2）和點(diǎn)B（﹣2，0），直線y＝2x過點(diǎn)A，則不等式2x＜kx+b＜0的解集為（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0【解答】解：不等式2x＜kx+b＜0體現(xiàn)的幾何意義就是直線y＝kx+b上，位于直線y＝2x上方，x軸下方的那部分點(diǎn)，顯然，這些點(diǎn)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間．故選：B．8．（3分）下列真命題中，它的逆命題也是真命題的是（）A．全等三角形的對應(yīng)角相等 B．等邊三角形是銳角三角形 C．兩直線平行，同位角相等 D．對頂角相等【解答】解：A、逆命題為：對應(yīng)角相等的三角形全等，錯誤，為假命題，不符合題意；B、逆命題為：銳角三角形是等邊三角形，錯誤，為假命題，不符合題意；C、逆命題為：同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，符合題意；D、逆命題為：相等的角為對頂角，錯誤，為假命題，不符合題意；故選：C．9．（3分）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC上，且BD+AD＝BC，則點(diǎn)D在（）A．AC的垂直平分線上 B．∠BAC的平分線上 C．BC的中點(diǎn) D．AB的垂直平分線上【解答】解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，∴DC＝DA，∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，故選：A．10．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：根據(jù)題意，∵DE⊥AC，∠CAD＝25°，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是50°；故選：B．二.填空題（每題3分，共15分）11．（3分）分解因式：y2+2y＝y(tǒng)（y+2）．【解答】解：y2+2y＝y(tǒng)（y+2）．故答案為：y（y+2）．12．（3分）已知4x2+ax+16是完全平方式，則a的值為±16．【解答】解：∵4x2+ax+16＝（2x）2+ax+42，∴ax＝±2×2×4x＝±16x，解得m＝±16，故答案為：±16．13．（3分）等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是21，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則BM+DM的最小值為7．【解答】解：如圖，連接AD．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝?BC?AD＝×6×AD＝21，∴AD＝7，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為BM+MD的最小值，最小值為7．故答案為：7．14．（3分）分式方程+＝1的解為x＝3．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是分式方程的解，故答案為：x＝3．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∠BAO＝60°，點(diǎn)C（﹣4，0），點(diǎn)D（﹣5，3）在線段AB上，將線段CD沿射線AB方向平移，平移過程中的線段記為C1D1，點(diǎn)G是y軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)△C1D1G為等腰直角三角形（G點(diǎn)在C1D1右側(cè)）時，平移的距離為2或4或6．【解答】解：當(dāng)∠C1D1G＝90°時，過點(diǎn)D1作x軸的垂線，過點(diǎn)C1作C1N⊥MN于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GM⊥MN于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DP⊥MN于點(diǎn)P，由題意得：C1N＝1，D1N＝3，∵△C1D1G為等腰直角三角形，∴∠C1D1G＝90°，C1D1＝GD1，∵∠MGD1+∠MD1G＝90°，∠MD1G+∠ND1C1＝90°，∴∠MGD1＝∠ND1C1，∴△MGD1≌△ND1C1（AAS），∴MG＝D1N＝3，∴D1的橫坐標(biāo)為﹣3，∴DP＝2，∴DD1＝4，∴平移的距離為4；當(dāng)∠D1C1G＝90°時，同理可得：D1的橫坐標(biāo)為﹣4，∴DD1＝2，∴平移的距離為2；當(dāng)∠D1GC1＝90°時，同理可得：△MGD1≌△NC1G（AAS），∴MG＝NC1＝a，MD1＝GN＝3﹣a＝a+1，∴a＝1，∴D1的橫坐標(biāo)為﹣2，∴DD1＝6，∴平移的距離為6；綜上所述，平移的距離為2或4或6．三.解答題（本題共8小題，共75分）16．（6分）解不等式組：．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，∴不等式組的解集為﹣3＜x≤2．17．（10分）因式分解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．【解答】解：（1）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b）＝（a﹣b）（m2﹣4n2）＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）；（2）原式＝﹣a（a2﹣2ab+b2）＝﹣a（a﹣b）2．18．（7分）先化簡，再求值÷（a+2﹣），其中a＝﹣2．【解答】解：原式＝﹣÷＝﹣÷＝﹣?＝﹣＝﹣，當(dāng)a＝﹣2時，原式＝﹣＝﹣．19．（8分）如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC垂足為F，且BD＝CD．（1）求證：BE＝CF；（2）若BD∥AC，AB＝5，DF＝4，則AC＝11．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC垂足為F，∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵BD∥AC，∴∠EBD＝∠BAC，又∵AD平分∠BAC，∴∠EBD＝2∠EAD，又∵∠BAD+∠BDA＝∠EBD，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝BA＝5，在Rt△BED中，DE＝DF＝4，BD＝5，∴BE＝，∴CF＝BE＝3，在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AF＝AE＝AB+BE＝5+3＝8，∴AC＝AF+CF＝8+3＝11，故答案為：11．20．（10分）某單位計劃在新年期間組織員工到某地旅游，參加旅游的人數(shù)估計為10至25人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人200元．經(jīng)過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費(fèi)用，然后給予其余游客八折優(yōu)惠．設(shè)該單位參加這次旅游的人數(shù)是x人，選擇甲旅行社時，所需的費(fèi)用為y1元；選擇乙旅行社時，所需的費(fèi)用為y2元．（1）請分別寫出y1，y2與x之間關(guān)系式；（2）該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？【解答】解：（1）由題意可知：y1＝200×75%×x＝150x，（10≤x≤25），y2＝200×80%（x﹣1）＝160x﹣160，（10≤x≤25），答：y1＝150x（10≤x≤25），y2＝160x﹣160（10≤x≤25）．（2）當(dāng)150x＝160x﹣160時，解得：x＝16．即人數(shù)為16時，兩家費(fèi)用一樣．當(dāng)150x＜160x﹣160時，解得：x＞16．即16＜x≤25時，甲旅行社費(fèi)用較少．當(dāng)150x＞160x﹣160時，解得：x＜16．即10≤x＜16時，乙旅行社費(fèi)用較少．答：當(dāng)人數(shù)為16人時，兩家均可選擇，當(dāng)人數(shù)10≤x＜16時選擇乙旅行社，當(dāng)人數(shù)16＜x≤25時，選擇甲旅行社．21．（10分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：若點(diǎn)P滿足PA＝PB，則稱P為線段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時，稱P為線段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB＜180°時，稱P為線段AB的“近軸點(diǎn)”．（1）如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），則在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，線段AB的“軸點(diǎn)”是P2、P3、P4；線段AB的“近軸點(diǎn)”是P2、P3．（2）如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝45°，若P為線段AB的“近軸點(diǎn)”，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值時，求PO長．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），∴點(diǎn)A、點(diǎn)B的軸點(diǎn)是y軸上的點(diǎn)，∵AB＝4，以AB為邊的等邊三角形的第三個頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對值為＝2，∴遠(yuǎn)近軸點(diǎn)的分界點(diǎn)為（0，2）或（0，﹣2），當(dāng)點(diǎn)P在以AB為邊的等邊三角形內(nèi)部時，60°≤∠APB≤180°，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)﹣2≤y≤2，點(diǎn)P為近軸點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在以AB為邊的等邊三角形外部時，0＜∠APB≤60°，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y＜﹣2或y＞2，點(diǎn)P為遠(yuǎn)軸點(diǎn)，∴P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，是軸點(diǎn)的有P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4），∵﹣2＜﹣1＜0，點(diǎn)P3為近軸點(diǎn)，0，點(diǎn)P2為近軸點(diǎn)，2＜4，點(diǎn)P4為遠(yuǎn)軸點(diǎn)．故答案為：P2、P3、P4；P2、P3．（2）如圖，作線段AB的垂直平分線OP，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝45°，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），由軸點(diǎn)定義可知，線段AB的軸點(diǎn)分布在直線y＝x圖象上，當(dāng)點(diǎn)P為線段AB的“近軸點(diǎn)”，且P點(diǎn)橫坐標(biāo)取最大值時，點(diǎn)P在如圖所示位置，此時∠APB＝60°，AB＝＝2，△ABP為等邊三角形，∴OP＝OD+DP＝1+．22．（12分）某中學(xué)為了豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育用品商店購買一些足球和籃球，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個籃球的價錢比足球的價錢高出60%，用1760元購買籃球的個數(shù)比用850元購買足球的個數(shù)多5個．（1）購買一個足球、一個籃球分別需要多少元？（2）該中學(xué)根據(jù)實(shí)際情況，需從該體育用品商店一次性購買兩種球共96個，且購買兩種球的總費(fèi)用不超過5720元，求這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球？【解答】解：（1）設(shè)購買一個足球需要x元，則購買一個籃球需要（1+60%）x元，由題意得：﹣＝5，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+60%）x＝1.6×50＝80，答：購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80元；（2）設(shè)這所中學(xué)可以購買m個籃球，則購買（96﹣m）個足球，依題意得：80m+50（96﹣m）≤5720，解得：m≤30，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為30，答：這所中學(xué)最多可以購買30個籃球．23．（12分）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為1，，，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以以AP為一邊在AP右側(cè)做等邊三角形APP′，連接CP′，此時可證△ACP′≌△ABP，這樣就