-0407-定積分的幾何應(yīng)用(部編)課件

一、定積分的微元法二、用定積分求平面圖形的面積㈠、在直角坐標(biāo)系中求平面圖形的面積㈡、在極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積三、用定積分求體積㈡、旋轉(zhuǎn)體的體積四、平面曲線的弧長第一節(jié)定積分的幾何應(yīng)用

微元法是運用定積分解決實際問題的常用方法.

定積分所要解決的問題是求非均勻分布的整體量（如:曲邊梯形面積).

采用“分割取近似,求和取極限”的四個步驟,通過分割將整體問題化為局部問題,以均勻代替非均勻（或以直代曲)求得近似值,再通過求和取極限得到精確值.

其中第二步是關(guān)鍵.

下面先回顧求曲邊梯形面積的四個步驟

一、定積分的微元法⑵確定各部分量的近似值(小矩形面積);⑴分割區(qū)間[a,b],將所求量(曲邊梯形面積)

分為部分量(小曲邊梯形面積）之和;

求曲邊梯形面積的四個步驟:⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面積之和);⑷對和式取極限得所求量的精確值（曲邊梯形面積）.于是面積就是將這些微元在區(qū)間上的“無限累加”,即從到的定積分.這個方法通常稱為微元分析法,簡稱微元法.其中形式與積分式中的被積式具有相同的形式.如果把用

替代,用替代,這樣上述四個步驟簡化為兩步：第二步找到面積微元求定積分.第一步選取積分變量并確定其范圍；概括可得：凡是具有可加性連續(xù)分布的非均勻量的求和問題,一般可通過微元法得到解決．操作步驟：⑴建立坐標(biāo)系,選取積分變量并確定積分區(qū)間；⑵找到相應(yīng)的微元；⑶以此微元作積分表達式,在積分區(qū)間上求定積分.微元法在自然科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用．由微元法分析：其中面積微元為，它表示高為、底為的一個矩形面積.㈠、在直角坐標(biāo)系中求平面圖形的面積⒈⑴由定積分幾何意義可知,當(dāng)時,由曲線，直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積為定積分即

二、用定積分求平面圖形的面積⑵由定積分幾何意義可知,當(dāng)時,由曲線，直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積A為.⑶當(dāng)在區(qū)間上的值有正有負時，則曲線，直線與軸圍成的面積是在軸上方和下方曲邊梯形面積的差.

同樣可由微元法分析其中面積微元為.⒉一般地，根據(jù)微元法由曲線及直線所圍的圖形（如圖所示）的面積為[注意]：曲線的上下位置[由微元法分析]：

(1)在區(qū)間上任取小區(qū)間,在此小區(qū)間上的圖形面積近似于高為,底為的小矩形面積,從而得面積微元為(2)以為被積表達式,在區(qū)間作定積分就是所求圖形的面積.類似地,由曲線及直線所圍成的平面圖形(如圖所示)的面積為其中面積微元[注意]：曲線的左右位置.利用微元法求面積：例1

計算由兩條拋物線所圍成圖形的面積．解:⑴作出圖形，確定積分變量，解方程組

得兩條拋物線的交點為

(0,0)和(1,1)，則積分區(qū)間為[0,1]．（如右圖所示）⑵在積分區(qū)間[0,1]上任取一小區(qū)間，與之相應(yīng)的窄條的面積近似地等于高為、底為的矩形面積（如上頁圖中陰影部分的面積）,

從而得面積微元求定積分得所求圖形面積為解:(方法一)(1)作圖，選定為積分變量，解方程組

得兩曲線的交點為(1,1)，可知積分區(qū)間為[0,1].

（如右圖所示）例２:求曲線與軸圍成平面圖形的面積．

(2)在區(qū)間[0,1]上任取小區(qū)間，對應(yīng)的窄條面積近似于高為底為的矩形面積，從而面積微元為（3）所求圖形的面積為

在[0,1]上的微元為

在[1,2]上的微元為

解:(方法二)若選取作為積分變量，容易得出積分區(qū)間為[0,2]，但要注意，面積微元在[0,1]和[1,2]兩部分區(qū)間上的表達式不同（如下圖所示）故所求面積為

這種解法比較繁瑣，因此，選取適當(dāng)?shù)姆e分變量，可使問題簡化．另外，還應(yīng)注意利用圖形的特點（如對稱性），以簡化分析、運算．解

由右圖所示選取為積分變量，記第一象限內(nèi)陰影部分的面積為，利用函數(shù)圖形的對稱性，例3

求與半圓所圍圖形的面積．可得圖形的面積為:[步驟]：⑴作草圖，確定積分變量和積分限；⑵求出面積微元；⑶計算定積分．[注意]：⑴積分變量選取要適當(dāng)；⑵合理利用圖形的特點（如對稱性）.即曲邊扇形的面積微元為曲邊扇形的面積為㈡、在極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積計算由曲線及射線圍成的曲邊扇形的面積（如下圖所示）．利用微元法，取極角為積分變量，它的變化區(qū)間為.在任意小區(qū)間上相應(yīng)的小曲邊扇形的面積可用半徑為中心角為的圓扇形的面積近似代替，

解:

取為積分變量,

面積微元為于是例４計算阿基米德螺線上對應(yīng)于從０變到的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積.（右圖所示）

例5

計算雙紐線所圍成的平面圖形的面積（下圖所示）解因,故的變化范圍是,

圖形關(guān)于極點和極軸均對稱．面積微元為故所求面積為設(shè)一立體介于過點且垂直于軸的兩平面之間，如果立體過且垂直于軸的截面面積為的已知連續(xù)函數(shù)，則稱此立體為平行截面面積已知的立體，如右圖所示．㈠、平行截面面積已知的立體體積．下面利用微元法計算它的體積．三、用定積分求體積于是所求立體的體積為即體積微元為取為積分變量,它的變化區(qū)間為,立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的薄片的體積近似等于底面積為,高為的扁柱體的體積(右圖所示)，解：(法一)

取平面與圓柱體底面的交線為軸,底面上過圓中心且垂直于軸的直線為軸,建立坐標(biāo)系.如右圖所示此時,底圓的方程為

立體中過點且垂直于軸的截面是一個直角三角形.例6

一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角(如下圖)，計算這個平面截圓柱所得立體的體積.它的兩條直角邊的長度分別是及即及于是截面面積為故所求立體的體積為

(法二)

取坐標(biāo)系同上（下圖所示），過軸上點作垂直于軸的截面,則截得矩形,

其高為、底為,從而截面面積為于是所求立體的體積為從而,所求的體積為㈡、旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)用定積分計算由曲線直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積（下圖所示）取為積分變量,其變化區(qū)間為,由于過點且垂直于軸的平面截得旋轉(zhuǎn)體的截面是半徑為的圓,其面積為該旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地,若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的圖形,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成(下圖所示),解：如右圖所示,所求體積

例７

求由曲線與直線及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例8

求底圓半徑為高為的圓錐體的體積．解以圓錐體的軸線為軸，頂點為原點建立直角坐標(biāo)系（下圖所示）過原點及點的直線方程為．此圓錐可看成由直線

及軸所圍成的三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而成，故其體積為

設(shè)有一條光滑曲線弧,現(xiàn)在計算它的長度（稱為弧長）．所謂光滑曲線是指曲線在上連續(xù)，在內(nèi)各點存在不垂直于軸的切線，并且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動；即在上連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)．四、平面曲線的弧長以為積分變量，相應(yīng)于上任一小區(qū)間的一段弧長可用曲線在點處切線上相應(yīng)小段直線的長度來近似代替（如上圖所示）．切線上小段直線的長度為因而弧長微元（也稱為弧微分）為從到積分得例9

求曲線