2024八年級數(shù)學下冊第11講三角形的中位線與反證法核心考點講與練含解析新版浙教版

Page1第11講三角形的中位線與反證法（核心考點講與練）一．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．二．反證法（1）對于一個命題，當運用干脆證法比較困難時，可以接受間接證法，反證法就是一個間接證法．反證法主要適合的證明類型有：①命題的結論是否定型的．②命題的結論是無限型的．③命題的結論是“至多”或“至少”型的．（2）反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．一．三角形中位線定理（共8小題）1．（乾縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分別是AC、AB的中點，則DE的長是（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．【分析】依據(jù)勾股定理求出BC，依據(jù)三角形中位線定理求出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則BC＝＝＝12，∵D、E分別是AC、AB的中點，∴DE＝BC＝6，故選：B．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．2．（武安市期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（）A．3 B．2 C．4 D．2【分析】連接DN、DB，依據(jù)勾股定理求出BD，依據(jù)三角形中位線定理得到EF＝DN，結合圖形解答即可．【解答】解：連接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，∴EF＝DN，由題意得，當點N與點B重合是DN最大，最大值為4，∴EF長度的最大值為2，故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，駕馭三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．3．（溫州期末）如圖，為測量BC兩地的距離，小明在池塘外取點A，得到線段AB，AC，并取AB，AC的中點D，E，連結DE．測得DE的長為6米，則B，C兩地相距（）A．9米 B．10米 C．11米 D．12米【分析】依據(jù)三角形中位線定理即可求出BC．【解答】解：∵點D，E分別為AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．4．（麗水期末）如圖①是公園蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，點C為橫板AB的中點．小明和小聰去玩蹺蹺板，小明最高能將小聰翹到1米高（如圖②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聰最高翹到1.25米高，請你幫他找出一種方法，并解答．【分析】（1）依據(jù)三角形中位線定理求出OC；（2）依據(jù)AD的長度求出OC的長度，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：OC∥AD，∵點C為AB的中點，∴OC為△ABD的中位線，∴OC＝AD，∵AD＝1米，∴OC＝米；（2）要把小聰最高翹到1.25米高，立柱OC的高度要上升為0.625米．當AD＝1.25米時，OC＝0.625米，所以要把小聰最高翹到1.25米高，立柱OC的高度要上升為0.625米．【點評】本題考查的是三角形中位線定理的應用，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．5．（北侖區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是邊CD和AB的中點，若∠PEF＝30°，則下列說法錯誤的是（）A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB【分析】依據(jù)三角形中位線定理及AD＝BC推出PF＝PE，可推斷A；依據(jù)等腰三角形的性質和三角形內(nèi)角和定理可推斷B；依據(jù)三角形三邊關系可推斷C．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故選項A不合題意；故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故選項B不符合題意；∵PF＝BC，PE＝AD，PE+PF＞EF，∴BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，故選項C不符合題意；無法證明AB+CD＞DB，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，三角形三邊關系，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理，依據(jù)三角形中位線定理推出PE＝PF是解決問題的關鍵．6．（鄞州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，點M是對角線AC的中點，點N是AD邊的中點，連結BM，MN，若BM＝3MN，則線段CD的長是（）A． B．3 C． D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的長度，結合直角三角形斜邊上中線的性質得到BM＝AC，三角形中位線定理得到CD＝2MN．【解答】解：如圖，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，則由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵點N是AD邊的中點，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵點M是對角線AC的中點，點N是AD邊的中點，∴MN是△ACD的中位線．∵CD＝2MN＝2×＝．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．7．（梓潼縣模擬）如圖，已知△ABC中，點M是BC邊上的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，若AB＝8，MN＝2，則AC的長為（）A．12 B．11 C．10 D．9【分析】延長BN交AC于D，證明△ANB≌△AND，依據(jù)全等三角形的性質、三角形中位線定理計算即可．【解答】解：如圖，延長BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴MN是△BCD的中位線，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故選：A．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，關鍵是駕馭三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．8．（內(nèi)江期末）如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD＝BC，∠EPF＝140°，則∠EFP的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°【分析】依據(jù)三角形中位線定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，依據(jù)等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵P是BD的中點，E是AB的中點，∴PE是△ABD的中位線，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．二．反證法（共6小題）9．（平陽縣期中）用反證法證明三角形至少有一個角不大于60°，應假設（）A．三個角都小于60° B．三個角都大于60° C．三個角都大于或等于60° D．有兩個角大于60°【分析】依據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立解答．【解答】解：反證法證明三角形至少有一個角不大于60°，應假設三個角都大于60°，故選：B．【點評】本題考查的是反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．10．（樂清市期末）用反證法證明命題“假如a∥b，c∥b，那么a∥c”時，應假設（）A．a(chǎn)⊥c B．c不平行b C．a(chǎn)不平行b D．a(chǎn)不平行c【分析】反證法證明命題的第一步是假設結論不成立，即結論的反面成立．【解答】解：用反證法證明命題“假如a∥b，b∥c，那么a∥c”時，應假設a不平行于c．故選：D．【點評】本題考查了反證法的學問，反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設動身推出沖突；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．11．（南潯區(qū)期末）用反證法證明某個命題的結論“a＞0”時，第一步應假設（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤0【分析】用反證法證明命題的真假，先假設命題的結論不成立，從這個結論動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；由沖突判定假設不正確，從而確定命題的結論正確．【解答】解：用反證法證明某個命題的結論“a＞0”時，第一步應假設a≤0，故選：D．【點評】考查了反證法，反證法是指“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設動身，依據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相沖突的結果．這樣，就證明白結論的否定不成立，從而間接地確定了原命題的結論成立．”12．（慶元縣校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）【分析】運用反證法進行求解：（1）假設結論PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）從假設動身推出與已知相沖突．（3）得到假設不成立，則結論成立．【解答】證明：假設PB≥PC．把△ABP繞點A逆時針旋轉，使B與C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，與∠APB＞∠APC沖突，∴PB≥PC不成立，綜上所述，得：PB＜PC．【點評】此題主要考查了反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．13．（蕭山區(qū)期末）證明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．【分析】利用反證法的步驟，首先假設原命題錯誤，進而得出與三角形內(nèi)角和定理沖突，從而證明原命題正確．【解答】證明：假設△ABC中每個內(nèi)角都小于60°，則∠A+∠B+∠C＜180°，這與三角形內(nèi)角和定理沖突，故假設錯誤，即原結論成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．【點評】此題主要考查了反證法，正確把握反證法的證明步驟是解題關鍵．14．（濱江區(qū)期中）用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．證明：假設求證的結論不成立，那么三角形中全部角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°這與三角形的三內(nèi)角和為180°相沖突．∴假設不成立∴三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．【分析】依據(jù)反證法證明方法，先假設結論不成立，然后得到與定理沖突，從而證得原結論成立．【解答】證明：假設求證的結論不成立，那么三角形中全部角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形的三內(nèi)角和為180°相沖突．∴假設不成立，∴三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．故答案為：三角形中全部角都大于60°；180°；的三內(nèi)角和為180°；三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．【點評】本題結合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設動身推出沖突；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．

題組A基礎過關練一．選擇題（共11小題）1．（太谷區(qū)校級開學）如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則PQ：BC等于（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7【分析】連接DE，連接并延長EP交BC于點F，利用DE是△ABC中位線，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位線，PQ＝CF，即可求得答案．【解答】解：連接DE，連接并延長EP交BC于點F，∵DE是△ABC中位線，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中點，∴DP＝BP，∵在△DEP與△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF＝DE＝BC，P是EF中點，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位線，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故選：A．【點評】此題考查學生對三角形中位線定理的理解與駕馭，連接DE，連接并延長EP交BC于點F，求出△DEP≌△BFP，F(xiàn)C＝BC，是解答此題的關鍵．2．（上城區(qū)校級期末）用反證法證明“a＞b”時應假設（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成馬上可．【解答】解：用反證法證明“a＞b”時第一步應假設：a≤b．故選：D．【點評】本題結合角的比較考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．3．（寧波模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，AF⊥BC，垂足為點F，∠ADE＝30°，DF＝3，則BF的長為（）A．4 B．2 C．3 D．4【分析】先利用直角三角形斜邊中線性質求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AF即可解決問題．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3．故選：C．【點評】本題考查三角形中位線性質、含30度角的直角三角形性質、直角三角形斜邊中線性質、勾股定理等學問，解題的關鍵是靈敏應用這些學問解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（上城區(qū)期末）用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC【分析】干脆利用反證法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設∠B≥90°．故選：A．【點評】此題主要考查了反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．5．（永嘉縣期末）用反證法證明“同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”．時，第一步應先假設（）A．a(chǎn)不平行于b B．c不平行于b C．a(chǎn)不垂直于c D．b不垂直于c【分析】依據(jù)反證法的第一步是假設結論不成立進而解答即可．【解答】解：原命題“同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，用反證法時應假設結論不成立，即假設a與b不平行（或a與b相交）．故選：A．【點評】本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設動身推出沖突；（3）假設不成立，則結論成立．6．（南崗區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，連接EF，AD＝3，CD＝1，則EF的長為（）A． B． C． D．【分析】連接AC，依據(jù)勾股定理得到AC＝＝，由三角形的中位線的性質定理即可得到結論．【解答】解：連接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，∴AC＝＝，∵AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，三角形中位線定理，正確的作出幫助線是解題的關鍵．7．（婺城區(qū)校級期末）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，則EF的長為（）A．2.5 B．1.5 C．4 D．5【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位線定理可得DE＝4，進而可得答案．【解答】解：∵D為AB中點，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質和三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．8．（鄞州區(qū)期中）如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為（）A．1 B． C． D．【分析】證明△AGF≌△ACF，依據(jù)全等三角形的性質得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，依據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答】解：∵AD是∠BAC平分線，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位線，∴EF＝GB＝，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．9．（溫州期末）用反證法證明“在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”時，應假設（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，據(jù)此進行推斷即可．【解答】解：用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b”，第一步應假設a≤b，故選：B．【點評】本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．10．（杭州期末）用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，可先假設（）A．四邊形的四個角都是直角 B．四邊形的四個角都是銳角 C．四邊形的四個角都是鈍角 D．四邊形的四個角都是鈍角或直角【分析】依據(jù)四邊形中至少有一個角是鈍角或直角的反面是四邊形的四個角都是銳角解答即可．【解答】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，可先假設四邊形的四個角都是銳角，故選：B．【點評】本題考查的是反證法的應用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．11．（成都月考）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應假設直角三角形中（）A．兩銳角都大于45° B．有一個銳角小于45° C．有一個銳角大于45° D．兩銳角都小于45°【分析】依據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立解答．【解答】解：反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應假設直角三角形中兩銳角都大于45°，故選：A．【點評】本題考查的是反證法的應用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．二．填空題（共6小題）12．（永嘉縣校級期末）用反證法證明命題“假如a＞b，那么”時，假設的內(nèi)容是＜或＝．【分析】用反證法證明數(shù)學命題“假如a＞b，那么＞”時，應假設它的否定“＜或＝”．【解答】解：由于命題“＞”的否定為“或”，故用反證法證明命題“假如a＞b，那么＞”時，應假設＜或＝，故答案為：＜或＝．【點評】本題考查用反證法證明數(shù)學命題，求一個命題的否定的方法，得到命題“＞”的否定為“＜或＝”，是解題的關鍵．13．（饒平縣校級期末）如圖，△ABC中，三條中位線圍成的△DEF的周長是15cm，則△ABC的周長是30cm．【分析】依據(jù)三角形的周長公式、三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周長是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分別是△ABC的中位線，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周長＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案為：30．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．14．（紅寺堡區(qū)期末）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周長是18厘米，則EF＝3厘米．【分析】依據(jù)平行四邊形的性質可知OA＝AC，OB＝BD，結合AC+BD＝24厘米，△OAB的周長是18厘米，求出AB的長，利用三角形中位線定理求出EF的長．【解答】解：∵?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴點O是AC、BD的中點，∵AC+BD＝24厘米，∴OB+0A＝12厘米，∵△OAB的周長是18厘米，∴AB＝18﹣12＝6厘米，∵?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，∴AB＝2EF，∴EF＝6÷2＝3厘米，故答案為：3．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理以及平行四邊形的性質的學問，解答本題的關鍵是求出AB的長，此題難度不大．15．（衢州期末）如圖，為測得B，C兩地的距離，小明在池塘外取點A，得到線段AB，AC，并取AB，AC的中點D，E，連結DE，測得DE＝15米，則BC＝30米．【分析】依據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答】解：∵點D，E分別為AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝30（米），故答案為：30．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．16．（灞橋區(qū)校級月考）用反證法證明“假如一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形”的第一步這個三角形是等腰三角形．【分析】假設命題的結論不成立，推出沖突即可．【解答】解：用反證法證明“假如一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形”的第一步是假設這個三角形是等腰三角形．故答案為這個三角形是等腰三角形．【點評】本題考查反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．17．（羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直AD，垂足為M，若BC＝16，MN＝3，則△ABC的周長為38．【分析】利用ASA定理證明△BNA≌△BNE，依據(jù)全等三角形的性質得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，依據(jù)三角形中位線定理求出DE，依據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案為：38．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）18．（杭州期中）在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求證：∠A≠30°．【分析】首先假設結論不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，進而得出沖突，從而得出結論成立，即∠A≠30°．【解答】證明：假設結論不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，這與BC＝1沖突，∴假設不成立，∴結論成立，即∠A≠30°．【點評】此題主要考查了反證法的證明，利用反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設動身，經(jīng)過推理論證，得出沖突；③由沖突判定假設不正確，從而確定原命題的結論正確．19．（杭州校級期中）用反證法證明：兩條直線被第三條直線所截．假猶如旁內(nèi)角不互補，那么這兩條直線不平行．已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求證：l1與l2不平行．證明：假設l1∥l2，則∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）這與∠1+∠2≠180°沖突，故假設不成立．所以l1與l2不平行．【分析】用反證法證明問題，先假設結論不成立，即l1∥l2，依據(jù)平行線的性質，可得∠1+∠2＝180°，與已知相沖突，從而證得l1與l2不平行．【解答】證明：假設l1∥l2，則∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），這與∠1+∠2≠180°沖突，故假設_不成立．所以結論成立，l1與l2不平行．【點評】反證法證明問題，是常見的證明方法，關鍵是找出與已知相沖突的條件．20．（拱墅區(qū)期末）如圖，點A，B為定點，定直線l∥AB，P是1上一動點，點M，N分別為PA，PB的中點，對下列各值：①線段MN的長；②△PAB的周長；③△PMN的面積；④直線MN，AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲胁粫S點P的移動而變更的是①③④【分析】依據(jù)三角形中位線定理推斷①；依據(jù)P是1上一動點推斷②；依據(jù)相像三角形的性質推斷③；依據(jù)三角形中位線定理推斷④，結合圖形推斷⑤．【解答】解：①∵點M，N分別為PA，PB的中點，∴MN＝AB，即線段MN的長不會隨點P的移動而變更；②PA、PB隨點P的移動而變更，∴△PAB的周長隨點P的移動而變更；③∵l∥AB，點A，B為定點，∴△PMN的面積為定值，∵點M，N分別為PA，PB的中點，∴MN＝AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面積＝×△PMN的面積，則△PMN的面積不會隨點P的移動而變更；④∵MN∥AB，∴直線MN，AB之間的距離不會隨點P的移動而變更；⑤∠APB的大小隨點P的移動而變更；故答案為：①③④．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、相像三角形的判定和性質，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．21．（江山市校級月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝DC，E、F分別為AD與BC的中點，連接EF與BA的延長線相交于N，與CD的延長線相交于M．求證：∠BNF＝∠CMF．【分析】連接AC，取AC的中點K，連接EK，F(xiàn)K，則EK、FK分別是△ACD和△ABC的中位線，依據(jù)平行線的性質定理即可證明．【解答】證明：連接AC，取AC的中點K，連接EK，F(xiàn)K∵AE＝ED，AK＝KC∴EK∥DC，．同理FK∥AB，∴．∴∠FEK＝∠EFK∵EK∥DC∴∠CMF＝∠FEK∵FK∥AB∴∠BNF＝∠EFK∴∠BNF＝∠CMF【點評】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確作出幫助線是關鍵．22．（仙居縣期末）證明三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半．（要求：畫出圖形，寫出已知、求證和證明過程）【分析】依據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證，延長DE到F，使EF＝DE，連接FC、DC、AF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進而得到四邊形BDFC是平行四邊形，依據(jù)平行四邊形的在、性質定理證明即可．【解答】解：已知：如圖，點D、E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連接DE，求證：DE∥BC，DE＝BC，證明：延長DE到F，使EF＝DE，連接FC、DC、AF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴CF∥AD，CF＝AD，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四邊形BDFC是平行四邊形，∴DF∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE∥BC，DE＝BC．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質，正確作出幫助性是解題的關鍵．題組B實力提升練一．選擇題（共6小題）1．（寧波一模）如圖，D，E分別是AB，AC上的中點，F(xiàn)是DE上的一點，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用三角形中位線定理得到DE＝BC．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DF＝AB．所以由圖中線段間的和差關系來求線段EF的長度即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中點，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故選：A．【點評】本題考查了三角形的中位線定理的應用，解題的關鍵是了解三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，題目比較好，難度適中．2．（奉化區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中點，則CM的長為（）A． B．2 C． D．3【分析】延長BC到E使BE＝AD，則四邊形ACED是平行四邊形，依據(jù)三角形的中位線的性質得到CM＝DE＝AB，依據(jù)跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到結論．【解答】解：延長BC到E使BE＝AD，則四邊形ABED是平行四邊形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中點，∵M是BD的中點，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，解法二：延長CM交AD于T．∵AD∥BC，∴∠MBC＝∠MDT，∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT，∴△BMC≌△DMT（ASA），∴CM＝MT，DT＝BC＝3，∵AD＝6，∴AT＝3，∵AC＝4，∠CAT＝90°，∴CT＝＝＝5，∴CM＝MT＝CT＝．故選：C．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質，正確的作出幫助線是解題的關鍵．3．（孟村縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，則∠FEG等于（）A．32° B．38° C．64° D．30°【分析】依據(jù)三角形中位線定理和等腰三角形等邊對等角的性質求解即可．【解答】解：∵AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點，∴GF是△ACD的中位線，GE是△ACB的中位線，∴GF＝AD，GF∥AD，GE＝BC，GE∥BC．又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，∴∠EFG＝∠FEG，∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣84°）＝116°，∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝32°．故選：A．【點評】主要考查了三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質．中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．4．（商河縣校級期末）對于命題“在同一平面內(nèi)，若a∥b，a∥c，則b∥c”，用反證法證明，應假設（）A．a(chǎn)⊥c B．b⊥c C．a(chǎn)與c相交 D．b與c相交【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據(jù)此進行推斷．【解答】解：c與b的位置關系有c∥b和c與b相交兩種，因此用反證法證明“c∥b”時，應先假設c與b相交．故選：D．【點評】本題結合直線的位置關系考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．5．（鎮(zhèn)海區(qū)校級開學）用反證法證明：“若a＞b＞0，則a2＞b2”，應先假設（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)2＜b2 D．a(chǎn)2≤b2【分析】依據(jù)反證法的一般步驟：先假設結論不成立進行解答．【解答】解：用反證法證明“若a＞b＞0，則a2＞b2”的第一步是假設a2≤b2，故選：D．【點評】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設動身推出沖突；（3）假設不成立，則結論成立．6．（寧波模擬）用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，應首先假設這個四邊形中（）A．沒有一個角是銳角 B．每一個角都是鈍角或直角 C．至少有一個角是鈍角或直角 D．全部角都是銳角 E．全部角都是直角【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立．【解答】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時第一步應假設：四邊形中全部角都是銳角．故選：D．【點評】此題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．二．填空題（共4小題）7．（西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BC＝16，D，E分別是AB，AC的中點，F(xiàn)是DE延長線上一點，連結AF，CF，若DF＝14，∠AFC＝90°，則AC＝12．【分析】依據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到EF的長，依據(jù)直角三角形的性質計算，得到答案．【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝8，∴EF＝DF﹣DE＝6，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝12，故答案為：12．【點評】本題考查的是三角形中位線定理的應用、直角三角形的性質的應用，駕馭三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．8．（舞鋼市期中）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，若用反證法證這個結論，應首先假設∠B≥90°．【分析】熟記反證法的步驟，干脆填空即可．【解答】解：用反證法證明：第一步是：假設∠B≥90°．故答案是：∠B≥90°．【點評】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設動身推出沖突；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．9．（上城區(qū)期末）要用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”，首先應假設兩個銳角都大于45°．【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據(jù)此進行解答．【解答】解：“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時應第一步先假設所求證的結論不成立，即為：兩個銳角都大于45°．故答案是：兩個銳角都大于45°．【點評】本題結合角的比較考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要留意考慮結論的反面全部可能的狀況，假如只有一種，那么否定一種就可以了，假如有多種狀況，則必需一一否定．10．（青田縣月考）如圖，順次連接△ABC三邊的中點D，E，F(xiàn)得到的三角形面積為S1，順次連接△CEF三邊的中點M，G，H得到的三角形面積為S2，順次連接△CGH三邊的中點得到的三角形面積為S3．設△ABC的面積為S，則S1+S2+S3＝S．【分析】先依據(jù)題意得出△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA，由相像三角形的性質求出△ADF，△BDE，△CEF的面積，進而可得出S1的值，同理可得出S2，S3的值，進而可得出結論．【解答】解：∵D，E，F(xiàn)是△ABC三邊的中點，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相像比為，∴＝＝＝，∵△ABC的面積為S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案為：S．【點評】本題考查的是三角形中位線定理及相像三角形的性質，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關鍵．三．解答題（共8小題）11．（岐山縣期末）△ABC的中線BD，CE相交于O，F(xiàn)，G分別是BO，CO的中點，求證：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】連接DE，F(xiàn)G，由BD與CE為中位線，利用中位線定理得到ED與BC平行，F(xiàn)G與BC平行，且都等于BC的一半，等量代換得到ED與FG平行且相等，進而得到四邊形EFGD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質即可得證．【解答】證明：連接DE，F(xiàn)G，∵BD，CE是△ABC的中線，∴D，E是AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，F(xiàn)G＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∴EF∥DG，EF＝DG．【點評】此題考查了三角形中位線定理，以及平行線的判定，嫻熟駕馭中位線定理是解本題的關鍵．12．（建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC的中線BE，CF相交于點G，P，Q分別是BG，CG的中點．（1）求證：四邊形EFPQ是平行四邊形；（2）請干脆寫出BG與GE的數(shù)量關系：BG＝2GE．（不要求證明）【分析】（1）依據(jù)BE，CF是△ABC的中線可得EF是△ABC的中位線，P，Q分別是BG，CG的中點可得PQ是△BCG的中位線，依據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BC且EF＝BC，PQ∥BC且PQ＝BC，進而可得EF∥PQ且EF＝PQ．依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；（2）依據(jù)平行四邊形的性質可得GE＝GP，再依據(jù)P是BG的中點可得BG＝2PG，利用等量代換可得答案．【解答】（1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC且EF＝BC．∵P，Q分別是BG，CG的中點，∴PQ是△BCG的中位線，∴PQ∥BC且PQ＝BC，∴EF∥PQ且EF＝PQ．∴四邊形EFPQ是平行四邊形．（2）解：BG＝2GE．∵四邊形EFPQ是平行四邊形，∴GP＝GE，∵P是BG中點，∴BG＝2PG，∴BG＝2GE．故答案為：BG＝2GE．【點評】此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定與性質，關鍵是駕馭三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．13．（江東區(qū)期末）（1）用反證法證明命題：“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°．先假設所求證的結論不成立，即三角形內(nèi)角中全都小于60°；（2）寫出命題“一次函數(shù)y＝kx+b，若k＞0，b＞0，則它的圖象不經(jīng)過其次象限．”的逆命題，并推斷逆命題的真假．若為真命題，請賜予證明；若是假命題，請舉反例說明．【分析】（1）干脆利用反證法的第一步分析得出答案；（2）利用命題與定理，首先寫出假命題進而得出答案；【解答】解：（1）用反證法證明命題：“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°．先假設所求證的結論不成立，即三角形內(nèi)角中全都小于60°；故答案為：三角形內(nèi)角中全都小于60°；（2）逆命題：“一次函數(shù)y＝kx+b的圖象不經(jīng)過其次象限，則k＞0，b＞0，”逆命題為假命題，反例：當b＝0時，一次函數(shù)圖象也不過其次象限（不唯一）．【點評】此題主要考查了反證法以及命題與定理，正確寫出逆命題是解題關鍵．14．（浙江校級自主招生）在兩個三角形的六對元素（三對角與三對邊）中，即使有五對元素分別相等，這兩個三角形也未必全等．（1）試給出一個這樣的例子，畫出簡圖，分別標出兩個三角形的邊長．（2）為了把全部這樣的反例都構造出來，摸索求并給出構造反例的一般規(guī)律（要求過程完整，述理嚴密，結論明晰）．【分析】（1）本題可以舉出一個實例，讓它滿足題目的已知條件而結論不滿足．相等的幾個元素對應的位置不同，則兩個三角形就不全等．（2）要構造的兩個三角形必不是等腰三角形，同時它們應是相像的，只要先選取一個正數(shù)a作為△ABC最小邊的長，再寫出另一個△A′B′C′的三邊長ka、k2a、k3a；然后依據(jù)三角形三邊關系定理確定k的取值范圍．【解答】解：（1）如下圖，△ABC與△A′B′C′是相像的（相像比為），但它們并不全等，明顯它們之中有五對元素是對應相等的．（5分）（答案不唯一）（2）簡潔知道，要構造的兩個三角形必不是等腰三角形，同時它們應是相像的．（2分）設小△ABC的三邊長分別為a、b、c，且不妨設a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相像比為k，則k＞1．∵△A′B′C′的三邊長分別為ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc∴在△ABC中，與△A′B′C′中兩邊對應相等的兩條邊只可能是b與c∵b＜c＜kc∴在△A′B′C′中，與b、c對應相等的兩條邊只可能是ka、kb∴．∴由a到b、由b到c應具有相同的放大系數(shù)（a、b、c成公比為k的等比數(shù)列），這個系數(shù)恰為△ABC與△A′B′C′的相像比k．下面考慮相像比k所受到的限制：∵△ABC的三邊長分別為a、ka、k2a，且a＞0，k＞1∴a+ka＞k2a解之得1＜k＜（注：≈1.618）（4分）因此構造反例時，只要先選取一個正數(shù)a作為△ABC最小邊的長，再設定一個1～1.168之間的放大系數(shù)k，從而寫出另外兩條邊的長ka、k2a．然后在△ABC的基礎上，以前面的放大系數(shù)k為相像比，再寫出另一個△A′B′C′的三邊長ka、k2a、k3a．通過這種方法，可以構造出大量符合題意的反例．（1分）【點評】本題主要考查了構造反例的方法．是較難把握的問題．15．（興化市一模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，分別過點B、C作射線AD的垂線，垂足分別為E、F，連接BF、CE．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；（2）若AF＝FD，在不添加幫助線的條件下，干脆寫出與△ABD面積相等的全部三角形．【分析】（1）依據(jù)全等三角形的判定和性質得出ED＝FD，進而利用平行四邊形的判定證明即可；（2）利用三角形的面積解答即可．【解答】（1）證明：在△ABF與△DEC中∵D是BC中點，∴BD＝CD∵BE⊥AE，CF⊥AE∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△ABF與△DEC中，∴△BED≌△CFD（AAS）∴ED