備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習4.2利用導數(shù)求單調(diào)性(精講)(原卷版+解析)

4.2利用導數(shù)求單調(diào)性（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一單調(diào)區(qū)間（無參）【例1-1】（2022·新疆）函數(shù)的減區(qū)間是____________.【例1-2】（2022·廣東·順德一中）設曲線在上的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【例1-3】（江蘇省蘇州實驗中學）已知函數(shù)f(x)滿足，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)【一隅三反】1．函數(shù)f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)2．（皖豫名校聯(lián)盟體2022屆）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．3．已知定義在區(qū)間(0，π)上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．考點二已知單調(diào)性求參數(shù)【例2-1】（2022安徽省“皖東縣中聯(lián)盟）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022.廣東）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022福建?。┮阎瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2022屆）若是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（江西省宜春市八校2022屆）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2022·寧夏吳忠）已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點三單調(diào)性的應用之解不等式【例3】（湖南省多所學校2022屆）已知，則的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【一隅三反】1．（陜西省西安地區(qū)八校2022屆）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（湖北省2022屆）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．若函數(shù)f(x)＝lnx＋ex－sinx，則不等式f(x－1)≤f(1)的解集為．4．已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，則不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集為．考點四單調(diào)性應用之比較大小【例4-1】（華大新高考聯(lián)盟名校2022屆）已知實數(shù)a，b，，e為自然對數(shù)的底數(shù)，且，，，則（

）A． B．C． D．【例4-2】（湖南師范大學附中2022屆）下列兩數(shù)的大小關系中正確的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022年全國新高考I卷數(shù)學試題）設，則（

）A． B． C． D．2．（山東省青州市2022屆）設，，，則（

）A． B． C． D．3．（江西省萍鄉(xiāng)市2022屆）設，，，則（

）A． B．C． D．4．（湖北省二十一所重點中學2022屆）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設，，，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．考點五含參函數(shù)的單調(diào)性討論【例5-1】（2022廣西節(jié)選）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【例5-2】（2022安徽）已知函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性；【例5-3】（安徽省江淮名校2022屆）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【例5-4】（2022遼寧省沈陽市第二中學）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【一隅三反】1．（2022貴州省貴陽市五校）已知，函數(shù)，討論的單調(diào)性；2．（2022陜西?。┮阎瘮?shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；3．（重慶市第八中學校2022屆高三下學期適應性月考（七）數(shù)學試題）已知，討論的單調(diào)性；4．（2022江蘇省）已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；4.2利用導數(shù)求單調(diào)性（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一單調(diào)區(qū)間（無參）【例1-1】（2022·新疆）函數(shù)的減區(qū)間是____________.【答案】【解析】由可得所以由可得所以函數(shù)的減區(qū)間是故答案為：【例1-2】（2022·廣東·順德一中）設曲線在上的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】【解析】因為，所以，令，則，解得或.當時，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【例1-3】（江蘇省蘇州實驗中學）已知函數(shù)f(x)滿足，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)【答案】A【解析】由題設，則，可得，而，則，所以，即，則且遞增，當時，即遞減，故遞減區(qū)間為(-,0).故選：A【一隅三反】1．函數(shù)f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)【答案】C【解析】f(x)的定義域為(－∞，1]，f′(x)＝1－eq\f(1,\r(1－x))，令f′(x)＝0，得x＝0.當0<x<1時，f′(x)<0.當x<0時，f′(x)>0.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．2．（皖豫名校聯(lián)盟體2022屆）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．【答案】【解析】當時，，則其在上遞減，當時，，則，當時，，所以在上遞減，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：3．已知定義在區(qū)間(0，π)上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))【解析】f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6)，當0<x<eq\f(π,6)時，f′(x)>0，當eq\f(π,6)<x<eq\f(5π,6)時，f′(x)<0，當eq\f(5π,6)<x<π時，f′(x)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上單調(diào)遞減．考點二已知單調(diào)性求參數(shù)【例2-1】（2022安徽省“皖東縣中聯(lián)盟）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于函數(shù)，導數(shù).要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，只需恒成立.因為，只需，只需恒成立.記，只需..因為，所以.由在上單減，在上單增，且時，，時，.所以在上的最大值為，所以在的最大值為1.所以.故選：B【例2-2】（2022.廣東）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴∵函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)∴在區(qū)間上有根∴當a＝0時，x＝－1不滿足條件當時，∵，∴，∴.故選：D．【一隅三反】1．（2022福建省）已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，要滿足①，或②，由①得：，由②得：，綜上：實數(shù)m的取值范圍是.故選：D2．（湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2022屆）若是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，因為是R上的減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以．故選：B.3．（江西省宜春市八校2022屆）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以存在，使得，即，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：A4．（2022·寧夏吳忠）已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，可得有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.考點三單調(diào)性的應用之解不等式【例3】（湖南省多所學校2022屆）已知，則的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【解析】當時，，在恒成立，∴在單調(diào)遞增，且，∴當時，，，是偶函數(shù)，∴的解集是或，故選：B.【一隅三反】1．（陜西省西安地區(qū)八校2022屆）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定義域為，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：D2．（湖北省2022屆）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，則等價于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.3．若函數(shù)f(x)＝lnx＋ex－sinx，則不等式f(x－1)≤f(1)的解集為．【答案】(1,2]【解析】f(x)的定義域為(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋ex－cosx.∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集為(1,2]．4．已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，則不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集為．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))【解析】f(x)＝xsinx＋cosx＋x2是偶函數(shù)，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(－lnx)＝f(lnx)．則原不等式可變形為f(lnx)<f(1)?f(|lnx|)<f(1)．又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，由2＋cosx>0，得當x>0時，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴|lnx|<1?－1<lnx<1?eq\f(1,e)<x<e.考點四單調(diào)性應用之比較大小【例4-1】（華大新高考聯(lián)盟名校2022屆）已知實數(shù)a，b，，e為自然對數(shù)的底數(shù)，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，得，，，構(gòu)造函數(shù)，求導得，令，得．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．因為，所以，所以，又因為，在上單調(diào)遞減，所以.故選：A．【例4-2】（湖南師范大學附中2022屆）下列兩數(shù)的大小關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，設，則，則當時，，在上單調(diào)遞減，，即，即，，則，A錯誤；對于B，，，，則，B正確；對于C，，，，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：B.【一隅三反】1．（2022年全國新高考I卷數(shù)學試題）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.2．（山東省青州市2022屆）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設,則,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故當時,函數(shù)取得最大值,因為,,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可得,即.故選:C3．（江西省萍鄉(xiāng)市2022屆）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，，，可以判斷在上單調(diào)遞增，所以，，所以，又因為，，所以，即，所以，故選：D.4．（湖北省二十一所重點中學2022屆）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設，，，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設，易知當時，遞減；，即為；，即為，所以，即；，即，故A錯，故D錯；，即，故B錯；構(gòu)造函數(shù)，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以；故選：C.考點五含參函數(shù)的單調(diào)性討論【例5-1】（2022廣西節(jié)選）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】的定義域為當時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減當時，，且時，，時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【例5-2】（2022安徽）已知函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】由題意得：f（x）定義域為（0，+∞），當時，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當時，令，解得：∴當時，；當時，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例5-3】（安徽省江淮名校2022屆）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】函數(shù)的定義域為．．當時，若，則；若，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．當時在單調(diào)遞增．當時，，若或，則；若，則．所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．當時，，若或，則；若，則．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．綜上所述，時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時，在單調(diào)遞增．時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．【例5-4】（2022遼寧省沈陽市第二中學）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】函數(shù)的定義域為，.當時，