高中數(shù)學(xué)典型解答題

一:三角函數(shù)典型題例示范講解:

例1在海島4上有一座海拔1千米的山，山頂

一個(gè)觀察站P,上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30

俯角為30°的8處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島

°西、俯角為60°的C處。

(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；

(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向

處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)?

命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)

解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.

錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).

技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決問(wèn)題.

解：⑴在RtZ\%8中，ZAPB=60°PA=l,：.AB=43(千米)

在Rt△以C中，NAPC=30°,：.AC=—(千米)

在△4CB中，ZCAB=30°+60°=90°

BC=>JAC2+AB2=J哼y+詆2=殍

叵」=2廊(千米/時(shí))

36

(2)NO4c=900-60°=30°

siii￡>G4=sin(180°—ZACB)=sinACB=-^-=2-=—V10

BC叵10

~T~

o__

sinCDA=sin(ZACB—30°)=sinACB?cos30°—cosACB?sin30°=—V10.

(3V3-l)Vio

~T~220

AnAr

在△4。中，據(jù)正弦定理得M-=.AC

sinDCAsmCDA

V|3麗

.SACsinDCA3109+VJ

sinCDA~(3A/3-1)710-13

20

答：此時(shí)船距島4為止回千米.

13

A-C

例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足A+C=2B,設(shè)產(chǎn)COS

2

?=cosB(-^―+—?).

cosAcosC

(1)試求函數(shù);(x)的解析式及其定義域；

(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；

(3)求這個(gè)函數(shù)的值域

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力，并且考查考生對(duì)基

礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力.

知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問(wèn)題.

錯(cuò)解分析：考生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的

單調(diào)性去求函數(shù)的值域問(wèn)題.

技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出外)的解析式，公式主要是和

差化積和積化和差公式,在求定義域時(shí)要注意|與2|的范圍.

解：(1)'：A+C=2B,：.B=60°,A+C=120°

cA+CA-C

14.廠2cos--------COS---------C

、1cosA+cosC22x2x

f(x)=-,-------------------=-----------------------------------=-------------------=-----------

2

2cosA-cosCcos(A+C)+cos(A-C)_J_+2^-14/-3'

-2一

V0°曷A2c|＜60。,.??x=cos'"

又4?—3#0,,??,定義域?yàn)?4，—)U(—,1],

2222

(2)設(shè)的V、2,

.?.危2)-回尸^?-----"=2(X,-X2)(4X,X?+3),

4々-34x『—3(4x--3)(4々-3)

若…2嗚,當(dāng))，則4xl＜。，芯-3＜。，缶M+3＞。…曲)＜。

即/(X2)V/(X1),若Xi，X26*,1]，則4x/一3＞。

4/2?—3＞0,4外因+3＞0，為一工2＜0，?\/(工2)—/(Ri)VO.

即汽.\A尤)在(g,*)和(字，1]上都是減函數(shù),

(3)由(2)知，尸一;或Ax)刊：1尸z

故兀0的值域?yàn)?-8,-1)U[2,+8).

例3已知△4BC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足A+C=2B.

求cos±C的值.

cos/!cosCcosB2

解法?:由題設(shè)條件知5=60°,A+C=120°.

A-C

設(shè)。=則A—C=2。，可得A=60°+。，060°

2

11

所以—L_+—L_----------------1----------------

cosAcosCcos(60°+a)cos(60°-a)

]]cosa_cosa

1也.16.1=~3

一cosa------sina—cosa+——sina—cosa——sinacosa——

2222444

依題設(shè)條件有-i

cos2acos8

4

八1cosa-rr

COSD=—------------——2y/2.

223

cosa——

4

整理得4V2cos2<z+2cosa-3y/2=0(M)

(2cosa—V2)(2V2cosa+3)=0,*/2V2cosa+3WO,

/.2cosa-V2=0,從而得cos———=.

22

解法二：由題設(shè)條件知8=60°,A+C=120°

?/―6=-2V2,.*.—+—=-2>/2①,

cos60°cosAcosC

把①式化為cosA+cosC=-2V2cosAcosC②，

利用和差化積及積化和差公式，②式可化為

A+CA-C1—

2cos---cos---=-j2[cos(A+C)+cos(A-C)]③，

將cos，；。=cos60°=；,cos(A+C)=—；代入③式得：

cos，2C=-V2cos(A-C)④

將cos(A—C)=2COS2(—)—1代入④

4V2cos2(上C)+2cos土三-3V2

22

(2cos-2V2)(2V2cos+3)=0,

???2V2cos+3=0,2cos-V2=0,

22

從而得：cos2￡=Y2

22

Ar'Ar

例4:在△ABC中，已知4、B、C成等差數(shù)列，貝ijtan—+tan—+百tan—tan—的值

2222

為.

解析：'：A+B+C=n,A+C=2B,

.2TT/A+C、rrACJ]AC、

A+C=——,tan(-------)=v3,tan—+tan-=V3(l-tan—tan—)

322222

ACf—ACr~

故tan—+tan—+v3tan—tan一=J3.

2222

44

例5:在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+Q=--sinB=—,則

cos2(B+C)=

解析：VA為最小角???2A+C=A+4+CVA+8+C=l80°.

43

Vcos(2A+C)=——,.*.sin(2A+C)=—.

43

為最大角，...B為銳角，XsinB=—.故COS5=M，

43

即sin(A+C)=—,cos(A+C)=——.

Vcos(B+Q=_cosA=_cos[(2A+C)—(A+C)]=——,

527

cos2(B+Q=2COSI2(B+Q—1=-----.

例6:在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，4sin2-cos2A=—.

22

⑴求角A的度數(shù)；

(2)若a=M，b+c=3,求b和c的值.

6.解：⑴由dsin?—cos2A=g劃+8+C=180°,得：

7

2[l-cos(B+C)]-2cos^9A+1=—,4(l+cosA)-4cos"?A=5

即4cos2A-4cosA+1=0,.4.cosA=—,

2

???0°<A<l80°,.\A=60°

e……汨4b2c2-a2

(2)由余弦定理得：cos4=----+------------

2hc

Ib~+C?一心I22r,

cosA=—/.----------------=—/.(b+_Q=3bc.

22bc2

%_|_r=4f/_1fA=?

將a==3代入上式得：be=2由，得：，9或，.

he=2[c=2[c=l

二:空間幾何典型題例示范講解

例1:如圖，在正方體43CO—44G2中，石是A41的中點(diǎn)，

/I

求證：A?//平面BDE。

證明：連接AC交3。于。，連接E。，

???E為A4的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)

，E0為三角形4AC的中位線AEOHA.C

又E0在平面8OE內(nèi)，A。在平面8OE外

???A?！ㄆ矫?OE。

例2：已知正方體A8CO-A￡GA，。是底ABC。對(duì)角線的交點(diǎn).

求證：(1)GO〃面A50I；(2)A。J.面A5|O1.

證明：(1)連結(jié)4G,設(shè)4GcBR=。],連結(jié)AO1

???是正方體.?.AACCi是平行四邊形

.-.A,GIIACSL4G=AC

又01,0分別是A|G，AC的中點(diǎn)，II，。且?！?AO

AOGO是平行四邊形

(

；＜°〃401，4°1=面450(]0(2面4401.?.創(chuàng)面

(2)vCC,1面ABiCR：.CCt1B{D,

又.?.813_1_面4。0即4c,耳鼻

同理可證?1,又II??

AC，面AB]"

例3：正方體48co—A'8'C'。'中，

求證：(1)ACJ"平面B'O'DB；㈡)8?！蛊矫鍭CS'

正方體/及第一4為G4中.⑴求證：平面4勿”平面84?

(2)若反尸分別是44,約的中點(diǎn)，求證：平面EBRII平面FBD.

證明：(1)由區(qū)制/〃見(jiàn)得四邊形8H"〃是平行四邊形，:BD,

又如＜Z平面54C,平面A4C,

II平面BMC.

同理4〃//平面BxIXC.

而4〃nBD=D,...平面AiBDII平面BxCD.

⑵由BDII&a,得加“平面E&h取以中點(diǎn)G,：.AEII&G.

從而得&EIIAG,同理GFIIAD.：.AG\\DF.；.REIIDF.：.DFW平面EM.，平面EBxIX

II平面FBD.

例4;如圖，在正方體ABC。—4gC|D|中，E、F、G分別是48、AD.GA的中

點(diǎn).求證：平面D}EFII平面BDG.

證明：:E、R分別是A3、AO的中點(diǎn)，/.EFIIBD

又E/7U平面BDG,30u平面BDGEFII平面BDG

???D】G=EB四邊形D】GBE為平行四邊形，D}EIIGB

又D]E?平面BDG,GBu平面BDGD、E“平面BDG

EFcDF=E,.平面DEFH平面BDG4

例5：如圖，在正方體中，E是A41的中點(diǎn).

4

(1)求證：4?！ㄆ矫?。5；

(2)求證：平面A.AC1平面BDE.

證明：(1)設(shè)ACc8O=O,B

,；E、。分別是44-AC的中點(diǎn)，A/"后。

又A。Z平面BDE,E。u平面BDE,A.CII平面BDE

(2)?.?A4，平面ABC。，BDu平面ABCD,A4,1BD

又8。LAC,ACcAA|=A,.3。上平面da。，BDu平面BDE,平面BDE工

平面4AC

例6:如圖2,在三棱錐4-中，BC=AC,AD=BD,

作BELCD,E為垂足，作AHLBE于H.求證：AHL平面BCD.

證明：取一的中點(diǎn)尸，連結(jié)陰DF.

■.AC=BC,.'.CFIAB.

AD=BD,DF1AB.

又。尸「|。尸=~，「?AB，平面煙

；COu平面切尸，，COJ.AB.

叉CD上BE,BEcAB=B,

；.CD上平面ABE,CD1AH.

AHLCD,AHLBE,CDcBE=E,

A”_L平面比。

三:概率統(tǒng)計(jì)典型題例示范講解：

例1:從1,2,3,9這九個(gè)數(shù)學(xué)中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作底數(shù)，另一個(gè)作真數(shù)，則可

以得到不同的對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為

(A)64(B)56(05355(D)51

解①?gòu)?,2,3,9這九個(gè)數(shù)學(xué)中任取兩個(gè)的數(shù)分別作底數(shù)和真數(shù)的“對(duì)數(shù)式”個(gè)

數(shù)為2P；；

②1不能為底數(shù)，以1為底數(shù)的“對(duì)數(shù)式”個(gè)數(shù)有8個(gè),而應(yīng)減去；

③1為真數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)為0,以1為真數(shù)的“對(duì)數(shù)式”個(gè)數(shù)有8個(gè)，應(yīng)減去7個(gè)；

@log24=log39=2,log42=log93=^-,應(yīng)減去2個(gè)

所示求不同的對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為2C；-8-7-2=55(個(gè))

例2：四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有兩名站在一起，但三名女生不能全排在

一起，則不同的排法數(shù)有

(A)3600(B)3200(C)3080(D)2880

解①三名女生中有兩名站在一起的站法種數(shù)是P；；

②將站在一起的二名女生看作1人與其他5人排列的排列種數(shù)是P；,其中的三名女

生排在一起的站法應(yīng)減去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人與4名男生作

全排列，排列數(shù)為P；,站在一起的二名女生和另??女生可互換位置的排列，故三

名女生排在一起的種數(shù)是P；P；。

符合題設(shè)的排列數(shù)為：

片(年一片片)=6x(6x5x4x3x2-2x5x4x3x2)=24x5x4x3x2=288001)

例3:由(百了+啦)儂展開(kāi)所得x多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理項(xiàng)的共有

(A)50項(xiàng)(B)17項(xiàng)(C)16項(xiàng)(D)15項(xiàng)

解

(瓜+冷-。=10(6x)l。。+.0(底產(chǎn)°“(啦)1+…+C；0G(Gx產(chǎn),(次),+…+C溫近)1°°

可見(jiàn)通項(xiàng)式

100-rr3(100-r)2r300-r

為：C；0G(gx)⑼f(次廠=6。。6丁+3儲(chǔ)°°一，=C；。。6k=c；006k

且當(dāng)D,6,12,18,…,96時(shí)，相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，這些項(xiàng)共有17個(gè)，故系數(shù)為有理

項(xiàng)的共有17個(gè).

例4：在所有的兩位數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率是

(A)5/6(B)4/5(C)2/3(D)1/2

解①所有兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為90個(gè)；

②能被2或3整除的二位數(shù)的個(gè)數(shù)60個(gè)：能被2整除的二位數(shù)的個(gè)數(shù)是有

90x/=45(個(gè))，能被3

整除的二位數(shù)的個(gè)數(shù)為有24個(gè)(從3,6,9中選2的排列

P；個(gè)，1,2、1,5、1,8、2,4、2,7、4,5、4,8、5,7、7,8九組中各選2的排列有9g個(gè))，能被3

整除的二位數(shù)中有9個(gè)(12、18、24、42、54、72、48、84、78)也能被3整除,故能被2或

3整除的二位數(shù)的個(gè)數(shù)是45—9+耳+98=60個(gè)；

所有的兩位數(shù)中，能被2或3整除二位數(shù)所占比例是黑=,.因此，在所有的兩位數(shù)

中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率是2:

例5：從集合4卜|14》47,XGN］中任取3個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)的和恰好能被3整除的概率

是

(A)19/68(B)13/35(C)4/13(D)9/34

解從集合4仲4%<7,xwN'｝中任取3個(gè)數(shù)的取法種數(shù)為P；；

取到的數(shù)含3或6時(shí)，其余二數(shù)為12、15、24、27、45、57,能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)

為6H2P；；

取到的數(shù)不含3或6和能被3整除的三個(gè)數(shù)是1、4、7,取法種數(shù)有P；種;

6828+母_]2x2x3+6_13x6_13

因此，所求概率為:P；=7x6x5=7x6x5=35

例6:某電腦用戶(hù)計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60元.70元的單片軟件和

盒裝磁盤(pán)，根據(jù)需要至少買(mǎi)3片軟件，至少買(mǎi)2盒磁盤(pán),則不同的選購(gòu)方式共有

(A)5種(B)6種(C)7種D)8種

解設(shè)選購(gòu)x片軟件，y盒磁盤(pán)，則:

500-60x

>2(x>3)

~70~6>x>3

解得:

500-70y24y44

.-60->3(y>2)

軟件和磁盤(pán)數(shù)量的選購(gòu)方式分別為

(3,2)、(3,3)(3,4)(4,2)(4,3)(5,2)(6,2),共7種。

四:數(shù)列典型題例示范講解：

例1：已知數(shù)列｛4,｝滿(mǎn)足q=；,“2=，a.+2=g%+i一；4(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛〃4｝的前〃項(xiàng)和S.；

如小?41小11

解：⑴由4+2=§a“+i，倚4+2一1%+1=a“+i，

皿f11□山皿向11=71X1=2；

..數(shù)列jze吊數(shù)列，a,I+1--an=a2--ay93?

121

即％=鏟“+§，得％T=§&—)

71

.數(shù)列是首項(xiàng)為q-1=一；，公比為;的等比數(shù)列，

??-i=(--)-(-r',故數(shù)列俎｝的通項(xiàng)公式為4=1—§.

八2、,n

⑵nan=?(1--)=/?-2--.

、..123n右1_12n-\n

設(shè)[=]+鏟+手+…+/①3T"=?②

11

1—(]--------)

2111Inq、邛，n12/1+3

「八⑨徨.T---rr十，十?'

3"332333"3,,+1i13,,+l22.3n+,

3

_32“+3

~4~4-3H

32n+3_(n2+n-3)-3>,+2/1+3

故S“=(1+2+3H---Fn)—2Tn=------2+2-3"2-3"

例2：數(shù)列｛a｝(neN*)是遞增的等比數(shù)列，且仇+為=5,結(jié)？=4.

(I)求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

(H)若%=log,hn+3,求證數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

2

(III)若<2,+/+%+...+am-。46，求加的最大值?

他=4

解：(I)由*知是方程--5x+4=0的兩根，注意到2+1>>得

仇+打=5

仇=1,^3=4.b-,~=b]b3=4得％=2..,.4=\,b2=2,i>3=4

.??等比數(shù)列.｛久｝的公比為％=2,二.勾=仇qi=2"T

瓦

M-1

(II)an=log2+3=log22+3=〃-1+3=〃+2.

7a

?n+i-n=K〃+l)+2]-[n+2]=l

數(shù)列｛%｝是首相為3,公差為1的等差數(shù)列.

(III)由(H)知數(shù)列｛%｝是首相為3,公差為1的等差數(shù)歹!J,有

22

+。2+。3+........................=+〃]+%+。3+..........+&m-

八2一機(jī)(加一1).-,八/7?2-m

=3~+J%X3H--------xl—3=6+3m4........10分=48

2246

6+3加+‘"-’"448,整理得加2+5加-8440,解得一124用＜7.

2

???加的最大值是7.

例3：三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個(gè)數(shù)減去32,則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)

列的第二個(gè)數(shù)減去4,則又成等比數(shù)列，求原來(lái)三個(gè)數(shù).

解析：設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為。,也，。42則必有&疔。+(?-3?①,(〃q-4)2=a(aq2-32)②

由①：.=44+2代入②得:。=2或。=*從而g=5或13

a9

原來(lái)三個(gè)數(shù)為2,10,50或,曰―

例4：設(shè)數(shù)列｛詼｝為等差數(shù)列，S“為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,已知§7=7,Si5=75,

為數(shù)列｛也｝的前〃項(xiàng)和，求T”.

n

解析：法一：利用基本元素分析法

S=7%+4=7

724=-2

設(shè)｛恁｝首項(xiàng)為4,公差為d,則＜

15x14,rud=l

S=15%+--------a=75

l52

??.S「2+?4=—2+巴士=2_工此式為〃的一次函數(shù)

n222

129

???｛4｝為等差數(shù)列T,--n——n

n"44

S=AX72+7B=7

法二：｛斯｝為等差數(shù)歹U,設(shè)S=Aif+Bn■7

n2

SIS=AX15+15B=75

2

A

2.s

解之得：-n2--n,下略

_5"22

B

-2

注：法二利用了等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

例5：一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：

27,求公差.

z12x11,,一

12al+-----d=354

'2

解一：設(shè)首項(xiàng)為%,公差為則

d6（%+d）+等x2d32nd=5

—,6x5.,一

644-----x2d

2

S奇+5偶=354

斗5?：=192由（

解二:S偶_32=162S—=6d=>d=5

五:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)典型題例示范講解:

例1:已知,f(x)=2+log3x(14x<9),求g(x)="(x)]2+/(/)的最大值與最小值。

2

解：??,/(x)=2+log3x(l<x<9),/.1<x<9,1<x<3,

2222

g(x)=(2+log3x)+2+log3x=log3x+61og3x+6=(log3x+3)-3,

Vl<X<3,.-.0<log3X<1,.-.g(X)max=13^Wmin=6。

x

例2：設(shè)x20,比較B=lg(l+x),C=----的大小.

Jl+%

I2

解令f(x)=C-B=-二-Tg(l+x),則/'(x尸(l+

Jl+x2(l+x)Vl+x

???/(X)為[0,+8)上的增函數(shù)，為(0尸0,二。與8

令^(x)=B-A=lg(1+x)-xe",則當(dāng)入20時(shí)，g7(x)=---------------------20,

1+X

.?.g(x)為[0,+oo)上的增函數(shù)，...g(x)》g(0)=0,

因此，(x=0時(shí)等號(hào)成立).

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設(shè)輔助函數(shù)法，如火。尸力(“)，要證明當(dāng)

x>a時(shí)，有/(a尸巾⑷，則只要設(shè)輔助函數(shù)尸(x)=.?a)-巾(a),然后證明F(x)在x>a單調(diào)遞減即可，

并且這種設(shè)輔助函數(shù)法有時(shí)可使用多次，2004年全國(guó)卷0的壓軸題就考查了此知識(shí)點(diǎn).

例3：以正弦曲線尸im?上一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線/,則直線/的傾斜角的范圍是

八兀[「玩]「兀丸]「八兀]「兀37r

A.0,一U--,7tB.10,7tC.一■,—D.0,一U—,--

.4jL4J[44」14」[24_

解設(shè)過(guò)曲線y=siru上點(diǎn)P的切線斜率角為a,由題意知，tana=y，=cosx

".,cosxG[-l,1],.Zanae[-1,1],又aE.[0,7T),ae0：U.

故選A.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)了=於)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)廣(Xo)表示曲線，yJx)在點(diǎn)(Xo，兀吟)處的切線斜率，

即&=tana(a為切線的傾斜角)，這就是導(dǎo)致的幾何意義.本題若不同時(shí)考慮正切函數(shù)的圖像及直

線傾斜角的范圍，極易出錯(cuò).

例4：曲線y=x3-af的切線通過(guò)點(diǎn)(0,1),且過(guò)點(diǎn)(0,1)的切線有兩條，求實(shí)數(shù)。的值.

解，.?點(diǎn)(0,1)不在曲線上，.?.可設(shè)切點(diǎn)為(m,m}-am2).Ifay7=3x2~2ax,

".km=3m3-2am,則切線方程為y=(3m3-2am)x-2m3~am2.

?切線過(guò)(0,1),：.2m}-am2+l=0.(*)

設(shè)(*)式左邊為人加)，.?小，"尸0,由過(guò)(0,1)點(diǎn)的切線有2條，可知?加)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)

解，其等價(jià)于“向”)有極值，且極大值乘以極小值等于0,且。去0”.

由次機(jī)尸2，〃3-卬?2+1,得/'(加)=6"尸-。加2=2"?(3"L。)，令/'(⑼=0,得機(jī)=0,m=y>

a1,

...“WO,<0)?人一)=0,即aWO,--a3+l=0,.'.0=3.

327

點(diǎn)評(píng)本題解答關(guān)鍵是把“切線有2條”的“形”轉(zhuǎn)化為“方程有2個(gè)不同實(shí)根”的“數(shù)”，

即數(shù)形結(jié)合，然后把三次方程(*)有兩個(gè)不同實(shí)根予以轉(zhuǎn)化,三次方程有三個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于“極

大值大于0,且極小值小于0”.另外，對(duì)于求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線，應(yīng)注意此點(diǎn)是否在曲線上.

例5：設(shè)函數(shù)凡￥)與數(shù)列｛。“｝滿(mǎn)足關(guān)系：①ai>a,其中a是方程?x)=x的實(shí)數(shù)根；?a?+i=f(a?),

“GN*；③/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)C(0,1).

(1)證明：a?>a,"CN”；

(2)判斷a“與a,,+i的大小，并證明你的結(jié)論.

(1)證明：(數(shù)學(xué)歸納法)

當(dāng)"=1時(shí)，由題意知ai>a,.?.原式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a/a,成立.

???/'(x)>0,.7/(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

，?！?1=大”/)>大?)=?,(Va是方程/(x尸x的實(shí)數(shù)根)

即當(dāng)”=k+l時(shí)，原式成立.

故對(duì)于任意自然數(shù)N*,原式均成立.

(2)解：g(x)=jr7(x)/Na，二g，(x)=l，(x),又；0<f，解<1,，gz(x)>0.

...g'(X)在|a,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).

而g'(a)=a)a尸o,(x)>g(a)(x>a),gpx>f(x).

又由(1)知，a?>a,.'.a?>J(a?)=a?+i.

點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的自然鏈接，其中將導(dǎo)數(shù)知識(shí)融入數(shù)學(xué)歸納法，

令人耳目一新.

六:圓錐曲線典型題例示范講解：

例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4J5)與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為_(kāi)_____________

(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,l)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)

為。

分析：⑴A在拋物線外，如圖，連PF,則|P"|=|PF|,因而易發(fā)現(xiàn)，密

HPB

當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。?

F

(2)B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRL1交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，

距離和最小。

解：(1)(2,V2)

連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，：耳+|「川=|4"+刈尸|最小,此時(shí)AF的方程為

y=4艮0(1)即y=2蚯(x-1),代入y2=4x得P(2,2痣),(注：另一交點(diǎn)為(L—痣)，

3—12

它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)

(2)(-,1)

4

過(guò)Q作QRJJ交于R,當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，|BQ|+|QF|=|B@+|QR|最小，此時(shí)Q

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入丫2=4*得*=工，...QJJ)

44

點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)

體會(huì)。

22

例2、F是橢圓二+二二1的右焦點(diǎn)，A(l,l)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓

43

y

上一動(dòng)點(diǎn)。H

(1)\PA\+|PF|的最小值為〈］耳F

(2)|PA|+21P目的最小值為

分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑P尸或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。

解：(1)4-75

設(shè)另一焦點(diǎn)為尸，則尸(-1,0)連AF',P尸

|PA|+1尸斤|=|PA|+2a-\PF'\=2a-(|PFf|-|PA|)>2a-\AF'\=4-45

當(dāng)P是尸A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|PA|+|P曰取得最小值為4-石。

(2)3

作出右準(zhǔn)線1,作PHJJ交于H,因J=4,b2=3,c2=l,a=2,c=l,e=-,

2

|PF|=Jp川，即2|pp|=\PH\

：.\PA\+2\PF\=\PA\+\PH\

2

當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為^4=4—1=3

C

2222

例3、動(dòng)圓M與圓CI：(x+l)+y=36內(nèi)切，與圓C2:(x-l)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)y

共線(如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動(dòng)c

圓的“半徑等于半徑”(如圖中的D

A0B5x

解:如圖，

.\|AC|-|MA|=|MB|-忸理即6-\MA\=\MB\-2

\MA\+\MB\=8(*)

22

.?.點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8,a=4,c=l,b?=15軌跡方程為二+"=1

1615

點(diǎn)評(píng)：得到方程(*)后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫(xiě)出方程，而無(wú)需再用距離公式列式

求解，即列出J(x+1)2+y2+J(x—l)2+y2=4,再移項(xiàng)，平方，…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)

方程推導(dǎo)了?遍，較繁瑣！

3

例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=-sinA,求點(diǎn)A的軌跡方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R(R為外接圓半徑)，

可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。

33

解：sinC-sinB=—sinA2RsinC-2RsinB=—?2RsinA

55

.?.|AB|-|AC|=||BC|

即|AB|_|AC|=6(*)

點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))

V2a=6,2c=10

/.a=3,c=5,b=4

J?v2

所求軌跡方程為———=1(x>3)

916

點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說(shuō)明了軌跡(雙曲線右支)

例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到x軸

的最短距離。

2

分析：(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(xi,xj),B(X2,X2),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)

用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y。關(guān)于X。的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。

(2)M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。

22

解法一：設(shè)A（X[,X,）,B（X2,X2）?AB中點(diǎn)M（X（）,y0）

（占-%）2+（X；=9①

則

+￡=2x0②

,xi+x2=（§）

2

由①得（X|的）2[1+（X1+X2）]=9

2

BP[（X1+X2）-4X|X2]?[1+（X1+X2）2]=9（4）

22

由②、③得2x|X2=（2xo）-2yo=4xo-2yo

222

代入④得[（2xo）-（8xo-4yo）]?[l+（2x0）]=9

分。一以；=怠

g9

4yo=4x：+=（4x：+1）+~--1

4XQ4XQ