高中數(shù)學(xué) 預(yù)測(cè)題

預(yù)測(cè)題（2）

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給山的四個(gè)選項(xiàng)中只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集"=14,集合4=3/-2》<0},8={尤|X>1},則集合40匕8=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}

C.{x|0<x<2}D.{x|x<l}

2.復(fù)數(shù)z=」一（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.給出如下四個(gè)命題：

①若"P且q”為假命題，則p、g均為假命題；

②命題“若"b,則2a>2一”的否命題為“若a。,則2"42〃一1”；

③“VxeR,x2+121”的否定是“HreR,f+lWl”；

④在△ABC中，“4>8”是“sinA>sin8”的充要條件.其中不爪理的命題的個(gè)數(shù)是

（）

A.4B.3C.2D.1

4.如圖所示是以建筑物的三視圖，現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2kg,

則共需油漆大約公斤數(shù)為（尺寸如圖所示，單位：米,頁(yè)取3)()

A.20B.22.2

C.IllD.110

5.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，

抽出了一個(gè)容量為〃的樣本，其頻率分布直方

圖如圖所示，其中支出在［50,60）元的同學(xué)有

30人，貝IJ〃的值為（）

A.90B.95C.100D.110

6.已知直線/_L平面a,直線〃？u平面B,給出下列命題：

①②a_LB=l〃m③l〃m=>a±P④a〃6

其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

7.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是(

A.2010

B.-1

D.2

8.從四棱錐S—ABCD的八條棱中任取兩條，其中抽到兩條棱成異面直線的概率為()

A.-B.-C.-D.-

7277

9.已知aeR,則“a<2”是“|x-2|+|x|>a恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

jrjr

10.將函數(shù)f(x)=2sin(s--)(。>0)的圖象向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù)產(chǎn)g(x)的圖

33a)

7T

象.若尸g(x)在［0,二］上為增函數(shù)，則口的最大值()

4

A.1B.2C.3D.4

7171

—69?—?'?GW2。

42

11.如圖，在/XABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD與BE交于F,

設(shè)A3=a,AC=6,4尸=xa+)仇則(x,y)為()

A.)B,)

3243

3329

C-(〒力民q，而)

12.已知函數(shù)/a+i)是偶函數(shù)，當(dāng)1<%<9時(shí)，

"(々)-〃內(nèi))](工2-網(wǎng))>。恒成立，設(shè)

〃=/(一；)力=f(2),c=/(3),則a,b,c的大小關(guān)系為

)

A.b<a<cB.c<b<aC,b<c<aD.a<b<c

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分。

13.設(shè)°=[$吊；1公，則曲線y=xa*+ax-2在x=1處切線的斜率為.

4+21n2

14.中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓(x-2)2+y2=l都相切，

則雙曲線C的離心率是.

3x-y-6<0

15.設(shè)滿足.x-y+2±0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)的最大值為14,則a=_

x+y>3

16.下列給出的四個(gè)命題中：

①已知數(shù)列｛aj,那么對(duì)任意的ndN.,點(diǎn)P0(n,an)都在直線y=2x+l上是｛aj為等差數(shù)

列的充分不必要條件；

②“m=-2”是“直線(m+2)x+my+l=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充

分條件；

③設(shè)圓x'+V+Dx+Ey+fR與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn),分別為A(xs0),B(x2,0),C(0,y.).D(0,

為)，則Xix2-yiy2=0；

④在實(shí)數(shù)數(shù)列｛aj中，已知ai=0,Ia2|=|a1-l|,|a3|=|a2-lI,?，,,an|=|a?i-l|,

貝ijai+az+as+ai的最大值為2.

其中為真命題的是(寫出所有真命題的代號(hào)).

三、解答題(共6個(gè)小題，共74分)

17、(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)7^cos%>x+sin(oxcos(ox+a(其中CD>0,aeR),

且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為色.

⑴求3的值；⑵如果f(x)在區(qū)間[一,工]上的最小值為鎘，求a的值；

(3)證明：直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.

18.(本小題滿分12分)

某種家用電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器的無(wú)故障時(shí)間T(單位：年)有關(guān)，若T41,則銷

售利潤(rùn)為0元；若1<T<3,則銷售利潤(rùn)為100元，若T>3,則銷售利潤(rùn)為200元.設(shè)每臺(tái)該種

電器的無(wú)故障使用時(shí)間TV1,1<T43,T>3這三種情況發(fā)生的概率分別為&g,鳥，又知幾巴

為方程25x2-15x+a=0的兩根，且g=[.

(1)求耳,鳥,鳥的值；

(H)記J表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，求看的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題滿分12分)

如圖，四邊形4BCO是圓柱。。的軸截面，點(diǎn)尸在圓柱。。的底面圓周上，G是DP的中

點(diǎn)，圓柱0。的底面圓的半徑。4=2,側(cè)面積為86萬(wàn)，ZA0P=\20°.

(1)求證：AGVBD-.

(2)求二面角P-4G-8的平面角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=al+%X(QKO)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=—2x+7,數(shù)列J｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，

點(diǎn)?€N*)均在函數(shù)、=f(x)的圖象上.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及S“的最大值；

(H)令4=序，其中〃eN*,求｛nbn］的前〃項(xiàng)和.

21.(本小題滿分12分)

若橢圓片：二+二=1和橢圓當(dāng)：￡+二=1滿足4=%=〃?(加＞0),則稱這兩個(gè)橢

a；b「a2b2a｝濟(jì)

圓相似，機(jī)是相似比.

LY2V2

(I)求過(guò)(2,灰)且與橢圓二+乙=1相似的橢圓的方程；

42

(ID設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線/分別與(I)中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在線段0B上).

①若P是線段AB上的一點(diǎn)，若10A|、IOP|,IOBI成等比數(shù)列，求P點(diǎn)的軌跡方程;

②求-|。耳的最大值和最小值.

22.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=(2-a)lnx+」+2ax.

x

(I)當(dāng)4=0時(shí)，求/(X)的極值；

(1J)當(dāng)aw0時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ill)當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)〃，在區(qū)間［,,6+〃+工］上總有機(jī)+4個(gè)數(shù)使得

2n

/(?1)+/(?2)+/(?3)+??■/(??,)</(%,+J+/(5+2)+/(5+3)+/(%+4)

成立，試問：正整數(shù)機(jī)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理山.

參考答案

一、選擇題：本大題12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給山的四個(gè)選項(xiàng)中只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.B

解析：品3=卜,41},A={x|0<x<2),故AnCuBjxIOcxWl}。

2.A

解析：由題z=—!—=—―—=-+-i,所以在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限。

1-z(1-0(1+022

3.C.

解析：②④正確

4.B

解析：該建筑物上部為圓錐，下部為正四棱柱，總的表面積為：

1,,

S=4x3x4+—x5x2乃x3+乃x3--33=22.2。

2

5.C

30

解析：由圖可知在［50,60)元的同學(xué)占有的頻率為0.3,所以也=0.3,解得〃=100。

n

6.C

解析：?！?=>直線/，平面B,由于直線加u平面B??.l±m(xù)故①正確；由l〃m,

直線/_L平面Q可推出直線平面a,而直線mu平面B，Q_LB故③正確。

7.D

解析：由題可知執(zhí)行如圖的程序框圖可知S=-l,-,2,-l,-,2……所以當(dāng)k=2009時(shí)

22

5=2,當(dāng)左=2010時(shí)輸出S=2,故選D。

8.C

解析：在八條棱中任取其中的兩條，其中是異面直線的為C：-C：-4C；-2,所以抽到兩

條棱成異面直線的概率為。Y,4c”2=2。故選以

c；7

9.C

解析：卜-2|+兇表示數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到0、2的距離之和，而該距離之和的最小值即0與2

的距離為2.

10.B

TTTT

解析：將函數(shù)f(x)=2sin(5——)(8>0)的圖象向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù)

33a)

y=g(x)=2sinco\x+—|--=2sin5。?.?丫飛&)在［03］上為增函數(shù)

3coJ3J4

冗，冗,八

??—coW—??(yW20

42

11.A

解析：AF^AB+BF=AB+ABE=AB+A(-AC-AB)^(l-A)AB+-AAC,

44

同理向量而還可以表示為赤=公+斤=/+〃而而+(i—〃)形，對(duì)應(yīng)相

2一1—?1一

等可得a=一，所以4F=—A8+—AC,故選A。

332

12.A

解析：???函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù).?./(x+l)=/(l—x)

；?函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱。山1<玉時(shí)，［/(占)-/(占)］。2-王)>0恒成立

可知：函數(shù)y=/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則在(-8,1)上單調(diào)遞減。于是b<a<c。

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分。

13.4+21n2

解析：a=￡sinxdx=-cosx|=-(cosn-cos0)=2,于是曲線y=x2*+2x-2,

y'=2'+x2Un2+2,...在x=l處切線的斜率為：Z=2+21n2+2=4+21n2。

14.述或2

3

b

解析：由題可知，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線方程為y=—1，由已知可知

a

J羽=1,解得e=2回；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線方程為y=qx,由已

yJa2+b23b

知可得J24==],解得e=2。

y/a2+b2

15.2

3x-y-6<0

解析：由，x-y+2>0所確定的可行域，確定使目標(biāo)函數(shù)2="+、伍>0)達(dá)到最大值14的

x+y>3

最優(yōu)解，代入14=ax+y,可得a=2.

16.①③④

三、解答題(共6個(gè)小題，共74分)

5,、/Xr1+COS2CDX,11,

17、解：(1)f(x)=yJ3X---------+-sin2cox+a=^sin2cox+cos2wxa

=sin(2cox+-)a

?J

由題意知，23*蔻+8，.\s=l

(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+?+乎+a*.*—-Wx這招0>2x+、W票

:.一黑sin(2x+$Wlf(x)的最小值=一J+平

乙j乙乙

(3)fz(x)=2cos(2x+$|f，(x)|W2

o

：.曲線y=f(x)的切線斜率的取值范圍是[-2,2],

5

而直線的切線斜率方>2,直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.

上+鳥+4=1

31?2

18.解：(I)由已知得—

解得:耳=一,￡=-,P3=--

(II)J的可能取值為()只垣(g200,300,400.

111

P(J=0)=-X——-----

5525

124

P(J=100)=2x-x—=一

5525

2228

P(J=200)2x-x—+—X———

555525

?228

P(J=300)2x-x-

5525

224

P(J=400)=—x—

5525

隨機(jī)變量4的分布列為

0100200300400

P14884

2525252525

14884

所求的數(shù)學(xué)期望為Ej=Ox—+100x一+200x一+300x一+400x一=240（元）

2525252525

所以隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期望為240元.

19.解：（1）（解法一）：由題意可知8岳=2x2;rAO,解得AD=2出,

在AAOP中，AP=V22+22-2-2-2-COS120°=273,AD=AP,

又是。尸的中點(diǎn)，AG1DP.①

,/A8為圓。的直徑，，APVBP.

由已知知D4_L底面A8P,Z.DALBP,：.平面。AP.

BPLAG.②

由①②可知：AG1平面OP8,

AGLBD.

（2）由（1）知：AG_L平面OP8,AAG1BG,AG1PG,

NPGB是二面角P-AG-B的平面角.

△

PG=LpD=Lx4iAP=m,BP=OP=2,ZBPG=90°.o'、

22

PG_V6_V15

：.BG=dPG?+BP?=屈?cosZPGB

而一而一行

（解法二）：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

由題意可知8拒兀=2x27r-AD.解得AO=2百.

則A（0,0,0）,5（0,4,0）,0（0,0,2⑹，P（"3,0）,

是。的中點(diǎn)，可求得回.

?:GP122J

（1）BP=（V3-1,0）,fiD=（0,-4,273）,AAG

日,|,6）（0,—4,2同=

AGBD=0,AGLBD.

、

(2)由⑴知，BP=(73-1,0),

AG=住1,呼

?.?瓦?麗=0,AGBP^O.,.而是平面APG的法向量.

設(shè)7=(x,y,l)是平面ABG的法向量,

由7.布=0,n-AB=0,解得7=(—2,0,1)

BP-n-273V15

COS。

網(wǎng)洞一2米一5

J15

所以二面角P-AG-B的平面角的余弦值"

5

20.解：(I):/(x)=ax2+bx(aH0),f'(x)-2ax+b

由f'(x)--2x+l得：a=-l/=7,所以/(x)=-x1+7x

2

又因?yàn)辄c(diǎn)P?(n,Sn)(〃GN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以有S?=-n+7n

當(dāng)〃=1時(shí)，a]=S]=6

當(dāng)〃N2時(shí)，〃〃=S〃一S“_]=-2n+8,z.an=-2n+8(〃GN*)

令?！?一2〃+820得〃44,，當(dāng)〃=3或〃=4時(shí)，S〃取得最大值12

綜上，〃〃=—2〃+8(〃￡N*),當(dāng)〃=3或〃=4時(shí)，S.取得最大值12

(II)由題意得A=6=8,"=了=2一"4

所以如=L,即數(shù)列也“｝是首項(xiàng)為8,公比是』的等比數(shù)列

b.22

故｛〃"｝的前"項(xiàng)和7；=1X23+2X22+—+〃X2--4..........................①

I?；,=1X22+2X2+???+(?-1)X2-,,+4+7JX2-,,+3.................②

所以①一②得：-T=23+22+---+2-"+4-nx2-,,+3

2

i6[i-d)n]

?u=——，——3=32-(2+n)24-"

i——

2

21.解：(1)設(shè)與三+二=1相似的橢圓的方程「+與=1.

42a2b2

’2VI

—=---22

則有“b解得/=i6,從=8,所求方程是工+2-=1.

46,168

r+r=1

(ab

(II)①當(dāng)射線/的斜率不存在時(shí)4(0,±逝),8(0,±20),

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)P(0,y0),則$=4,凡=±2.即P(0,±2).

當(dāng)射線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程＞=履，P（x,y）

4

片=

■=31+2F

由4>|，x),BQ2,%)則，丁+片_]得.

4k2

萬(wàn)一才=

[1+i+2k2

1=1TOII/IDI4jl+

???1041=-？=^同理|。8Hr

g2k2J1+2A2

8(1+二)_8(1+^)_8,+嚴(yán)

又點(diǎn)P在/上，則左=上，且由V+y2

X1+2/一1+2/一f+2y2

即所求方程是土+匕=1.

84

又???（0,±2）適合方程,故所求橢圓的方程是三+乙=1.

84

②由①可知,當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，|。4卜\OB\=JL2血=4,

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，|。4卜|0用=8（1+［：）=4+-4

1111l+2k21+2k2

A4<|0/1|-|05|<8

綜上|。4卜|。目的最大值是8,最小值是4.

22.解：（1）函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）.

當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=21nx+—,.'.f（x）=——-=——r—

XXXX

由r（x）=o得x=g.

/（X），/（X）隨X變化如下表：

X］_A、

嗚）（5,+8）

2

減