高中數(shù)學基本初等函數(shù)解答題訓練含答案

高中數(shù)學基本初等函數(shù)解答題專題訓練含答案

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一、解答題(共15題)

1、若〃幻=--奴+”1,其中￡是常數(shù)

⑴求〃4+x)-/(-x)的值；.

(2)方程八幻=。的兩根異號，求實數(shù)t的取值范圍；

⑶當2=4時，求出不等式X的解集.

2、

設曲線=在點(L1)處的切線7與4軸的交點的橫坐標為％,令4=館4.

(1)若數(shù)列｛4｝的前n項和為耳，求$99；

(2)若切線，與y軸的交點的縱坐標為乂，bn=-y?,%=%熟,求數(shù)列匕)的前〃項

和4.

3、

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且/⑴=2

(1)求函數(shù)“X)的解析式，并判定函數(shù)“X)在區(qū)間(°，田)上的單調(diào)性(無需證明)；

(2)已知函數(shù)—“/⑴一彳卜＞。且cwl),已知F(x)在X42,4］的最大值為2,求

。的值.

4、

sinx-2

y=-----

(1)求函數(shù)sinx-l的值域；

r7F5爐

(2)求函數(shù)y=-28s%+2sinx+3,底［不'不」的最大值和最小值.

5、已知函數(shù)〃x)=(x-a)lnx(a>0).

(1)當&=1時，判斷函數(shù)"X)的單調(diào)性；

(2)證明函數(shù)存在最小值g(。)，并求出函數(shù)g(a)的最大值.

6、已知函數(shù)八'1-x.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)寫出函數(shù)“制的定義域，并求時函數(shù)〃x)的極值；

(2)入=0是函數(shù)/(X)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.

y=2cos--3%

7、已知函數(shù)(2人

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及取得最大、最小值時自變量x的集合；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性.

8、定義在不上的函數(shù)〃x),滿足對任意的實數(shù)x,V總有〃x+y)=〃x)+/(#-4,若

x>0時，〃x)<4且j(-2)=10.

⑴求"2)的值；

(2)求證在定義域M上單調(diào)遞減；

(3)若/他-2)</(2乃-3時，求實數(shù)上的取值范圍.

9、已知函數(shù)k(a>0且a#l)是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)尢的值；

⑵若。=3,g(x)=『+產(chǎn)-4的⑴，且g(x)在［05上的最小值為1,求實數(shù)幽的值.

10、設函數(shù)/(x)=2#+(x-2a)|x-a|.

(1)若a=l,求函數(shù)/⑶的值域；

(2)求函數(shù)/(X)在區(qū)間［T，l］的最小值.

石

11、已知函數(shù)小)=腕式/知.的定義域為詆4

(1)設￡=10g2X,求￡的取值范圍；

(2)求的最大值與最小值及相應的X的值.

12、已知函數(shù)/(乃=2.+以+°-1

(1)若了⑶的圖象恒在直線了=-1上方，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式在區(qū)間(0,m)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

13、己知函數(shù)"X)的定義域為D,若存在實數(shù)a,使得對于任意演€“都存在弓€。滿

藥+〃勺)_

足一2——“，則稱函數(shù)/(X)為“自均值函數(shù)”，其中a稱為了(X)的“自均值數(shù)

(1)判斷函數(shù)/(x)=2,是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由：

(2)若函數(shù)g(x)“n(次+不)(。>0),代［0,1］為“自均值函數(shù)”，求0的取值范圍；

(3)若函數(shù)依)="+2X+3,xe[0,2]有且僅有i個“自均值數(shù)”，求實數(shù)t的值.

14、(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)A?在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全函數(shù)了⑶的圖象,

并根據(jù)圖象寫出函數(shù)八x)(xe&)的遞增區(qū)間;

(2)寫出函數(shù)〃x)(xeR)的值域;

(3)寫出函數(shù)“x)(xeR)的解析式.

15、(1)當a=4時，解不等式〃x)>°；

(2)若關于x的方程〃')7°&[(&-4r+2&-5]=0有兩個不等的實數(shù)根，求。的取值范

圍；

(3)設?>0,若對任意函數(shù)"X)在區(qū)間[。+1]上的最大值與最小值的差不

超過1,求。的取值范圍.

一、解答題

1、(1)0

(2)t<1

(3)(O.l)U(3,-Kx))

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)解析式，將/(4+乃-/(-?展開化簡即可求得答案；

(2)根據(jù)方程八》=。的兩根異號，列出不等式，解得答案；

/(x)

(3)寫出工的表達式，并化簡，討論x的正負，結(jié)合一元二次不等式的解法，求得答

案.

(1)

由題意可得：

/(4+x)-/(-x)=(4+%)2-4(4+X)+Z-1-(X2+4X+Z-1)=0

>#

(2)

由方程73=°的兩根異號可得："1<0,此時A>0,即亡<1；

(3)

?-4x+3(x-l)(x-3)

---------->U------------------------>U,----------------------------U

￡=4時，x即xx,

故當x>0時，(x-l)(x-3)>0,可得0。<1或x>3；、

故當x<0時，(”D(x-3)<0,原不等式此時無解，

/(X)>°

故不等式x的解集為(0,DU(3,4OO).

2、

(1)-2

(2)4=("1)'泮+2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出?=〃x)在a」)處切線的切線方程，即可得

%=lg"lg("+l),然后利用裂項相消求和法即可求解；

(2)由題意，可得…*.去,利用錯位相減法即可求解.

(1)

解：...=.../(x)=5+1W,

y=〃x)在(L1)處切線斜率+1,切線方程為yT=("+i)(x-i),

&c，九二/一.=IgXj.=1g—=lg??-lg(^4-li

令7=0,得X甩+1,則'E+lSS,

.?.S”=%+%+…+&p=lgl-lg2+lg2-lg3+…+愴99-IglOO=Igl-IglOO=一2；

(2)

解：令x=0,得乂=-附，?；E=-y*,4=",

,/q=a2"=%2”,

,1=lx2+2x2°+—-2#

24=lx22+…+5-■l).2"+"-2^^"②

2(1-2")

^,-71=2+22+-+2,!-?X2,+1=—------?x2,!+1=-2+2x+1-?x2s+1

①一②得*1-2,

...7；=(?-l)x2"+1+2

3、

/(ZI=Z+

⑴x;函數(shù)/(X)在區(qū)間(°』上單調(diào)遞減，在。，用)上單調(diào)遞增

_2

⑵C2或。=也

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)=及/(1)=2,即可得到方程組，求出a、占的值,

即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

(2)分0＜，＜1和。＞1兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性計算可得;

(1)

解：函數(shù)的定義域為(”,O)U(ON),

??"(X)是奇函數(shù)，且/⑴=2

二=,且/(-1)=-2

又v/(l)=l+a+Z＞=2,t/(-1)=-1-a=-2

\a=1b=0.

經(jīng)檢驗，。=11=°滿足題意，

當.(。時時,八加舊必二】時等號成立,

.當xe(O,l］時，/3單調(diào)遞減；當xe(l,4oo)時，/⑺單調(diào)遞增.

(2)

解：①當0＜。＜1時，＞T°g/是減函數(shù)，

ar9-

t=f(X)-—=log./(x)—,(c＞0八

故當4取得最小值時，14J且co】)取得最大值2,

99

而C-W在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，所以C-W在區(qū)間［2,4］上的最小值為

“2)一冷，故尸⑴的最大值是/2)=1。弓=2,

所以C=1

②當時，＞=log/是增函數(shù)，

9

故當‘=’"'一兄取得最大值時，

-9'

F(x)=log./(x)—(c＞0_

14」且cwl)取得最大值2,

99

而C-W在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，所以C-W在區(qū)間［2,4］上的最大值為

9

/(4)-4=2,故尸(X)的最大值是尸(x)=log,2=2,

所以C=yjl.

_2

綜上所述，c2或c=＞/2.

4、

(1)L2人(2)最大值為5,最小值為2.

【解析】

【分析】

(1)可用常數(shù)分離法，也可用正弦函數(shù)的有界性求解.

(2)將函數(shù)的解析式化為同名函數(shù)，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題求解.

【詳解】

y=-si-nx---2=-s-in-x--1--1

解：（1）方法1:sinx-1sinx-1

=1+——

1-sinx.

因為-l^sinx<l,所以0<l-sinx^2.

所以當smx=-l時，為+2=2.

「31

所以函數(shù)的值域為L2J.

sinx-2

方法2：由sinx-1,得》inx-y=sinx-2,即（_y-l）smx=y-2,顯然y力1.

sinx=y—

故y-i.

因為-iMsmxvl,所以L'即1了-1

y=-2COS2X+2sinx+3

2sin,x+2sinx+l.

穴5不

X€—,---sinxe

因為[66J,所以9

令sinx=t,則12.

y=2^24-2/4-1=2_二

所以函數(shù)對稱軸為“二-5,且開口向上.

所以函數(shù)在仁可上單調(diào)遞增.

故Aax=2xl+2xl+l=5,止匕時t=smx=l,x=5；

%=2嚕）+2亭」?!1yr57r

/=sinx=——X-----

此時2,6或6.

5

所以函數(shù)的最大值為5,最小值為2.

【點睛】

方法點睛：（1）對于常規(guī)的求三角函數(shù)的值域或最值問題，一般情況下，只要注意到正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)的“有界性”即可解決.

sinx+a（cosx+以

（2）對于形如"X'=sinx+a或Jx'=cosx+占的函數(shù),可采用常數(shù)分離后利用圖象或單

調(diào)性求其最值或值域，也可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)自身的有界性求解.

（3）對于形如/（xh.'x+Bsinx+C或〃x）=4co，+%osx+C（或可化為此形式，其中

4W0）的函數(shù)，可用配方法求其值域.注意當X有具體范圍限制時，需考慮smx或cosx

的范圍.

5、（1）在（°」）上單調(diào)遞減，在（1，.）上單調(diào)遞增

⑵證明見解析，g（a）*=°

【解析】

【分析】

(1)將a=1代入后求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性即可.

(2)通過二次求導證明了'(X)單調(diào)遞增，然后利用零點存在定理判斷/(X)在區(qū)間[石，巴

上存在唯一零點，然后利用隱零點思想得到最小值名匕)，最后再構(gòu)造新函數(shù)g(a)求出其最

大值，注意在判斷零點所在區(qū)間時要合理利用放縮思想，這一步為此題難點.

(1)

由題意知，

11

〃x)=(x-l)lnx,，(x)=lnx+l->x>0),、(力=7>0

所以函數(shù)/'(X)單調(diào)遞增.

又所以當0<“<1時/5)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減；當x>l時，/(為>0,函

數(shù)/(X)單調(diào)遞增.

所以在(0"上單調(diào)遞減，在(L”)上單調(diào)遞增.

(2)

由m百*如/'(x)=lnx+l-2(x>0)/?(力=4>。

由題思知，X,X.

所以函數(shù)/(X)單調(diào)遞增.

]—X

令A(x)=lnx-x+l>則”⑴二.

當時，"5)>0,函數(shù)應X)單調(diào)遞增；當x>l時，Wj)<0,函數(shù)以x)單調(diào)遞減.

所以人(、￡敢=我(1)=0,即lnx<x-l.

f'(x\=lnx+1--<x--而)§心-彳=0

所以xx,即樂.

另一方面，*4…喈…>h>°,

所以存在回向］使得“W-臺。，①

即當0<x<t時，/(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，當時，/'(x)>0,〃x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)〃x)存在最小值〃￡)=g(a)=("a)叫

山”匕g(a)=-("嘰0

由①式，得￡.所以g,t(當且僅當a=L即lna=O,&=1時，等

號成立).

所以g(ak=g(l)=。，即為所求.

【點睛】

導數(shù)問題中，求導后發(fā)現(xiàn)導數(shù)無法因式分解，或者無法直接求出零點時的一個常用方法就是

隱零點，利用設而不求思想得到最值，然后利用該隱零點所滿足的等式關系進代換，從而能

a-t

夠方便的解題，例如本題中：nZ="r即為可代換的式子.

6、⑴極小值八°)=i,極大值“5)=4-

【解析】

【分析】

(1)按照求極值的步驟直接求解即可；

(2)求導，整理后，根據(jù)極小值的取得條件將問題轉(zhuǎn)化為x=0是某不等式的解的問題.

(1)

由1-XN0得XN1,所以/⑺的定義域為(-8,1)w,田)

,/(X)=----e:

當a=0時，X-1

、(x-l)(2x+l)e*-(2x-l)e*(2x2-3x)ex

/W=-------------=廠

3

令人)=。,得:再=°W,

33

因為,當xvO時,廣⑶>0；0<x<l或<"<5時，/'(x)v0；時,O0.

所以，當x=0時,j(X)有極小值/(0)=1；

當*=5時,〃x)有極大值/(2)=4c*

(2)

t(1一%)[以/+(2以-2)x-l]e'+(以-—2x+l)e*

"而?

x[ax2-2x-(2a-3)]ex

=M5

記g(x)=ax2-2x-(2a-3)

因為在x=0處有極小值，

所以，存在題>0,使得當xe(一加,0)時，即g(x)<0.當xe(0,㈤時，/(x)>0,

即g(x)<。.

3

即x=0是不等式蛉)<。的解，故g(0)=-(2a-3)<0,解得

3、

大田)

所以實數(shù)a的取值范圍為

2blJi2版，)兀2上JrTC2與JT

+—，keZ+—，keZ

7、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為L63'6，單調(diào)遞減區(qū)間為L63'2

■TC2i

xx=-+——,ieZ

函數(shù)取最大值時自變量X的集合是?63,函數(shù)取得最小值時自變量X的集合

■IT2上Jt

xx-------1------,keZ

是163

(2)函數(shù)為奇函數(shù)，理由見解析.

【解

【分析】

(1)先用誘導公式化簡，再用整體法求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間及函數(shù)取最值時自變量的取值范圍;

(2)利用函數(shù)奇偶性定義進行判斷.

⑴

?TTIT7T2A-JLIT2A.JV

y=2cosf=2sin3x一一+——<x<-+——

，令22keZ,即6363,keZ,

-TVITTC2A.JL

-4-2fer<3x<—+2br一十——<x<-+——

令22keZ,即6323,keZ,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

TC2A/JL7T冗2AJLTC2上JT

一十——，一+——keZ—+--,—+---，止wZ

6363f,單調(diào)遞減區(qū)間為L6323J

3x=—+2bt?—.3x=--4-2ATI

令2,日Z,即63,丘Z時，函數(shù)取得最大值；令2,keZ,

冗2AJL

x———+----

即63,上eZ時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)取得最大值時自變量x的集合是

■TC2i■712上JT

xx=-+——fkeZx\1x-------F-----eZ

?63，函數(shù)取得最小值時自變量x的集合是63

⑵

函數(shù)定義域為R,且〃-x)=2sin(-3x)=-2sin3x=-〃x),故函數(shù)為奇函數(shù).

8、(1)-2.

(2)答案見解析.

⑶ST

【解析】

【分析】

(1)利用賦值法求出"2)的值；

(2)證明見解析；

(3)先把不等式轉(zhuǎn)化為上+1),利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

(1)

因為對任意的實數(shù)x,尸總有〃x+y)=〃x)+/3-4,

所以取刀=y=0,有/(0+0)=/(0)+/(0)-4?解得：/(0)=4

取x=2,1y=-2,有〃2-2)=/(2)+/(-2)-4,因為/(-2)=10,解得：〃2)=-2

(2)

任取x"2eR,且演</，記￡=才2-2>0,

則/(X2)-/(XJ=/(￡+XJ-1/(XJ=/(￡)+/(XI)-4-I/(XI)=/(￡)-4.

因為x>0時,〃x)<4,所以—〃Xj)=〃t)-4<0,即〃叼)<〃再),

所以“X)在定義域〃上單調(diào)遞減.

(3)

因為對任意的實數(shù)x,，總有〃x+y)=/(x)+〃》-4.

所以取~=】,有/(1+!)=/(1)+/0)-4,解得:/(1)=1

所以/依-2)<〃2無)-3可化為了住-2)<〃冽+〃1)-4=〃％+1)

因為“X)在定義域;?上單調(diào)遞減.

所以k-2>2k+\,解得k<-3.

即不等式的解集為(7°「3)

9、(1)尢=1;

1

m~—

(2)2.

【解析】

【分析】

(1)利用奇函數(shù)的定義可得出關于實數(shù)尢的等式，即可解得實數(shù)尢的值；

-8-

t=/(x)e0,-

(2)令L3J,陽f)=g(x)=2￡-4椀+2,然后對實數(shù)切的取值進行分類討論，分

析二次函數(shù)應價在［'司?上的單調(diào)性，可得出關于實數(shù)m的等式，綜合可求得實數(shù)切的值.

(1)

解：因為函數(shù)〃幻為奇函數(shù)，則

即~t—=--t—,整理可得°-州。、尸)二°對任意的xeR恒成立，

則1-^=0,解得-1.

(2)

解：當”3時，由(1)可知/6)=3"-夕*,

/(Z)

因為函數(shù)…、y=-尹均為［05上的增函數(shù)，所以，/(0)</(%)</(1),即°--3,

令t=f(x)e0,-則32*+3-2，=(3*-3T)'+2=d+2

所以，g(x)=32*+3"*—4區(qū)=/—4制+2,

￡』0斗

令為⑷=g(x)=J—4板+2,其中ef3_,

二次函數(shù)為⑷的圖象開口向上，對稱軸為直線￡=2%

①當2mM0時，即加￡0時，函數(shù)力⑷彳￡L3」上單調(diào)遞增，

此時,〃（限=力（。）=2,不合乎題意；

84

…,0<2加〈一，-0<m<-,?

②當3時，即當t3時，;；(￡』=%(2.)=7〉+2=1,解得W=2,合乎題意;

r、84、M

…2m>—m>—>.

③當3時，即當3時，函數(shù)如“在L'3」上單調(diào)遞減,

,,、8232掰，_73

此時，U⑶93,解得m=96,不合乎題意.

綜上所述，W=2.

2,+如+3?M—2

5-2<a<0

-a2

〃x）1tt

知―'31704a<3?3

17-4”

~—>+°°

10、（1）L4）.（2）-2a2-3a+la-3

【解析】

（1）首先討論去掉絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，再求每段函數(shù)的值域，最后求兩段函數(shù)

值域的并集；（2）先分a<0和兩種情況討論，再根據(jù)兩個二次函數(shù)的對稱軸再對a

進行討論，分析函數(shù)的最小值.

【詳解】

2

(1)當a=1時，/(X)=2X+(X-2)|X-1|>

當x21時，/(X)=2X2+(X-2)(X-1)=3XJ-3X4-2

_2

函數(shù)的對稱軸是Z=2,函數(shù)在單調(diào)遞增，〃x)e[2,zo),

當工<1時，/(x)=2x2+(x-2)(l-x)=%2+3^-2,

_317

=--------,4-00

函數(shù)的對稱軸是，=-5,函數(shù)在區(qū)間（—［）的值域是一4

3x2-3x+2,x>117

/(?=<一,4~00

x2+3x-2,五<1的值域是L4,

22222

(2)當時，f(x)=2x+(x-2a)(x-a)=3x-3ax+2a；f1(x)=3x-3ax+2a,此時函

一

數(shù)的對稱軸是2,

當x<a時，f(x)=2x2+(x-2a)(a-x)=x2+3ax-2a\分⑴=/+%x-2/，此時函數(shù)的對稱軸

3a

x=--

是2,

22

3X-3ax+2afx>a

所以x2+3ax-2a2,x<a,/(a)=2a2

1.當時，

當2a--1,即時，是上單調(diào)遞增，此時/“京=工(-1)=21一%+3,

_]士<0_￡

當一,5,時，即-2<a<0時，〃x)在工(X)的對稱軸'=5處取得最小值，此時

〃心=工圖彳J/+21=".

2.當a"時,

2

->-

時

即3在［-1,1］上單調(diào)遞增,

此時/(xL=%(-l)=-2a-3a+l,

當一1<一2"'°時，即時，即〃外在力3的對稱軸、=一萬處取得最小值,

172

此時/(XU=^-a2--a2-2a=--a

424

'2a2+3a+3aV—2

52-2<a<Q

-a

42

0<a<—

172

——a3

4

2a

綜上所述,-2a-3a+\

【點睛】

思路點睛：本題考查含絕對值的二次函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性和函數(shù)的最值，本題的難點是第二

a3a

x=x=-

問，首先分段函數(shù)的兩段函數(shù)對稱軸分別是2和2,所以首先分a<0和aNO兩種

情況，再分含對稱軸的那段的對稱軸是否包含于區(qū)間［T』討論，求函數(shù)最小值，屬于偏難

題型.

J引-竺

11、(1)5；(2),當x=20時，/⑶有最小值4,當x=8時，/⑶有最

大值-4.

【分析】

(1)利用對數(shù)的單調(diào)性，若1=log2X,求C的取值范圍；

(2)利用對數(shù)的運算法則化簡〃x)=(log2X_4)(l+log"),結(jié)合配方法，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意可得xe［0,8］,2-1Og2X-3,即￡的取值范圍為［2

/W=loga(-Y)log^(2x)=2(1Og2y/x-2)(1+log2x)

乙)'

=0og2x-4)(l+log2x)>

令t=log2X,則‘‘八''24,其中2,

.3_25

所以，當=2,即x=20時，IS)有最小值4,

當t=3,即x=8時，/⑶有最大值_4.

【點睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則，配方法的運用，屬于中檔題.

12、

(1)0<a<8；

(2)^>1.

【分析】

(1)根據(jù)給定條件可得2/+”+々-1>-1恒成立，再借助判別式列出不等式求解即得.

(2)根據(jù)給定條件列出不等式，再分離參數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值范圍即可推理作

答.

(1)

因函數(shù)〃x)=2，+ax+a-l的圖象恒在直線y=7上方，即VxeR,

2x2+ax+a-12x2+ax+a>0,

于是得A=a2-8a<0,解得0<a<8,

所以實數(shù)a的取值范圍是：0<。<8.

(2)

依題意，”｛。，地，/㈤2°=2/+妝+“-12°=心-中，

2/_1_2("1)?-1_二J/

令x+1=Z>1,x+1tt,

令函數(shù)g⑴=2t+；-4,Z6(1,400),%&e(L*o)心氣，

g(q)_g(t［)=2：+—2t2—=fti-tjX2---)-A2---->0

iik我,而1<45,即4T2<°,我,

則有g(4)-g?2)<0,即g(A)<g(^),于是得g(t)在te(l,xo)上單調(diào)遞增，

2x2-1_2r2-1

因此，V/>1,g(0>g(l)=-l,即TH-",從而有-K-<,則a>l,

所以實數(shù)a的取值范圍是421.

13、

(1)不是，理由見解析；

1?57r、

,+oo)

(2)［—6'；

_2

(3)~2.

【分析】

(1)假定函數(shù)7(x)=k是"自均值函數(shù)”，由函數(shù)一硝的值域與函數(shù)>=2a-x】的值域關

系判斷作答.

(2)根據(jù)給定定義可得函數(shù)g?)在［Of上的值域包含函數(shù)"2a-x】在［0J上的值域，由

此推理計算作答.

(3)根據(jù)給定定義可得函數(shù)”3)在電2］上的值域包含函數(shù)、=2"々在電2］上的值域，再借

助a值的唯一性即可推理計算作答.

1)

假定函數(shù)歐=2,是“自均值函數(shù)"，顯然歐=2淀義域為R,則存在aeR,對于

X1+2*_

%R,存在%eR,有2=",

即2$=2a-%依題意，函數(shù)/a）=2即在R上的值域應包含函數(shù)y=2“一而在R上的值域,

而當與eR時，/a）值域是（0,m），當々eR時，夕=2°-再的值域是R,顯然（0,m）不

包含R，

所以函數(shù)/（x）=2'不是"自均值函數(shù)

（2）

々+g（x2）_7T9

依題意，存在aeR,對于也€血1］,存在弓6血1］,有—2—=。，即.（咽+1）=a-%

當*月0,1］時，'=2。-再的值域是［2a-l,2a］,因此g%）=仙（咽+不）在弓］0刀的值域包含

［2a-1.2a］,

穴“穴」7T

rfjI】_—￡+V0+

當才2H0,1］時，而0>0,則666,

7T<7T_11

若°+不一?,則以初〃=2,g%）Ml,此時g⑹值域的區(qū)間長度不超過2,而區(qū)間

［2a-l,2a］長度為1,不符合題意，

于是得<2>+?>2,8（石焉=1,要抄2）=$皿%+不）在X2e［0,l］的值域包含［2a-1.2a］,

則g%）=sin（g+U在々e［0,1］的最小值小于等于o,又也+石€［5，萬］時，g5）遞減,

且g⑷=°,

7T5開_1

從而有°+?一”，解得°一忑，此時，取“=5,y=2af的值域是［0,1］包含于ga）在

x"［0，1］的值域,

所以。的取值范圍是‘6'；

(3)

一+/(々)_a

依題意，存在aeR,對于修修0,2］,存在弓曰0,2］,有2，即的+2勺+3=2”演，

當公直。，2］時,>=2。-再的值域是［2a-2,2a］f因此打(弓)=4+2電+3在金e［0,2］的值域包含

0-2.2a］,并且有唯一的a值，

當￡“時，&(電)在［。，2］單調(diào)遞增，/每)在々曰0,2］的值域是［3,4t+7］,

2d-22357

+

由［2a-2,2a］03,4t+7］得［2a<4t+lj解得2~a-^2,此時a的值不唯一，不符合要求,

當￡<0時，函數(shù)&&)=火+2為+3的對稱軸為XL"

當一廣L即-5金<°時，〃區(qū))在［0,2］單調(diào)遞增，A&)在弓［0,2］的值域是［3,4/+7］,

2以一2之35757

由［24-2,2003,4￡+7］得自工4￡+7,解得5axz十萬,要@的值唯一，當且僅當二力+工

￡=-_1?=—51/=——

即22,則2,

<-<2

當°7,即‘<一5時，以G吹=久-?=3-［,A(x3)mkl=min(A(0),A(2))>/0)=3,

應2)=4+7,

由［2”2,2咱3,3九-1金<6得：**9,此時a的值不唯一,不符合要求，

1931

［2a-22a］(z［4t+l3--12t+-<a<--—

由「J-L/且￡<-1得，222￡，此時a的值不唯一，不符合要求，

綜上得：/="2,

_2

所以函數(shù)雙幻=幺+2"3,工以0,2］有且僅有1個“自均值數(shù)”，實數(shù)t的值是-5.

【點睛】

結(jié)論點睛：若吃蟲⑸，3x2e[c,d]＞有〃xj=g(x2),則的值域是g⑴值域的子集.

14、【分析】

(1)由偶函數(shù)圖象的性質(zhì)即可得函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得遞增區(qū)間;

(2)數(shù)形結(jié)合即可得解；

(3)由偶函數(shù)的性質(zhì)運算即可得解.

【詳解】

(1)根據(jù)偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，補全函數(shù)的圖象，如圖，

結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為。，*°)；

(2)結(jié)合函數(shù)的圖象可得，當x=l,或x=-l時，函數(shù)取得最小值為-1,

函數(shù)沒有最大值，故函數(shù)的值域為[T^)；

(3)當x>0時，-x<0,

所以/(x)=/(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x；

X2+2X,X<0

2

所以x-2x,x>0

15、【解析】

log2—+4