初中數(shù)學奧林匹克初中訓練題

數(shù)學奧林匹克初中訓練題(18)

第一試

一、選擇：

1.已知x(y—'］=2008,其中尤、y均為正整數(shù).則x+y的最大值與最小值的和為()

kx)

A.2010B.2100C.2008D.2000

2.設［x］表示不超過實數(shù)%的最大整數(shù)，{x}=x—［目.則

2009x832010x834017x83

）.

200920092009

A.249075B.250958C.174696D.251000

3.在2X3的矩形方格紙上各個小正方形的頂點稱為格點.則以格點為頂點的等腰直角三角形

有（）個.

A.24B.38C.46D.50

AF）

4.如圖1,在等邊△ABC中,E為AB的中點,D在AC上，使得——

AC

則有（）.

A.AAED^ABEDB.AAED^ACBD

C.AAED^AABDD.ABAD^ABCD

5.已知直角坐標系中的四點A(-2,4)、B(-2,0)、C(2,-3)、D(2,0).設P是x軸

上的點，且聯(lián)結PA、PC后它們與AB、CD及x軸所圍成的兩個三角形(即APAB和

△PCD)相似.則所有符合上述條件的點P的個數(shù)為().

A.2B.3C.4D.5

6.方程4加2+2"m2+2”+5=0的正整數(shù)解有()組.

A.1B.2C.4D.無窮

二、填空

1.如圖2,四邊形ABCD是矩形，且AB=2BC,M、N分別為邊BC、

CD的中點，AM與BN交于點E.若陰影部分的面積為那么，

矩形ABCD的面積為.

2.設a、b為整數(shù)，且方程如2+法+1=0的兩個不同的正數(shù)根

都小于1.則a的最小值為.

3.關于x的方程f+a|x|+/-3=0(ae凡)有唯一的實數(shù)解.則a=.

4.將b2。這20個正整數(shù)分成A、B兩組，使得A組所有數(shù)的和等于N,而B組所有數(shù)的

乘積也等于N.則N的所有可能取值是.

第一試

一、試求出所有的有序整數(shù)對（a,b）,使得關于x的方程

/+（2匕一/）/一2依+/一1=0的各個根均是整數(shù).

△ABC的外心關于三邊的對稱點分別為A'、B\C'.求證：

（1）A4\BB'、C。交于一點P；

（2）設4ABC三邊中點分別為A、4、G,則p為444cl的外心.

三、有2009名運動員，號碼依次為1,2,2009.從中選出若干名運動員參加儀仗隊，但

要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積.那么，被選為儀

仗隊的運動員至少有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由.

10中等數(shù)學

(A)l(B)2(C)4(D)無窮參考答案

二,填空題(每小題7分，共28分)

第一試

1.如圖2.四邊形483是矩形，且48=

28c.M、N分別為一R

邊8C、C"的中點，“由已知得

與BN交于點J<If2008=*(>-1)

E.若陰影部分的面

積為。，那么，矩形圖2=>xy=2009=1x2009=7x7x41.

則(4+>)m、=l+2009=2010,

ABCD的面積為.

(x+y)欣n=49+41=90.

2.設a、6為整數(shù)，且方程

故4+.y的最大值與最小值的和為2100.

ax'+Acv+I=0

2.A.

的兩個不同的正數(shù)根都小于I.則a的最小

原式

值為.

[(2009+0)x831[(2009+1)x831

3.關于x的方程■I20?――J+[20?-]+

x2+aIxI+a2-3=0(aGR)

t[(2009+2008)x83]

…+[2009J

有唯一的實數(shù)解.則a=.

4I~2020480x831[1x831

.將這個正整數(shù)分成、兩=83+2009J+83+I2009J

組，使得A組所有數(shù)的和等于/V,而8組所

[2008x831

有數(shù)的乘積也等于M則N的所有可能取值83+L2OO9一」

是.sc必、°x831x83

=83x2009+2069+T0b9+，，，+

第二試

2008x83JOx831Jlx831

2009I2009J12009J

一、(20分)試求出所有的有序整數(shù)對

12()08x831

(a5),使得關于工的方程

X*+(2b-a2)x2-2ax+h2-]=0

=2009x83+x^(l+2+—+2008)-

的各個根均是整數(shù).

二、(25分)△的外心關于三邊的對f0x831f1x83112008x831

ABC120WJ-12"009J--I2009J

稱點分別為A'、&、a.求證:

=2009x83+83x1期-聘需｝-

(i)/vr、8*、ca交于一點

(2)設4ABC三邊中點分別為/!「卅.

<JI--x-8--3>1—?,?_<J2--0--0-8-x831>

G,則P為△48G的外心.12009JI2009J,

三.(25分)有2009名運動員,號碼依次顯然，2009與83互質，0x83,1x83,

…,2008x83除以2009有2009個不同的余

為1,2,…,2009.從中選出若干名運動員參

數(shù).所以,

加儀仗隊，但要使剩下的運動員中沒有一個

J0x831JIx83112008x831

人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積.ITOWJ+l2'009j+…+I2009J

那么，被選為儀仗隊的運動員至少有多少人？

0+1+-+2008

給出你的選取方案,并簡述理由.~2009

2009年第I期11

=1004.

ADAD1AE221芋居

故原式=2009x83+83x1001-1004M但通=而=3，而===不，才盾.

=166747+82328-3AC

=249075.故排除.

3.D.考慮選項(D)：ZBAD=/BCD,又

以格點為頂點的線段長度可取8個數(shù)

N/W8>N〃8C,且N仞8聲N8M,不成立.

值：i.打,2,&,2魚以這些下面證明選項(B)成立：

線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮NBAD=NBCD,又

可以分為以下4種情況：AD_\

CD=J'BC=2AE=2'

1.1,72;72,72,2;2,2,2V2;75,75,/io.

下面按斜邊氏分類進行計數(shù).即巖=囂，故△AEDS*CBD.

(1)當斜邊長為々時，斜邊一定是小正

5.C.

方形的對角線，這樣的線段有條，每條這

12(1).48與C0是對應邊.

樣的線段對應著兩個等腰包角三角形，共有

(i)P是4c與"軸的交點.4C的方程為

個.

2x12=2471P2八

y=--^x+yx=y,y=0.

(2)當斜邊長為2時，圖形中長為2的線

段有10條,其中有6條在2x3矩形的四周(ii)取點C關于％軸的對稱點C'(2,3),

匕每條這樣的線段對應著一個等腰直角三。是4a與4軸的交點.4。的方程為y=

用形；另有4條在2x3矩形的內部,每個這-；力+(?有1=14.尸=0?

樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有

6+2x4=14個.(2)48與CD不是對應邊，即碧=器.

(3)當斜邊長為26時，斜邊一定是2x2

設點P(x,O).則

正方形的對角線，這樣的對角線有4條，每條

1%+21_3_

這樣的線段對應著兩個等腰直角：角形，共~4-=lx-21

有2x4=8個.nI爐-41=I2na=±4.

(4)當斜邊長為，10時,這樣的線段有4所以，符合條件的點尸有4個.即

條,每條這樣的線段對應著一個等腰直角三(y,0),(14,0),(4,0),(-4.0).

角形，共有4個.

因此，以格點為頂點的等腰直角二角形6.A.

由方程左邊因式分解得

的個數(shù)為24+14+8+4=50.

(in2+1)(—m2+2"+5)=0.

4.B.

考慮選項(八)：在4AED中，/4=60°,所以，+2"+5=0.

而^BED無60°的角,故排除.故2"+4=(m+l)(m-1).

考慮選項(C)：由ZE4D=ZBAD,又因為m+1與m-1奇偶性相同,所以,

ZAED>ZEHD,如果選項(C)成立,則必有它們都是偶數(shù)，即m為奇數(shù).

設則

NAED=/ADB.m=2A+1.2"-2+l=MA+l).

因此,2"-z為奇數(shù)，“=2,m=3.

從而也—埋

從叩'AB~AD'故正整數(shù)解有1組.

中等數(shù)學

-J.5a.故a的最小值為5.

如圖3,作EF3.V3.

LBC于點F.關于方程.r2+aIxI+"-3=0,若x是

設AB=4x,EF其一個解，則-x也是它的解.根據(jù)題意.它

=G.則有唯一的解，所以，工=-x.即唯一的實數(shù)解

C/V=2x,BM=x.

必為0.因此.屋-3=0且。>0.故a=*/3.

由BC=CN,知NNBC=45。.

4.180J82.192.

從而.BF=EF=h.

設3組的數(shù)為a,6,c,d,…，且字母順

故MF-=x-h.

序在前的數(shù)小于字母順序在后的數(shù).那么，

由^MFEcoAMBA得

N=abed…=210-(。+6+c+d+…).

EFMFh_x-h

AB=MB=~T~所以，/V<210.

,4若8組元素個數(shù)/>5,則

=h=4.x-4h=h=5X.

N>Ix2x3x4x5x6=720,

工:戶c142與N<210矛盾，而且/也不能等于1.

于是，=-yx*yx=y2-

(1)先考慮/=2的情況.

但S=~'2x'2x=2x',1&由a6=210-(a+6).有a/>+a+/(=

210,即(a+1)(6+1)=211.此整數(shù)不定方程

Sg邊切嶺=S_ficLS.\,1tf=5/=a在a、6都小于20時無解.

(2)若/=3.由5x6x7=210^1?<5.

因此=-1-fl.

此時,方程為abc=210-(a+b+c).

所以，S矩年皿n=4x*2x=8x2=5a.當a=I時，(6+I)(r+1)=210.有兩

2.5.組解滿足題意，即(b,c,N)=(13.14,182),

設方程的兩根為與、&.(9,20,180);

當"=2時.(26+l)(2c+])=417=3x

由xi,z=?>0,u>0.

139,無解;

又/(0)=l>0,故由題設有當a=3時,(3a+1)(36+1)=2x311,

'△=b1-4a>0,(D也無解；

-上<當a=4時，(4b+l)(4c+l)=825,有解

■0<1?②

(6,c,/V)=(6,8,192).

./(l)=<i+6+l>0.③

(3)若/=4,當”>1時，則a=2,b=3,

因為正整數(shù).由式②、③得

a(6c+1)(6d+l)=l231.無解.

-(a+1)<6<0;當“=1,6=2,3,4時.由類似三種的討

由式①得b<—2'Th.論可發(fā)現(xiàn)，不存在滿足題意的N.

所以(a+l)<%<-2v'a.①(4)若/=5,因為1x2x4x5x6>210,

當a=1,2,3,4時，滿足式④的整數(shù)b所以，a=1.6=2,c=3.故de<35,旦<1>3,

都不存在；(d.e)=(4,5).(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)

當a=5,。=-5時,方程為5/-5#+1經檢驗，只有(4,8)滿足題意，N=192.

=0,兩根在。與1之間.故N的所有可能值為180,182,192.

2009年第I期13

從而，六邊

第二試

形AC'BA'CB'

一,(A：2+6)2—(ax+l)2=O的各邊相等，且

=>.v2+ax+b+l=0或工2-陵+&-1=0三組對邊分別

平行.

所以，四邊

=>X|x2-x3x4=2形AC'A'C為平

(-a-X|)-x3(a-Xj)=2行四邊形，故

CC'、A4'互相平分.

=(孫+X3)(X|-Xj+a)=-2

同理，88'、44,也互相平分.

因此，AT、BIT、CCT交于一點P,且該點

為44'、88'、CC'的中點.

（2）由于4為BC的中點，從而，PA為

8七即△ABC外接圓半徑的一半.

同理.抽、PC,也是△ABC外接圓半徑

的一半，即P為△41,G的外心.

三、由于45?=2025>2009,若兩個人的

號碼都大于或等于45,則其積大于2009,不

a+3可能是另一人的號碼.若兩數(shù)中有一個數(shù)等

%=