高中數(shù)學習題2：空間點、直線、平面之間的位置關系

第二章點、直線、平面之間的位置關系

§2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1平面

【課時目標】掌握文字、符號、圖形語言之間的轉(zhuǎn)化，理解公理1、公理

2、公理3,并能運用它們解決點共線、線共面、線共點等問題.

知識梳理?]

1.公理1：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么

________________在此平面內(nèi).

符號：.

2.公理2：過的三點，

________________.個平面.

3.公理3：如果兩個不重合的平面有公共點，那么它們有且只有

過該點的公共直線.符號：.

4.用符號語言表示下列語句：

(1)點力在平面a內(nèi)但在平面￡外：.

(2)直線1經(jīng)過面a內(nèi)一點力，a外一點B-..

(3)直線1在面a內(nèi)也在面￡內(nèi)：.

(4)平面a內(nèi)的兩條直線收〃相交于4.

作業(yè)設計?]

一、選擇題

1.下列命題：

①書桌面是平面；

②8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚；

③有一個平面的長是50M,寬是20M；

④平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數(shù)學概念.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.若點"在直線b上，b在平面￡內(nèi)，則以b、￡之間的關系可記作

（）

A.￡B.￡

C..W=Zx=￡D.J仁bG￡

3.已知平面。與平面￡、/都相交，則這三個平面可能的交線有（）

A.1條或2條B.2條或3條

C.1條或3條D.1條或2條或3條

4.已知。、尸為平面，/、B、M、N為點，a為直線，下列推理錯誤的是

（）

A.A^a,AGBRa,BGgau￡

B.J/ea,MG8,NGa,NG￡=an萬=MN

C.a,/G￡=>an￡=Z

D./、B、MSa,A、B、MWB,且/、6、"不共線,a、尸重合

5.空間中可以確定一個平面的條件是（）

A.兩條直線B.一點和一直線

C.一個三角形D.三個點

6.空間有四個點，如果其中任意三個點不共線，則經(jīng)過其中三個點的平面

有（）

A.2個或3個B.4個或3個

C.1個或3個D.1個或4個

二、填空題

7.把下列符號敘述所對應的圖形（如圖）的序號填在題后橫線上.

(1)4金a,aua

（2）anfi=a,PDIQa宣P隹B.

（3）（9^1a,13Ao=/.

⑷aC￡=a,aCy=c,BCy=b,aAZ?nc—0.

8.已知aA￡="M,aua,Zx=￡,aClb=A,則直線"與/的位置關系用

集合符號表示為.

9.下列四個命題：

①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；

②經(jīng)過空間任意三點有且只有一個平面；

③過兩平行直線有且只有一個平面；

④在空間兩兩相交的三條直線必共面.

其中正確命題的序號是.

三、解答題

10.如圖，直角梯形四比'中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形四%所在平

面外一點，畫出平面S物和平面必。的交線，并說明理由.

11.如圖所示，四邊形力紀9中，已知四〃⑺，AB,BC,DC,A9（或延長線）

分別與平面。相交于反F,G,H,求證：E,F,G,〃必在同一直線上.

A

能力提升

12.空間中三個平面兩兩相交于三條直線，這三條直線兩兩不平行，證明

此三條直線必相交于一點.

13.如圖，在正方體48（小一436〃中，對角線4c與平面應招交于點0,

AC,劭交于點機￡'為四的中點，6為的中點.

求證：（DG、0、"三點共線；（2）￡、a〃、尸四點共面；

（3）四、〃尺為三線共點.

⑥反思感悟

1.證明幾點共線的方法：先考慮兩個平面的交線，再證有關的點都是這兩

個平面的公共點.或先由某兩點作一直線，再證明其他點也在這條直線上.

2.證明點線共面的方法：先由有關元素確定一個基本平面，再證其他的點

（或線）在這個平面內(nèi)；或先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然

后證明這些平面重合.注意對諸如“兩平行直線確定一個平面”等依據(jù)的證

明、記憶與運用.

3.證明幾線共點的方法：先證兩線共點，再證這個點在其他直線上，而

“其他”直線往往歸結(jié)為平面與平面的交線.

第二章點、直線、平面之間的位置關系

§2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1平面

答案

知識梳理

1.兩點這條直線AGl,BG1,且AGa,BGanlua

2.不在一條直線上有且只有

3.一個一條PWa,且PWB=>anB=l,且PW1

4.(1)AGa,AqB(2)AGa,Baa且AG1,BG1(3)lca月.luB

(4)Mea,nua且MCln=A

作業(yè)設計

1.A[由平面的概念，它是平滑、無厚度、可無限延展的，可以判斷命題

④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①、②、③都不正確，故

選A.]

2.B3.D

4.C[VAEa,AEp,

.".AGanB.

由公理可知anB為經(jīng)過A的一條直線而不是A.

故aCB=A的寫法錯誤.]

5.C

6.D[四點共面時有1個平面，四點不共面時有4個平面.]

7.(1)C(2)D(3)A(4)B

8.AGM

解析因為aAB=M,AGaua,所以AGa,同理ACB,故A在a與B

的交線M上.

9.③

10.解很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線

上，由于AB>CD,則分別延長AC和BD交于點E,如圖所示.

?.?EGAC,ACu平面SAC,

.?.EG平面SAC.

同理，可證EW平面SBD.

...點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE,

直線SE是平面SBD和平面SAC的交線.

11.證明因為AB〃CD,所以AB,CD確定平面AC,ADAa=H,因為HC

平面AC,Hea,由公理3可知，H必在平面AC與平面a的交線上.同理F、G、

E都在平面AC與平面a的交線上，因此E,F,G,H必在同一直線上.

12.證明

VLcB,LuB,1印2,

.??LCb交于一點，記交點為P.

VPGl.cB,Pei2cy,

?,?PeBCy—Im

，L,b,%交于一點.

13.證明⑴,.<、0、MW平面BDC,

又G、0、Me平面A,ACC,,由公理3知，點G、0、M在平面BDG與平面

AiACG的交線上，

.??G、0、M三點共線.

(2)VE,F分別是AB,AA的中點，

.?.EF〃AB

VA.BZ/CD,,

，EF〃CDi.

，E、C、立、F四點共面.

⑶由⑵可知：四點E、C、》、F共面.

~1

又?.?EF=]AB

...DECE為相交直線，記交點為P.

貝UPeDFu平面ADDA，P^CEu平面ADCB.

平面ADDAn平面ADCB=AD.

ACE,DF、DA三線共點.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

【課時目標】1.會判斷空間兩直線的位置關系.2.理解兩異面直線的定

義，會求兩異面直線所成的角.3.能用公理4解決一些簡單的相關問題.

知識梳理?

1.空間兩條直線的位置關系有且只有三種：

2.異面直線的定義

________________________________的兩條直線叫做異面直線.

3.公理4：平行于同一條直線的兩條直線.

4.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應______,那么這兩個角

或.

5.異面直線所成的角：直線a,8是異面直線，經(jīng)過空間任一點0,作直線

a',b',使,,我們把a'與b'所成的叫

做異面直線a與6所成的角（或夾角）.

如果兩條直線所成的角是,那么我們就說這兩條異面直線互相垂

直，兩條異面直線所成的角的取值范圍是

作業(yè)設計?

一、選擇題

1.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上都有可能

2.若a和，是異面直線，。和c是異面直線，則a和c的位置關系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

3.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是（）

A.一定平行B.一定相交

C.一定異面D.相交或異面

4.空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是

）

A.空間四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

5.給出下列四個命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

②平行于同一直線的兩直線平行；

③若直線a,b,c滿足a〃8,則a_Lc；

④若直線人A是異面直線，則與九乙都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖所示，已知三棱錐力一時中，以N分別為/反切的中點，則下列

結(jié)論正確的是（）

A

A.，,萬)C4C+物

B.腑號G4C+物

C.MN=J(AC+B。

乙

D.MN^(AC+BD)

二、填空題

7.空間兩個角。、￡,且。與￡的兩邊對應平行且。=60°,則￡為

8.已知正方體/四一/'B'CD'中:

(1)回‘與CD'所成的角為；

⑵AD與BC所成的角為.

9.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:

①AB1EF；

②與CV所成的角為60°；

③EF與是異面直線；

④掰V〃CD.

以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為.

三、解答題

10.空間四邊形/靦中，46=勿且46與切所成的角為30°,E、6分別

是BC、力〃的中點，求）與46所成角的大小.

A

11.已知棱長為a的正方體〃中，軌”分別是棱口、/〃的中

點.

求證：（1）四邊形也也K是梯形；

(2)N〃MQN〃4G.

能力提升

12.如圖所示，G、從〃、”分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表

示直線掰加,是異面直線的圖形有（填序號）.

13.正方體/C中，E、尸分別是面48K〃和44，〃的中心，則用和所

成的角是（）

A.60°B.45°

?反思感悟

1.判定兩直線的位置關系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定

義.很多情況下，定義就是一種常用的判定方法.另外，我們解決空間有關線

線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里

面的線線關系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的

好工具.

2.在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為

兩條相交直線所成的角.將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學習立體幾何

的一條重要的思維途徑.需要強調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為（0°,

90°],解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成的角的大小.

作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直

接平移法（可利用圖中已有的平行線）；②中位線平移法；③補形平移法（在已知

圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線）.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

答案

知識梳理

1.相交直線平行直線異面直線

2.不同在任何一個平面內(nèi)

3.互相平行

4.平行相等互補

5.a'〃ab'〃b銳角（或直角）直角（0°,90°]

作業(yè)設計

1.D

2.D[異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異

面，直線c的位置可如圖所示.]

3.D

4.B[

易證四邊形EFGH為平行四邊形.

又；E,F分別為AB,BC的中點,

，EF〃AC,

又FG〃BD,

...NEFG或其補角為AC與BD所成的角.

而AC與BD所成的角為90°,

/.ZEFG=90°,

故四邊形EFGH為矩形.]

5.B[①④均為假命題.①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直.

④如圖甲時，c、d與異面直線L、k交于四個點，此時c、d異面，一定不

會平行；

當點A在直線a上運動（其余三點不動），會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖

乙所示，此時c、d共面相交.

6.D

［如圖所示，取BC的中點E,連接ME、NE,則ME=；AC,

1

NE=-BD,

所以ME+NE=](AC+BD).

在AMNE中，有ME+NE>MN,

所以MN〈；(AC+BD).]

7.60°或120°

8.(1)60°(2)45°

解析

連接BA',則BA'〃CD',連接A'C,則/A'BC'就是BC'與CD'所

成的角.

由aA'BC'為正三角形,

知/A'BC'=60°,

由AD〃BC,知AD與BC'所成的角就是NC'BC.

易知NC'BC=45°.

9.①③

解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB±EF,EF

與MN是異面直線，AB〃CM,MN1CD,只有①③正確.

10.解取AC的中點G,

連接EG、FG,

則EG〃AB,GF〃CD,

且由AB=CD知EG=FG,

...ZGEF（或它的補角）為EF與AB所成的角，NEGF（或它的補角）為AB與CD

所成的角.

-AB與CD所成的角為30°,

AZEGF=30°或150°.

由EG=FG知△EFG為等腰三角形，當NEGF=30°時，NGEF=75°；

當NEGF=150°時，ZGEF=15°.

故EF與AB所成的角為15°或75°.

11.證明（1）如圖，連接AC,

在4ACD中，

?.?M、N分別是CD、AD的中點,

是三角形的中位線,

1

.?.MN〃AC,MN=-AC.

由正方體的性質(zhì)得：AC〃AC,AC=A,CI.

，MN〃AC，且MN=%C，即MNWA￡,

...四邊形MNA￡是梯形.

⑵由⑴可知MN〃A￡,又因為ND〃AD，

...NDNM與NDAG相等或互補.

而NDNM與NDAG均是直角三角形的銳角，

/.ZDNM=ZDIAIC1.

12.②④

解析①中HG〃MN.③中GM〃HN且GMWHN,

...HG、MN必相交.

13.B[

連接BD,則E為BR中點，

連接AB“EF〃AB“

又CD〃AB,...NBiAB為異面直線EF與CD所成的角，即/B^B=45°.]

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關系

2.1.4平面與平面之間的位置關系

【課時目標】1.會對直線和平面的位置關系進行分類.2.會對平面和平

面之間的位置關系進行分類.3.會用符號或圖形把直線和平面、平面和平面的

位置關系正確地表示出來.

知識梳理?

1.一條直線a和一個平面a有且僅有三種位置

關系.（用符號語言表示）

2.兩平面。與尸有且僅有和兩種位置關系（用符號語言

表示）.

作業(yè)設計?]

一、選擇題

1.已知直線a〃平面a,直線ka,則a與力的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.平行或異面

2.若有兩條直線a,b,平面。滿足a〃力，a//a,則6與a的位置關系是

）

A.相交B.b//a

C.ZxzaD.6〃a或。ua

3.若直線"不平行于平面a,且肌叫則下列結(jié)論成立的是（）

A.。內(nèi)的所有直線與"異面

B.a內(nèi)不存在與"平行的直線

C.a內(nèi)存在唯一的直線與"平行

D.。內(nèi)的直線與"都相交

4.三個互不重合的平面把空間分成6部分時，它們的交線有（）

A.1條B.2條

C.3條D.1條或2條

5.平面?！ā?且aua,下列四個結(jié)論：

①a和￡內(nèi)的所有直線平行；

②a和￡內(nèi)的無數(shù)條直線平行;

③a和￡內(nèi)的任何直線都不平行；

④a和￡無公共點.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

6.教室內(nèi)有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所

在的直線()

A.異面B.相交C.平行D.垂直

二、填空題

7.正方體/靦一45G〃中，E、產(chǎn)分別為力4和防的中點，則該正方體的

六個表面中與跖平行的有個.

8.若a、b是兩條異面直線，且a〃平面。，則力與。的位置關系是

9.三個不重合的平面，能把空間分成n部分，則n的所有可能值為

三、解答題

10.指出圖中的圖形畫法是否正確，如不正確，請改正.

(1)如圖，直線a在平面a內(nèi).

⑵如圖，直線a和平面a相交.

⑶如圖，直線a和平面a平行.

11.如圖，平面。、￡、/滿足any=a,￡門尸=6,判斷a

與8、a與￡的關系并證明你的結(jié)論.

能力提升

12.若不在同一條直線上的三點力、B、C到平面。的距離相等，且從B、

CDIR