理學(xué)第一章流體流動(dòng)

2024/7/412024/7/422024/7/43②連續(xù)介質(zhì)假定

假定流體是由無數(shù)內(nèi)部緊密相連、彼此間沒有間隙的流體質(zhì)點(diǎn)（或微團(tuán)）所組成的連續(xù)介質(zhì)。質(zhì)點(diǎn)：由大量分子構(gòu)成的微團(tuán)，其尺寸遠(yuǎn)小于設(shè)備尺寸、遠(yuǎn)大于分子自由程。工程意義：利用連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，從宏觀研究流體。

2024/7/44③流體的可壓縮性不可壓縮性流體：流體的體積不隨壓力變化而變化，如液體；可壓縮性流體：流體的體積隨壓力發(fā)生變化，如氣體。2024/7/45一、壓力流體垂直作用于單位面積上的力，稱為流體的靜壓強(qiáng)，習(xí)慣上又稱為壓力。

1.壓力的單位

SI制：N/m2或Pa；標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：1atm=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O第一節(jié)流體靜力學(xué)2024/7/462.

壓力的表示方法

絕對(duì)壓力以絕對(duì)真空為基準(zhǔn)測得的壓力。

表壓或真空度以大氣壓為基準(zhǔn)測得的壓力。2024/7/47表壓=絕對(duì)壓力－大氣壓力真空度=大氣壓力－絕對(duì)壓力絕對(duì)壓力

絕對(duì)壓力

絕對(duì)真空

表壓

真空度

大氣壓

2024/7/48流體壓力與作用面垂直，并指向該作用面；任意界面兩側(cè)所受壓力，大小相等、方向相反；作用于任意點(diǎn)不同方向上的壓力在數(shù)值上均相同。3.靜壓力的特性2024/7/49二、流體的密度與比體積（一）密度單位體積流體的質(zhì)量。kg/m3

1.單組分密度液體密度僅隨溫度變化（極高壓力除外），其變化關(guān)系可從手冊(cè)中查得。2024/7/410氣體當(dāng)壓力不太高、溫度不太低時(shí)，可按理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算：

注意：手冊(cè)中查得的氣體密度均為一定壓力與溫度下之值，若條件不同，則需進(jìn)行換算。2024/7/4112.混合物的密度混合氣體各組分在混合前后質(zhì)量不變，則有

——?dú)怏w混合物中各組分的體積分?jǐn)?shù)。

或——混合氣體的平均摩爾質(zhì)量；

——?dú)怏w混合物中各組分的摩爾(體積)分?jǐn)?shù)。

2024/7/412混合液體假設(shè)各組分在混合前后體積不變，則有

——液體混合物中各組分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

（二）比體積單位質(zhì)量流體的體積。m3/kg2024/7/413重力場中對(duì)液柱進(jìn)行受力分析：（1）上端面所受總壓力（2）下端面所受總壓力（3）液柱的重力設(shè)流體不可壓縮，p0p2p1z1z2G方向向下方向向上方向向下三、流體靜力學(xué)基本方程式

2024/7/414液柱處于靜止時(shí)，上述三力的合力為零:——靜力學(xué)基本方程式壓力形式能量形式2024/7/415討論：（1）適用于重力場中靜止、連續(xù)的同種不可壓縮性流體；（2）物理意義：——單位質(zhì)量流體所具有的位能，J/kg；——單位質(zhì)量流體所具有的靜壓能，J/kg。在同一靜止流體中，處在不同位置流體的位能和靜壓能各不相同，但二者可以轉(zhuǎn)換，其總和保持不變。2024/7/416（3）在靜止的、連續(xù)的同種流體內(nèi)，處于同一水平面上各點(diǎn)的壓力處處相等。壓力相等的面稱為等壓面。（4）壓力具有傳遞性：液面上方壓力變化時(shí)，液體內(nèi)部各點(diǎn)的壓力也將發(fā)生相應(yīng)的變化。

2024/7/417四、靜力學(xué)基本方程的應(yīng)用（一）壓力測量

1.U形管液柱壓差計(jì)

設(shè)指示液的密度為，被測流體的密度為。

A與A′面為等壓面，即而p1p2mRAA’2024/7/418所以整理得若被測流體是氣體，，則有2024/7/419討論：①U形管壓差計(jì)可測系統(tǒng)內(nèi)兩點(diǎn)的壓力差，當(dāng)將U形管一端與被測點(diǎn)連接、另一端與大氣相通時(shí)，也可測得流體的表壓或真空度；

②指示液的選?。褐甘疽号c被測流體不互溶，不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)；其密度要大于被測流體密度。應(yīng)根據(jù)被測流體的種類及壓差的大小選擇指示液。

2024/7/4202.倒U形管壓差計(jì)

指示劑密度小于被測流體密度，如空氣作為指示劑

2024/7/4213.斜管壓差計(jì)

適用于壓差較小的情況。

值越小，讀數(shù)放大倍數(shù)越大。

2024/7/422密度接近但不互溶的兩種指示液A和C；4.微差壓差計(jì)

擴(kuò)大室內(nèi)徑與U管內(nèi)徑之比應(yīng)大于10。2024/7/423（二）液位測量

1.近距離液位測量裝置

壓差計(jì)讀數(shù)R反映出容器內(nèi)的液面高度。

液面越高，h越小，壓差計(jì)讀數(shù)R越小；當(dāng)液面達(dá)到最高時(shí)，h為零，R亦為零。2024/7/4242.遠(yuǎn)距離液位測量裝置

管道中充滿氮?dú)猓涿芏容^小，近似認(rèn)為

而所以

AB2024/7/425（三）

液封高度的計(jì)算

液封作用：確保設(shè)備安全：當(dāng)設(shè)備內(nèi)壓力超過規(guī)定值時(shí)，氣體從液封管排出；防止氣柜內(nèi)氣體泄漏。液封高度：2024/7/426第二節(jié)管內(nèi)流體流動(dòng)的基本方程1.體積流量

單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道任意截面的流體體積。

qV——m3/s或m3/h2.質(zhì)量流量單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道任意截面的流體質(zhì)量。

qm——kg/s或kg/h。

二者關(guān)系：（一）流量一、流量與流速2024/7/427（二）流速2.質(zhì)量流速

單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道單位截面積的流體質(zhì)量。流速（平均流速）單位時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)方向上所流經(jīng)的距離。

kg/（m2·s）流量與流速的關(guān)系：

m/s2024/7/428對(duì)于圓形管道：流量qV一般由生產(chǎn)任務(wù)決定。流速選擇：3.管徑的估算

↑→d↓→設(shè)備費(fèi)用↓流動(dòng)阻力↑→動(dòng)力消耗↑

→操作費(fèi)↑均衡考慮uu適宜費(fèi)用總費(fèi)用設(shè)備費(fèi)操作費(fèi)2024/7/429

二、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：各截面上的溫度、壓力、流速等物理量僅隨位置變化，而不隨時(shí)間變化；

非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：流體在各截面上的有關(guān)物理量既隨位置變化，也隨時(shí)間變化。2024/7/430三、連續(xù)性方程式對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)，在管路中流體沒有增加和漏失的情況下：

推廣至任意截面

——連續(xù)性方程式11

2

22024/7/431不可壓縮性流體，圓形管道：即不可壓縮流體在管路中任意截面的流速與管內(nèi)徑的平方成反比。2024/7/432四、伯努利方程式（一）伯努利方程式dxpA(p+dp)A

gdmdz在x方向上對(duì)微元段受力分析：（1）兩端面所受壓力分別為及（2）重力的分量故合力為2024/7/433動(dòng)量變化率動(dòng)量原理——伯努利方程式

不可壓縮性流體，（1）2024/7/434（二）伯努利方程式的物理意義——單位質(zhì)量流體所具有的位能，J/kg；——單位質(zhì)量流體所具有的靜壓能，J/kg；——單位質(zhì)量流體所具有的動(dòng)能，J/kg。各項(xiàng)意義：2024/7/435將(1)式各項(xiàng)同除重力加速度g:（2）式中各項(xiàng)單位為z——位壓頭——?jiǎng)訅侯^——靜壓頭總壓頭2024/7/436式（1）為以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)的機(jī)械能衡算式，式（2）為以重量流體為基準(zhǔn)的機(jī)械能衡算式，表明理想流體在流動(dòng)過程中任意截面上總機(jī)械能、總壓頭為常數(shù)，三種能量形式可以相互轉(zhuǎn)換。2024/7/437Hz22102024/7/438五、實(shí)際流體的機(jī)械能衡算式（一）實(shí)際流體機(jī)械能衡算式2024/7/439（2）外加功（外加壓頭）1kg流體從流體輸送機(jī)械所獲得的能量為W

(J/kg)。（1）能量損失（壓頭損失）設(shè)1kg流體損失的能量為Σhf（J/kg）。（3）（4）或——伯努利方程式

2024/7/440其中He——外加壓頭或有效壓頭，m;Σhf——壓頭損失，m。（二）伯努利方程的討論

（1）若流體處于靜止，u=0，Σhf=0，W=0，則柏努利方程變?yōu)檎f明柏努利方程即表示流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也表示流體靜止?fàn)顟B(tài)的規(guī)律。2024/7/441W、Σhf——在兩截面間單位質(zhì)量流體獲得或消耗的能量。（2）zg、、——某截面上單位質(zhì)量流體所具有的位能、動(dòng)能和靜壓能；有效功率：軸功率：2024/7/442（3）伯努利方程式適用于不可壓縮性流體。對(duì)于可壓縮性流體，當(dāng)時(shí)，仍可用該方程計(jì)算，但式中的密度ρ應(yīng)以兩截面的平均密度ρm代替。2024/7/443（三）伯努利方程的應(yīng)用

管內(nèi)流體的流量；輸送設(shè)備的功率；管路中流體的壓力；容器間的相對(duì)位置等。利用伯努利方程與連續(xù)性方程，可以確定：2024/7/444（1）根據(jù)題意畫出流動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，標(biāo)明流體的流動(dòng)方向，定出上、下游截面，明確流動(dòng)系統(tǒng)的衡算范圍；（2）位能基準(zhǔn)面的選取必須與地面平行；宜于選取兩截面中位置較低的截面；若截面不是水平面，而是垂直于地面，則基準(zhǔn)面應(yīng)選過管中心線的水平面。

2024/7/445（4）各物理量的單位應(yīng)保持一致，壓力表示方法也應(yīng)一致，即同為絕壓或同為表壓。

（3）截面的選取與流體的流動(dòng)方向相垂直；兩截面間流體應(yīng)是定態(tài)連續(xù)流動(dòng)；截面宜選在已知量多、計(jì)算方便處。

2024/7/446（一）牛頓粘性定律

或Fuu＋dudy式中：F——內(nèi)摩擦力，N；

τ——剪應(yīng)力，Pa；

——法向速度梯度，1/s；μ——比例系數(shù)，稱為流體的粘度，Pa·s。

一、流體的粘度

第三節(jié)管內(nèi)流體流動(dòng)現(xiàn)象2024/7/447（二）流體的粘度

（動(dòng)力粘度）1.粘度的物理意義

流體流動(dòng)時(shí)在與流動(dòng)方向垂直的方向上產(chǎn)生單位速度梯度所需的剪應(yīng)力。液體:T↑→

↓氣體:一般T↑→

↑超高壓p↑→

↑粘度的物理本質(zhì)：分子間的引力和分子的運(yùn)動(dòng)與碰撞。2024/7/4482.粘度的單位SI制：Pa·s或kg/(m·s)物理制：cP(厘泊）換算關(guān)系1cP＝10-3Pa·s3.運(yùn)動(dòng)粘度粘度μ與密度ρ之比。m2/s2024/7/449（三）剪應(yīng)力與動(dòng)量通量分子動(dòng)量傳遞是由于流體層之間速度不同，動(dòng)量由速度大處向速度小處傳遞。動(dòng)量通量：單位時(shí)間、通過單位面積傳遞的動(dòng)量。剪應(yīng)力＝動(dòng)量通量2024/7/450——?jiǎng)恿繚舛忍荻取\(yùn)動(dòng)粘度或動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)動(dòng)量通量＝－動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)

動(dòng)量濃度梯度2024/7/451牛頓型流體：剪應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系符合牛頓粘性定律的流體；非牛頓型流體：不符合牛頓粘性定律的流體。

（四）牛頓型流體與非牛頓型流體2024/7/452二、流體流動(dòng)類型與雷諾數(shù)

（一）雷諾實(shí)驗(yàn)2024/7/453層流（或滯流）：流體質(zhì)點(diǎn)僅沿著與管軸平行的方向作直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)無徑向脈動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)之間互不混合；湍流（或紊流）：流體質(zhì)點(diǎn)除了沿管軸方向向前流動(dòng)外，還有徑向脈動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)的速度在大小和方向上都隨時(shí)變化，質(zhì)點(diǎn)互相碰撞和混合。（二）流型判據(jù)——雷諾準(zhǔn)數(shù)

無因次數(shù)群2024/7/454判斷流型Re≤2000時(shí)，流動(dòng)為層流，此區(qū)稱為層流區(qū)；Re≥4000時(shí)，一般出現(xiàn)湍流，此區(qū)稱為湍流區(qū)；2000<

Re<4000

時(shí)，流動(dòng)可能是層流，也可能是湍流，該區(qū)稱為不穩(wěn)定的過渡區(qū)。2.物理意義

Re反映了流體流動(dòng)中慣性力與粘性力的對(duì)比關(guān)系，標(biāo)志著流體流動(dòng)的湍動(dòng)程度。

2024/7/455三、

流體在圓管內(nèi)的速度分布（一）層流時(shí)的速度分布

2024/7/456由壓力差產(chǎn)生的推力

流體層間內(nèi)摩擦力

管壁處r＝R時(shí)，＝0，可得速度分布方程

2024/7/457管中心流速為最大，即r＝0時(shí)，＝umax

管截面上的平均速度:即層流流動(dòng)時(shí)的平均速度為管中心最大速度的1/2。

即流體在圓形直管內(nèi)層流流動(dòng)時(shí)，其速度呈拋物線分布。2024/7/458（二）湍流時(shí)的速度分布

剪應(yīng)力：e為湍流粘度，與流體的流動(dòng)狀況有關(guān)。

湍流速度分布的經(jīng)驗(yàn)式：2024/7/459n與Re有關(guān)，取值如下：

1/7次方定律當(dāng)時(shí)，流體的平均速度:2024/7/460湍流流動(dòng)時(shí)：2024/7/461湍流流動(dòng)時(shí)沿徑向分為三層：湍流主體過渡層層流內(nèi)層2024/7/462第四節(jié)

管內(nèi)流體流動(dòng)的摩擦阻力損失直管阻力：流體流經(jīng)一定直徑的直管時(shí)由于內(nèi)摩擦而產(chǎn)生的阻力；局部阻力：流體流經(jīng)管件、閥門等局部地方由于流速大小及方向的改變而引起的阻力。

一、直管阻力（一）阻力的表現(xiàn)形式

2024/7/463流體在水平等徑直管中作定態(tài)流動(dòng)。2024/7/464若管道為傾斜管，則

流體的流動(dòng)阻力表現(xiàn)為靜壓能的減少；水平安裝時(shí)，流動(dòng)阻力恰好等于兩截面的靜壓能之差。

2024/7/465（二）直管阻力的通式

由于壓力差而產(chǎn)生的推動(dòng)力：流體的摩擦力：令

定態(tài)流動(dòng)時(shí)2024/7/466——直管阻力通式（范寧Fanning公式）

其它形式：——摩擦系數(shù)（摩擦因數(shù)）

則

J/kg壓頭損失m壓力損失Pa該公式層流與湍流均適用；注意與的區(qū)別。2024/7/467（三）層流時(shí)的摩擦系數(shù)

速度分布方程又——哈根-泊謖葉

（Hagen-Poiseuille）方程

2024/7/468能量損失層流時(shí)阻力與速度的一次方成正比。變形：比較得2024/7/469（四）湍流時(shí)的摩擦系數(shù)1.量綱分析法

目的：（1）減少實(shí)驗(yàn)工作量；（2）結(jié)果具有普遍性，便于推廣?；A(chǔ)：量綱一致性即每一個(gè)物理方程式的兩邊不僅數(shù)值相等，而且每一項(xiàng)都應(yīng)具有相同的量綱。2024/7/470基本定理：白金漢（Buckingham）π定理設(shè)影響某一物理現(xiàn)象的獨(dú)立變量數(shù)為n個(gè)，這些變量的基本因次數(shù)為m個(gè)，則該物理現(xiàn)象可用N＝（n－m）個(gè)獨(dú)立的無量綱數(shù)群表示。

湍流時(shí)壓力損失的影響因素：（1）流體性質(zhì)：

，

（2）流動(dòng)的幾何尺寸：d，l，

（管壁粗糙度）（3）流動(dòng)條件：u2024/7/471物理變量n＝7基本量綱m＝3無量綱數(shù)群N＝n－m＝4無量綱化處理式中：——?dú)W拉（Euler）準(zhǔn)數(shù)即該過程可用4個(gè)無量綱數(shù)群表示。2024/7/472——相對(duì)粗糙度——管道的幾何尺寸——雷諾數(shù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，流體流動(dòng)阻力與管長成正比，即

或2024/7/473莫狄（Moody）摩擦因數(shù)圖：2024/7/474（1）層流區(qū)（Re≤2000）

λ與無關(guān)，與Re為直線關(guān)系，即,即與u的一次方成正比。（2）過渡區(qū)（2000<Re<4000)將湍流時(shí)的曲線延伸查取λ值。（3）湍流區(qū)（Re≥4000以及虛線以下的區(qū)域）

2024/7/475（4）完全湍流區(qū)

（虛線以上的區(qū)域）

λ與Re無關(guān)，只與有關(guān)。該區(qū)又稱為阻力平方區(qū)。一定時(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式：柏拉修斯（Blasius）式：適用光滑管，Re＝2.5×103～1052024/7/4762.管壁粗糙度對(duì)摩擦系數(shù)的影響光滑管：玻璃管、銅管、鉛管及塑料管等；粗糙管：鋼管、鑄鐵管等。絕對(duì)粗糙度：管道壁面凸出部分的平均高度。相對(duì)粗糙度：絕對(duì)粗糙度與管內(nèi)徑的比值。層流流動(dòng)時(shí)：流速較慢，與管壁無碰撞，阻力與

無關(guān)，只與Re有關(guān)。2024/7/477湍流流動(dòng)時(shí)：水力光滑管

只與Re有關(guān)，與無關(guān)完全湍流粗糙管

只與有關(guān)，與Re無關(guān)2024/7/478（五）非圓形管內(nèi)的流動(dòng)阻力

當(dāng)量直徑：

套管環(huán)隙，內(nèi)管的外徑為d1，外管的內(nèi)徑為d2:邊長分別為a、b的矩形管:2024/7/479說明：（1）Re與hf中的直徑用de計(jì)算；（2）層流時(shí)：正方形

C＝57套管環(huán)隙C＝96（3）流速用實(shí)際流通面積計(jì)算。2024/7/480二、局部阻力（一）阻力系數(shù)法

將局部阻力表示為動(dòng)能的某一倍數(shù)。

或

ζ——局部阻力系數(shù)

J/kgJ/N=m2024/7/4811.突然擴(kuò)大2024/7/4822.突然縮小2024/7/4833.管進(jìn)口及出口進(jìn)口：流體自容器進(jìn)入管內(nèi)。

ζ進(jìn)口=0.5進(jìn)口阻力系數(shù)出口：流體自管子進(jìn)入容器或從管子排放到管外空間。

ζ出口=1出口阻力系數(shù)4.管件與閥門2024/7/4842024/7/4852024/7/486蝶閥2024/7/4872024/7/4882024/7/489（二）當(dāng)量長度法將流體流過管件或閥門的局部阻力，折合成直徑相同、長度為le的直管所產(chǎn)生的阻力。le——

管件或閥門的當(dāng)量長度，m。2024/7/490三、流體在管路中的總阻力減少流動(dòng)阻力的途徑：管路盡可能短，盡量走直線，少拐彎；盡量不安裝不必要的管件和閥門等；管徑適當(dāng)大些。2024/7/491第五節(jié)

管路計(jì)算

一、簡單管路

（一）特點(diǎn)

（1）流體通過各管段的質(zhì)量流量不變，對(duì)于不可壓縮流體，則體積流量也不變。

(2)整個(gè)管路的總能量損失等于各段能量損失之和。qV1,d1qV3,d3qV2,d2不可壓縮流體2024/7/492（二）管路計(jì)算（1）摩擦損失計(jì)算

已知：流量qV

、管長l，管件和閥門，管徑d，粗糙度

求：∑hf2024/7/493已知：管子d、、l，管件和閥門，供液點(diǎn)z1.p1，

需液點(diǎn)的z2.p2，輸送機(jī)械W；求：流體的流速u及供液量qV。

（2）流量計(jì)算

湍流區(qū)：2024/7/494試差法計(jì)算流速的步驟：（1）根據(jù)柏努利方程列出試差等式；（2）試差：符合？可初設(shè)阻力平方區(qū)之值注意：若已知流動(dòng)處于阻力平方區(qū)或?qū)恿?，則無需試差，可直接解析求解。2024/7/495已知：流量qV，管子、l，管件和閥門，供液點(diǎn)z1.p1，需液點(diǎn)的z2.p2，輸送機(jī)械W等；求：管徑d。

（3）管徑計(jì)算

用試差法解決。2024/7/496（三）阻力對(duì)管內(nèi)流動(dòng)的影響pApBpaF11

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AB

閥門F開度減小時(shí)：（1）閥關(guān)小，閥門局部阻力系數(shù)

↑

→

hf,A-B

↑→流速u↓→即流量↓；

2024/7/497（2）在1-A之間，由于流速u↓→

hf,1-A

↓

→pA↑

；

（3）在B-2之間，由于流速u↓→hf,B-2

↓

→pB↓。

結(jié)論：（1）當(dāng)閥門關(guān)小時(shí)，其局部阻力增大，將使管路中流量下降；（2）下游阻力的增大使上游壓力上升；（3）上游阻力的增大使下游壓力下降?？梢?，管路中任一處的變化，必將帶來總體的變化，因此必須將管路系統(tǒng)當(dāng)作整體考慮。2024/7/498二、復(fù)雜管路（一）并聯(lián)管路

AqVqV1qV2qV3B1.特點(diǎn)：（1）主管中的流量為并聯(lián)的各支路流量之和；2024/7/499（2）并聯(lián)管路中各支路的能量損失均相等。

不可壓縮流體注意：計(jì)算并聯(lián)管路阻力時(shí)，僅取其中一支路即可，不能重復(fù)計(jì)算。2024/7/41002.流量分配而支管越長、管徑越小、阻力系數(shù)越大——流量越?。环粗髁吭酱?。2024/7/4101COAB分支管路COAB匯合管路（二）分支管路與匯合管路

2024/7/4102特點(diǎn)：（1）主管中的流量為各支路流量之和；不可壓縮性流體（2）流體在各支管流動(dòng)終了時(shí)的總機(jī)械能與能量損失之和相等。

2024/7/4103第六節(jié)流量的測定一、測速管（皮托管）（一）結(jié)構(gòu)（二）原理內(nèi)管A處外管B處2024/7/4104點(diǎn)速度：即討論：（1）皮托管測量流體的點(diǎn)速度，可測速度分布曲線；2024/7/4105（三）安裝（1）測量點(diǎn)位于均勻流段，上、下游各有50d直管距離；（2）皮托管管口截面嚴(yán)格垂直于流動(dòng)方向；（3）皮托管外徑d0不應(yīng)超過管內(nèi)徑d的1/50，即d0<d/50。（2）流量的求?。河伤俣确植?/p>