工程力學(xué) 第2版 課件 第6章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)

工程力學(xué)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)之間的關(guān)系

第六章剛體的平面運(yùn)動(dòng)§6.1

概述和運(yùn)動(dòng)分解剛體平面運(yùn)動(dòng)實(shí)例在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平面運(yùn)動(dòng)。剛體平面運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化MNSA1A2A剛體上每一點(diǎn)都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。過(guò)A點(diǎn)作一平面N與平面M平行,以平面N去截剛體得一平面圖形S?？芍撈矫鎴D形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然做平動(dòng)。A1A2的運(yùn)動(dòng)可用其與圖形S的交點(diǎn)

A的運(yùn)動(dòng)來(lái)替代。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。這就是平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程。SMO'yxOj

平面圖形S在其平面上的位置完全可由圖形內(nèi)任意線段O'M的位置來(lái)確定：

1)線段上任一點(diǎn)O'的位置；2)線段O'M與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角j。平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程可由兩部分組成：1)平面圖形按點(diǎn)O'的運(yùn)動(dòng)方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移；

2)平面圖形繞O'點(diǎn)轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)動(dòng)。

對(duì)于任意的平面運(yùn)動(dòng)，可在平面圖形上任取一點(diǎn)O'，稱(chēng)為基點(diǎn)。在這一點(diǎn)假想地安上一個(gè)平移參考系O'x'y'；平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy。于是平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的合成。y'x'O'yxO剛體平面運(yùn)動(dòng)分解

平面運(yùn)動(dòng)的這種分解也可以按上一章合成運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加以解釋。以沿直線軌道滾動(dòng)的車(chē)輪為例，取車(chē)廂為動(dòng)參考體，以輪心點(diǎn)O'為原點(diǎn)取動(dòng)參考系O'x'y'，則車(chē)廂的平動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，車(chē)輪繞平動(dòng)參考系原點(diǎn)O'的轉(zhuǎn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，二者的合成就是車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))。單獨(dú)輪子做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可在輪心O'處固連一個(gè)平動(dòng)參考系O'x'y'，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。y'x'O'y'x'O'O'M

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和,這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法或稱(chēng)基點(diǎn)法。1.基點(diǎn)法

已知O'點(diǎn)的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，求M點(diǎn)的速度?！?.2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法wvMvO'vMO'vO'

同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是將等式兩邊同時(shí)向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA例6-1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長(zhǎng)度l=20cm，滑塊A的速度vA=10cm/s，求連桿與水平方向夾角為30°時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。

解:AB做平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的速度。由圖中幾何關(guān)系得：方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例6-2用速度投影定理解例1中滑塊B的速度。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°例6-3行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為ωO。求輪II的角速度ωII及其上B、C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II做平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度vBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B速度大小以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C速度大小定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)?！?.3瞬心法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度wS平面圖形S角速度為w,點(diǎn)A的速度為vA在vA的垂線上取一點(diǎn)C(使vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，則如果取AC＝vA/w

，則NCvAvCA該點(diǎn)稱(chēng)為瞬時(shí)速度中心，或簡(jiǎn)稱(chēng)為速度瞬心。vAA

圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。CAwvAvBBDvDwC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在兩點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上。

wABwOCvAABvB(2)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必定在AB連線與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上。

ABvBvACABvBvAC(3)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等，如圖所示，圖形的速度瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等)wOvAAvBB另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。(4)平面圖形沿一固定表面做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。如車(chē)輪在地面上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。vC例6-4用速度瞬心法解例1。解：AB做平面運(yùn)動(dòng)AvAvBB30°CvMwM瞬心在C點(diǎn)例6-5已知輪子在地面上做純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1

各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見(jiàn)車(chē)輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。O45o90o90oO1OBAD例6-6已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)AB桿的角速度；(2)B和D點(diǎn)的速度。w解：AB做平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿做平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB例6-7直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求

時(shí)圓柱的角速度。解：圓柱做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，設(shè)其角速度為。AB桿做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，則即亦即故例6-8圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為ω，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角α=β=60o，求滑塊C的速度。解：AB和BC做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心分別為C1和C2點(diǎn)，則wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C1點(diǎn)，則例6-9曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長(zhǎng)r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=BC=BD=l，當(dāng)曲柄與水平線成30o角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C的速度。AOBDC30o30ovAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C2點(diǎn)，則例6-10曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機(jī)構(gòu)由曲柄O1A帶動(dòng)。已知曲柄的角速度為w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1A⊥O1O2時(shí)，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，j=30o。試求三角板ABD的角速度和點(diǎn)D的速度。解:運(yùn)動(dòng)分析——O1A和O2B做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；ABD做平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在點(diǎn)C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB如圖所示，由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理，有而其中故由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，所以ae=aA，于是有§6.4基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度BAaAaBaAaBAwa

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成法，稱(chēng)為基點(diǎn)法。BAaAaBaAaBAwaABCDO100100vCvB45o45o例6-11平面四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w=1rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求C點(diǎn)的加速度。解：AB和CD做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BC做平面運(yùn)動(dòng)，其B、C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個(gè)速度矢量的垂線得交點(diǎn)O即為該瞬時(shí)BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知wBCwABCDaB45oaB80.54o取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有將C點(diǎn)的加速度向BC方向投影得：aC負(fù)值表明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。例6-12如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角速度ω1繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪