工程力學(xué) 第2版 課件 第6章 剛體的平面運動

工程力學(xué)平動和轉(zhuǎn)動與基點之間的關(guān)系

第六章剛體的平面運動§6.1

概述和運動分解剛體平面運動實例在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為平面運動。剛體平面運動簡化MNSA1A2A剛體上每一點都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運動。過A點作一平面N與平面M平行,以平面N去截剛體得一平面圖形S?？芍撈矫鎴D形S始終在平面N內(nèi)運動。

垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然做平動。A1A2的運動可用其與圖形S的交點

A的運動來替代。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運動。這就是平面圖形的運動方程。SMO'yxOj

平面圖形S在其平面上的位置完全可由圖形內(nèi)任意線段O'M的位置來確定：

1)線段上任一點O'的位置；2)線段O'M與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角j。平面圖形的運動方程可由兩部分組成：1)平面圖形按點O'的運動方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移；

2)平面圖形繞O'點轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)動。

對于任意的平面運動，可在平面圖形上任取一點O'，稱為基點。在這一點假想地安上一個平移參考系O'x'y'；平面圖形運動時，動坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy。于是平面圖形的平面運動可看成為隨同基點的平移和繞基點轉(zhuǎn)動這兩部分運動的合成。y'x'O'yxO剛體平面運動分解

平面運動的這種分解也可以按上一章合成運動的觀點加以解釋。以沿直線軌道滾動的車輪為例，取車廂為動參考體，以輪心點O'為原點取動參考系O'x'y'，則車廂的平動是牽連運動，車輪繞平動參考系原點O'的轉(zhuǎn)動是相對運動，二者的合成就是車輪的平面運動(絕對運動)。單獨輪子做平面運動時，可在輪心O'處固連一個平動參考系O'x'y'，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動兩種簡單的運動。y'x'O'y'x'O'O'M

平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和,這就是平面運動的速度合成法或稱基點法。1.基點法

已知O'點的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動的角速度，求M點的速度。§6.2求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法wvMvO'vMO'vO'

同一平面圖形上任意兩點的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是將等式兩邊同時向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA例6-1橢圓規(guī)機構(gòu)如圖。已知連桿AB的長度l=20cm，滑塊A的速度vA=10cm/s，求連桿與水平方向夾角為30°時，滑塊B和連桿中點M的速度。

解:AB做平面運動，以A為基點，分析B點的速度。由圖中幾何關(guān)系得：方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A為基點，則M點的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例6-2用速度投影定理解例1中滑塊B的速度。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°例6-3行星輪系機構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度為ωO。求輪II的角速度ωII及其上B、C兩點的速度。解:行星齒輪II做平面運動，求得A點的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點，分析兩輪接觸點D的速度。由于齒輪I固定不動，接觸點D不滑動，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點D相對基點A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點，分析點B的速度vBA與vA垂直且相等，點B速度大小以A為基點，分析點C的速度vCA與vA方向一致且相等，點C速度大小定理：一般情況，在每一瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點?！?.3瞬心法求平面圖形內(nèi)各點速度wS平面圖形S角速度為w,點A的速度為vA在vA的垂線上取一點C(使vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，則如果取AC＝vA/w

，則NCvAvCA該點稱為瞬時速度中心，或簡稱為速度瞬心。vAA

圖形內(nèi)各點速度的大小與該點到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動的一方。CAwvAvBBDvDwC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)已知圖形內(nèi)任意兩點A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在兩點速度垂線的交點上。

wABwOCvAABvB(2)已知圖形上兩點A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點的連線AB，則速度瞬心必定在AB連線與速度矢vA和vB端點連線的交點C上。

ABvBvACABvBvAC(3)某瞬時，圖形上A、B兩點的速度相等，如圖所示，圖形的速度瞬心在無窮遠處。(瞬時平動：此時物體上各點速度相同，但加速度不一定相等)wOvAAvBB另外注意：瞬心的位置是隨時間在不斷改變的，它只是在某瞬時的速度為零，加速度并不為零。(4)平面圖形沿一固定表面做無滑動的滾動，圖形與固定面的接觸點C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上做無滑動的滾動時。vC例6-4用速度瞬心法解例1。解：AB做平面運動AvAvBB30°CvMwM瞬心在C點例6-5已知輪子在地面上做純滾動，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點即A1

各點的速度方向分別為各點與A點連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點的速度最快，最下面點的速度為零。O45o90o90oO1OBAD例6-6已知四連桿機構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以ω繞O軸轉(zhuǎn)動。求：(1)AB桿的角速度；(2)B和D點的速度。w解：AB做平面運動，OA和O1B都做定軸轉(zhuǎn)動，C點是AB桿做平面運動的速度瞬心。vAvBvDCwAB例6-7直桿AB與圓柱O相切于D點，桿的A端以勻速向前滑動，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動，如圖，求

時圓柱的角速度。解：圓柱做平面運動，其瞬心在點，設(shè)其角速度為。AB桿做平面運動，其瞬心在點，則即亦即故例6-8圖示機構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為ω，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角α=β=60o，求滑塊C的速度。解：AB和BC做平面運動，其瞬心分別為C1和C2點，則wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB做平面運動，瞬心在C1點，則例6-9曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，AB=BC=BD=l，當(dāng)曲柄與水平線成30o角時，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o角。試求圖示位置時，桿AB、BC的角速度以及沖頭C的速度。AOBDC30o30ovAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC做平面運動，瞬心在C2點，則例6-10曲柄連桿機構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機構(gòu)由曲柄O1A帶動。已知曲柄的角速度為w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1A⊥O1O2時，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，j=30o。試求三角板ABD的角速度和點D的速度。解:運動分析——O1A和O2B做定軸轉(zhuǎn)動；ABD做平面運動，其速度瞬心在點C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB如圖所示，由牽連運動為平動的加速度合成定理，有而其中故由于牽連運動為平動，所以ae=aA，于是有§6.4基點法求平面圖形內(nèi)各點加速度BAaAaBaAaBAwa

平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與相對基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運動的加速度合成法，稱為基點法。BAaAaBaAaBAwaABCDO100100vCvB45o45o例6-11平面四連桿機構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w=1rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動，求C點的加速度。解：AB和CD做定軸轉(zhuǎn)動，BC做平面運動，其B、C兩點的運動軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個速度矢量的垂線得交點O即為該瞬時BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知wBCwABCDaB45oaB80.54o取B為基點分析C點的加速度，有將C點的加速度向BC方向投影得：aC負(fù)值表明實際方向與假設(shè)方向相反。例6-12如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，系桿以勻角速度ω1繞O1轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪