川大附中2022-2023學(xué)年度上期高2023屆半期考試數(shù)學(xué)理科試題含答案

川大附中2022-2023年度上期高2023屆半期考試數(shù)學(xué)理科（時(shí)間：120分鐘總分：150分）第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，則等于（）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若（）A.2B.4C.8D.164.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a?3)=P(ξ>a+2)，則a的值為(

)A.73 B.43 C.3 5.已知某樣本的容量為100，平均數(shù)為80，方差為95，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將90記錄為70，另一個(gè)錯(cuò)將80記錄為100.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則(

)6.若tanθ＝－2，則eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)等于()A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(6,5)7.函數(shù)f(x)=ln?(x+x2A.B.C.D.8．下列命題中，不正確的是()A．在△ABC中，若A>B，則sinA>sinBB．在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形9.在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且滿足，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足BE=xBA+yBC，則A.22 B.43 C.4+2310.2022年9月30日至10月9日，第56屆國(guó)際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都舉行，組委會(huì)安排甲、乙等6名工作人員去4個(gè)不同的崗位工作，其中每個(gè)崗位至少一人，且甲乙2人必須在一起，則不同的安排方法的種數(shù)為（）A.240B.180C.156D.14411.設(shè)點(diǎn)P是拋物線C1：x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C2：(x?5)?2+(y+4)?2=4上的動(dòng)點(diǎn)，dA.52?2 B.52?1 C.12.不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.(x?2x)6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____________.14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(?∞,0]時(shí)，f(x)=?x2+2x，若實(shí)數(shù)m滿足f(log2m)≤3，則m的取值范圍是15.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，其前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1=216.已知函數(shù)在區(qū)間(,)上單調(diào)，且滿足.(1)若,則函數(shù)的最小正周期為________;（2）若函數(shù)在區(qū)間[,)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為__________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分17.隨著新高考改革的不斷深入，高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會(huì)的關(guān)注．川大附中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程，并取得了一定的成果．下表為該校為了調(diào)查學(xué)生成績(jī)與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)不夠優(yōu)秀總計(jì)選修生涯規(guī)劃課151025不選修生涯規(guī)劃課61925總計(jì)212950(Ⅰ)根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：能否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績(jī)是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”，并說明理由；(Ⅱ)如果從全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)地抽取3名學(xué)生．求抽到成績(jī)不夠優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望(將頻率當(dāng)作概率計(jì)算)．參考附表：P(0.1000.0500.0100.001χ2.7063.8416.63510.828參考公式：K2=n(ad?bc)18.如圖，圓臺(tái)下底面圓O的直徑為AB，C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，且∠BAC=30°，MN為上底面圓O′的一條直徑，?MAC是邊長(zhǎng)為23(1)證明：BC⊥平面MAC；(2)求平面MAC和平面NAB夾角的余弦值．19.在①an+12=13an(2an③2Sn+問題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn=log13a20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿足直線與斜率之積為.求面積的最大值.21.已知函數(shù)（），.（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若恒成立，求的取值范圍.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，極軸所在的直線為軸，建立極坐標(biāo)系，曲線是經(jīng)過極點(diǎn)且圓心在極軸上直徑為2的圓，曲線是著名的笛卡爾心形曲線，它的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程，并求曲線和曲線交點(diǎn)（異于極點(diǎn)）的極徑；(2)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.若曲線和曲線相交于除極點(diǎn)以外的，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.23.設(shè)函數(shù)最小值為.（1）求；（2）設(shè)，且，求證：.川大附中2022-2023年度上期高2023屆半期考試數(shù)學(xué)理科參考答案1-5BDCAA6-10CACDA11-12BB13.-16014.(0,2]15.9616.(2)17.解：(Ⅰ)K2=50×(15×19?6×10)∴有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績(jī)是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)“．......6’(Ⅱ)在全校選修生涯規(guī)劃課的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，成績(jī)優(yōu)秀的概率為1525=35而隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C∴ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

27

54

36

8∵ξ～B(3,25)，18.(1)證明：∵AB為圓臺(tái)下底面圓O的直徑，C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，故∠ACB=9又∵∠BAC=30°∴AB=4=MB，∵AC=MC，BC=BC，∴△ABC≌△MBC，∴∠BCM=9∴BC⊥MC，又∵BC⊥AC，AC∩MC=C，AC,MC?平面MAC，∴BC⊥平面MAC；(2)解：取AC的中點(diǎn)，連接DM,DO，則MD⊥AC，由(1)可知，BC⊥DM∵AC∩BC=C，AC,BC?平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又∵OD⊥AC，∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DO為y軸，DM為z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A(3,0,0)，∵OO′⊥平面ABC，∴DM//OO′，四邊形ODMO′為矩形，∴N(0,2,3)

，平面MAC的一個(gè)法向量為n1設(shè)平面NAB的一個(gè)法向量為n2=(x,y,z)，AB由n2?AB=0n2?AN=0

平面NAB的一個(gè)法向量為n2則平面MAC與平面NAB的夾角的余弦值為|n∴平面MAC和平面NAB夾角的余弦值為31319.(1)解：若選條件①：由an+12=∵an>0，∴3又a1∴數(shù)列{an}是以1∴a若選條件②：∵Sn，2S∴4Sn+1=Sn+3S∴an+1=又∵a1=∴a∴a∴數(shù)列{an}是以1∴a若選條件③：∵2Sn+∴當(dāng)n≥2時(shí)，有2S兩式相減整理得：an=1又a1∴數(shù)列{an}是以1∴a(2)證明：由(1)可得：bn=log∴T又13兩式相減得：23整理得：Tn∴T又Tn+1∴Tn+1>Tn∴T∴2320.解：依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】解：易知直線AP與AQ的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡(jiǎn)可得，①，因?yàn)?，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化?jiǎn)得，所以，或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．設(shè)定點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即△APQ面積的最大值為．21.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以?duì)恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的零點(diǎn)，使得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，