2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第四章4.1　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念(學(xué)生版+解析)

§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考試要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識(shí)梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著________從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為、、,按終邊位置不同分為和軸線角.))(3)相反角：我們把射線繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于________________的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°＝________rad；1rad＝________________弧長(zhǎng)公式l＝________扇形面積公式S＝________＝________3.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝________(x≠0)．(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．()(2)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3,4)，則cosα＝－eq\f(3,5).()(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．()(4)若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長(zhǎng)為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2).()教材改編題1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad2．某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開(kāi)始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，則sinα＝________，tanα＝________.題型一角及其表示例1(1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上聽(tīng)課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究若α是第一象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_(kāi)_______．思維升華確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫(xiě)出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2021·北京)若點(diǎn)P(cosθ，sinθ)與點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的θ＝________.題型二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，半徑為r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，線段BA，CD與，的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三三角函數(shù)的概念例3(1)設(shè)點(diǎn)P是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置P0(0,1)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到達(dá)點(diǎn)P1，然后繼續(xù)沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角eq\f(π,3)到達(dá)點(diǎn)P2，若點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是－eq\f(1,2)，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是________．(2)已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋eq\f(3,cosα)的值為()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角聽(tīng)課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)若角α的終邊上有一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)，則2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考試要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識(shí)梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)相反角：我們把射線繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．(×)(2)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3,4)，則cosα＝－eq\f(3,5).(√)(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．(×)(4)若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長(zhǎng)為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2).(√)教材改編題1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad答案C解析－660°＝－660×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(11,3)πrad.2．某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開(kāi)始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．答案－4π解析某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開(kāi)始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了－720°，即－4π.3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，則sinα＝________，tanα＝________.答案－eq\f(3\r(13),13)－eq\f(3,2)解析因?yàn)閤＝2，y＝－3，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r＝eq\r(22＋－32)＝eq\r(13).則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,\r(13))＝－eq\f(3\r(13),13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,2).題型一角及其表示例1(1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上答案D解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵傻胑q\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，對(duì)于A，可得－π－2kπ<－α<－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，此時(shí)－α位于第三象限，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可得eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)位于第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)位于第三象限，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可得2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(5π,2)＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以eq\f(3π,2)＋α位于第一象限，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上，所以D正確．延伸探究若α是第一象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？解因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角．(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_(kāi)_______．答案－675°和－315°解析所有與45°終邊相同的角可表示為β＝45°＋k×360°(k∈Z)，當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝45°－360°＝－315°，當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝45°－2×360°＝－675°.思維升華確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫(xiě)出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)α是第四象限角時(shí)，eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，則eq\f(3π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<π＋kπ，k∈Z，即eq\f(α,2)是第二或第四象限角．當(dāng)eq\f(α,2)＝eq\f(3π,4)為第二象限角時(shí)，α＝eq\f(3π,2)不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的充分不必要條件．(2)(2021·北京)若點(diǎn)P(cosθ，sinθ)與點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的θ＝________.答案eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(滿足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))解析∵P(cosθ，sinθ)與Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即θ，θ＋eq\f(π,6)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，θ＋eq\f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，則θ＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，可取θ的一個(gè)值為eq\f(5π,12).題型二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，半徑為r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．解(1)α＝35°＝35×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7,36)πrad，扇形的弧長(zhǎng)l＝αr＝eq\f(7,36)π×8＝eq\f(14,9)π(cm)．(2)方法一由題意知2r＋l＝16，∴l(xiāng)＝16－2r(0<r<8)，則S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，當(dāng)r＝4(cm)時(shí)，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝eq\f(l,r)＝2，∴S的最大值是16cm2，此時(shí)扇形的半徑是4cm，圓心角α＝2rad.方法二S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2r，即r＝4(cm)時(shí)，S的最大值是16cm2.此時(shí)扇形的圓心角α＝2rad.思維升華應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，線段BA，CD與，的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值．解(1)根據(jù)題意，可算得＝θx，＝10θ.因?yàn)锳B＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，所以θ＝eq\f(2x＋10,x＋10)(0<x<10)．(2)根據(jù)題意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝eq\f(1,2)θ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102－x2))＝eq\f(1,2)×eq\f(2x＋5102－x2,x＋10)＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\f(225,4)，當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，ymax＝eq\f(225,4).綜上所述，當(dāng)x＝eq\f(5,2)時(shí)，銘牌的截面面積最大，且最大面積為eq\f(225,4).題型三三角函數(shù)的概念例3(1)設(shè)點(diǎn)P是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置P0(0,1)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到達(dá)點(diǎn)P1，然后繼續(xù)沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角eq\f(π,3)到達(dá)點(diǎn)P2，若點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是－eq\f(1,2)，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析初始位置P0(0,1)在角eq\f(π,2)的終邊上，射線OP1對(duì)應(yīng)的角為eq\f(π,2)－θ，射線OP2對(duì)應(yīng)的角為eq\f(π,6)－θ，由題意可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－eq\f(1,2)，又eq\f(π,6)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，則eq\f(π,6)－θ＝－eq\f(π,6)，解得θ＝eq\f(π,3)，所以射線OP1對(duì)應(yīng)的角為eq\f(π,2)－θ＝eq\f(π,6)，由任意角的三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)P1的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,6)，sin

\f(π,6)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).(2)已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋eq\f(3,cosα)的值為()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)答案C解析由題意知，cosα≠0，設(shè)角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，－3a)(a≠0)，則r＝eq\r(a2＋9a2)＝eq\r(10)|a|.當(dāng)a>0時(shí)，r＝eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,\r(10)a)＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,\r(10)a)＝eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.當(dāng)a<0時(shí)，r＝－eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,－\r(10)a)＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,－\r(10)a)＝－eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案B解析由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，由eq\f(cosα,tanα)>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)若角α的終邊上有一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)，則2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)答案D解析由題意得，r＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)|a|，當(dāng)a>0時(shí)，r＝eq\r(5)a，cosα＝eq\f(a,r)＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2a,r)＝eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝eq\f(3\r(5),5)；當(dāng)a<0時(shí)，r＝－eq\r(5)a，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝－eq\f(3\r(5),5)，綜上，2sinα－cosα＝±eq\f(3\r(5),5).(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．答案eq\r(11)解析根據(jù)三角函數(shù)的終邊上點(diǎn)的定義可得，r＝eq\r(1＋a2)，所以sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋1))＝eq\f(\r(33),6)>0，即a>0且a2＝11，所以a＝eq\r(11).課時(shí)精練1．與－2023°終邊相同的最小正角是()A．137°B．133°C．57°D．43°答案A解析因?yàn)椋?023°＝－360°×6＋137°，所以與－2023°終邊相同的最小正角是137°.2．(2023·西安模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，若角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，則cosθ等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)答案D解析由角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以cosθ＝eq\f(－\f(1,2),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)))＝－eq\f(\r(2),2).3．如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為4：30，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為α(0<α≤π)．若一個(gè)半徑為1的扇形的圓心角為α，則該扇形的面積為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,16)答案C解析由圖可知，α＝eq\f(1,8)×2π＝eq\f(π,4)，所以該扇形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(π,4)×12＝eq\f(π,8).4．設(shè)α是第一象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵?kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，即eq\f(α,2)為第一象限角或第三象限角，又因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，即cos

eq\f(α,2)≥0，所以eq\f(α,2)所在的象限是第一象限．5．(2023·南昌模擬)我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器，順利將探測(cè)器送入預(yù)定軌道，經(jīng)過(guò)兩次軌道修正，嫦娥五號(hào)順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號(hào)從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時(shí)把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號(hào)距離月球表面400千米，已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號(hào)繞月每旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，飛過(guò)的路程約為(取π≈3.14)()A．1069千米 B．1119千米C．2138千米 D．2238千米答案D解析嫦娥五號(hào)繞月飛行半徑為400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五號(hào)繞月每旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，飛過(guò)的路程約為l＝αr＝eq\f(π,3)×2138≈eq\f(3.14,3)×2138≈2238(千米)．6.(2023·麗江模擬)屏風(fēng)文化在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可追溯到漢代．某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計(jì)了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長(zhǎng)為3.6m，內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)為1.2m，徑長(zhǎng)(外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差)為1.2m，若不計(jì)外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為()A．2.58m2B．2.68m2C．2.78m2D．2.88m2答案D解析設(shè)扇形的圓心角為α，內(nèi)環(huán)半徑為rm，外環(huán)半徑為Rm，則R－r＝1.2(m)，由題意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，所以扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為S＝eq\f(1,2)α(R2－r2)＝eq\f(1,2)α(R＋r)(R－r)＝eq\f(1,2)×4.8×1.2＝2.88(m2)．7．(2023·寧夏模擬)已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos

\f(5π,6)))，則角α的最小正值為_(kāi)_______．答案eq\f(5π,3)解析因?yàn)閟ineq\f(5π,6)>0，cos

eq\f(5π,6)<0，所以角α的終邊在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知sinα＝cos

eq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故角α的最小正值為α＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感．萊洛三角形的畫(huà)法：先畫(huà)等邊△ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則其面積是________．答案2π－2eq\r(3)解析由條件可知，弧長(zhǎng)＝＝＝eq\f(2π,3)，等邊三角形的邊長(zhǎng)AB＝BC＝AC＝eq\f(\f(2π,3),\f(π,3))＝2，則以點(diǎn)A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對(duì)的扇形面積為eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2＝eq\f(2π,3)，中間等邊△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).所以萊洛三角形的面積是3×eq\f(2π,3)－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).9．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及sinα的值．解(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因?yàn)閨OM|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α為第四象限角，故m<0，從而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,|OM|)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A(1,0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，求sinα的值和與角α終邊相同的角β的集合；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，請(qǐng)寫(xiě)出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形)解(1)由題意知，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，可得B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，于是α＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，與角α終邊相同的角β的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))).(2)△AOB的高為1×cos

eq\f(α,2)，AB＝2sin

eq\f(α,2)，故S△AOB＝eq\f(1,2)×2sin

eq\f(α,2)×cos

eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα，故弓形AB的面積S＝eq\f(1,2)·α·12－eq\f(1,2)sinα＝eq\f(1,2)(α－sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).11．在平面直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為()A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)答案D解析∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．12．如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫(huà)法如下：在水平直線l上取長(zhǎng)度為1的線段AB，以AB為邊作一個(gè)等邊△ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，以此類(lèi)推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長(zhǎng)度為()A.eq\f(56π,3) B．14πC．24π D．10π答案B解析由題意得，扇形ABD的半徑為1，圓心角為eq\f(2π,3)，所以弧AD的長(zhǎng)l1＝eq\f(2π,3)×1，同理可得之后的各段弧長(zhǎng)分