華東師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題10.3圖形的旋轉(zhuǎn)【六大題型】(原卷版+解析)

專題10.3圖形的旋轉(zhuǎn)【六大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 1【題型2判斷由一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】 2【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】 3【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】 4【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 5【題型6旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 7【知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。【知識(shí)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2022秋·天津紅橋·八年級(jí)?？计谀┯邢铝鞋F(xiàn)象：①地下水位逐年下降：②傳送帶的移動(dòng)；③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)：④水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)；⑤鐘擺的運(yùn)動(dòng)：⑥蕩秋千運(yùn)動(dòng)．其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（2022春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐘擺的擺動(dòng)，這種圖形的改變是（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．相似【變式1-2】（2022春·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動(dòng)力主要來自太陽光能，要使接收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上．現(xiàn)在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點(diǎn)A逆時(shí)針最小旋轉(zhuǎn)（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【變式1-3】（2022秋·天津紅橋·七年級(jí)校考期末）摩天輪上以等間隔的方式設(shè)置36個(gè)車廂，車廂依順時(shí)針方向分別編號(hào)為1號(hào)到36號(hào)，且摩天輪運(yùn)行時(shí)以逆時(shí)針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘，若圖2表示21號(hào)車廂運(yùn)行到最高點(diǎn)的情形，則此時(shí)經(jīng)過多少分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【題型2判斷由一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】【例2】（2022秋·天津紅橋·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面內(nèi)將風(fēng)車?yán)@其中心旋轉(zhuǎn)180°后所得到的圖案是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖所示的各圖中，上方圖形可看成由下方圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而形成的是()A． B． C． D．【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各圖中，能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到另一三角形的圖形是（

）A．B．C．D．【變式2-3】（2022秋·河北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)圖形中，不能由下圖在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（

）A．① B．② C．③ D．④【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】【例3】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示圖案，繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)__________后可以和自身重合．【變式3-1】（2022春·四川樂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？(3)如果連接EF，那么△AEF是怎樣的三角形？【變式3-2】（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBP(1)旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是______度．(2)連接PP′，【變式3-3】（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將ΔABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，則下列說法：①點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O；⑥旋轉(zhuǎn)角為40°.其中正確的是（A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】【例4】（2022春?梅州校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為．【變式4-1】（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【變式4-2】（2022?天津一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D在邊AB上，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則∠ACD的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式4-3】（2022?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例5】（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，將大寫字母A繞它上方的頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，同時(shí)作出字母A向左平移5個(gè)單位的圖案．【變式5-1】（2022?南京模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)三角形ABC（即三角形ABC的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），按要求進(jìn)行下列作圖（提醒：別忘了標(biāo)注字母?。?）將三角形ABC向下平移4個(gè)單位得到三角形A1B1C1；（2）作出三角形ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形A2B2C2；（3）將三角形A2B2C2繞點(diǎn)A2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形A2B3C3．【變式5-2】（2022春·湖南湘潭·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用對(duì)稱性可以設(shè)計(jì)美麗的圖案，在邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙中，有如圖所示的△ABC(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)．(1)先作出該三角形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；(2)再作將△A′B′C′繞點(diǎn)B′順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A″B′C″；(3)求△A″B′C″的面積．【變式5-3】（2022春·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每一個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，直角三角形ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)先將直角三角形ABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到直角三角形A1(2)再將直角三角形A1B1C1繞點(diǎn)A(3)再畫出直角三角形A1B2C2(4)連接A、A1、【題型6旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】【例6】（2022春?沈丘縣期末）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2cm，以各邊中心為圓心，1cm為半徑依次作14（1）這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（填“是”或“不是”）；若是，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，最小旋轉(zhuǎn)角是度．（2）求圖形OBC的周長(zhǎng)和面積．【變式6-1】（2022秋?普陀區(qū)期末）在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形，其中有個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．【變式6-2】（2022秋?孝義市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奧會(huì)將隆重開幕，北京將成為世界上第一個(gè)既舉辦過夏季奧運(yùn)會(huì)，又舉辦過冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．下面圖片是在北京冬奧會(huì)會(huì)徽征集過程中，征集到的一幅圖片，整個(gè)圖片由“京字組成的雪花圖案”、“beijing2022”、“奧運(yùn)五環(huán)”三部分組成．對(duì)于圖片中的“雪花圖案”，至少旋轉(zhuǎn)°能與原雪花圖案重合．【變式6-3】（2022?南京）在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著它的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合（如圖），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為90度．（1）判斷下列命題的真假（在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填上“真”或“假”）．①等腰梯形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為180度．（）②矩形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為180°．（）（2）填空：下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）：①正三角形；②正方形；③正六邊形；④正八邊形．（3）寫出兩個(gè)多邊形，它們都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，都有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為72°，并且分別滿足下列條件：①是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形：；②既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形：．專題10.3圖形的旋轉(zhuǎn)【六大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 1【題型2判斷由一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】 3【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】 5【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】 8【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】 11【題型6旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】 17【知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！局R(shí)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2022秋·天津紅橋·八年級(jí)?？计谀┯邢铝鞋F(xiàn)象：①地下水位逐年下降：②傳送帶的移動(dòng)；③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)：④水龍頭開關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)；⑤鐘擺的運(yùn)動(dòng)：⑥蕩秋千運(yùn)動(dòng)．其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的定義對(duì)各運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，即可找出其中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．【詳解】解：③④⑤⑥屬于旋轉(zhuǎn)，共有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的定義，掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐘擺的擺動(dòng)，這種圖形的改變是（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．相似【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義解答即可．【詳解】鐘擺的擺動(dòng)，這種圖形的改變是旋轉(zhuǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的定義．掌握將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022春·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動(dòng)力主要來自太陽光能，要使接收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上．現(xiàn)在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點(diǎn)A逆時(shí)針最小旋轉(zhuǎn)（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和旋轉(zhuǎn)方向，計(jì)算可得．【詳解】解：由題意可得：若要太陽光板于太陽光垂直，則需要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°-（180°-134°）=44°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際生活中的垂直的定義，旋轉(zhuǎn)的定義，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)分為順時(shí)針和逆時(shí)針．【變式1-3】（2022秋·天津紅橋·七年級(jí)?？计谀┠μ燧喩弦缘乳g隔的方式設(shè)置36個(gè)車廂，車廂依順時(shí)針方向分別編號(hào)為1號(hào)到36號(hào)，且摩天輪運(yùn)行時(shí)以逆時(shí)針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘，若圖2表示21號(hào)車廂運(yùn)行到最高點(diǎn)的情形，則此時(shí)經(jīng)過多少分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【答案】C【分析】先求出從21號(hào)旋轉(zhuǎn)到3號(hào)旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘解答即可．【詳解】解：36?21+336所以經(jīng)過20分鐘后，3號(hào)車廂才會(huì)運(yùn)行到最高點(diǎn)．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，理清題意，得出從21號(hào)旋轉(zhuǎn)到3號(hào)旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例是解答本題的關(guān)鍵．【題型2判斷由一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】【例2】（2022秋·天津紅橋·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面內(nèi)將風(fēng)車?yán)@其中心旋轉(zhuǎn)180°后所得到的圖案是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，找到關(guān)鍵點(diǎn)，分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，風(fēng)車圖案繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，陰影部分的等腰直角三角形的頂點(diǎn)向下，得到的圖案是C．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案的知識(shí)，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．【變式2-1】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖所示的各圖中，上方圖形可看成由下方圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而形成的是()A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，根據(jù)圖形的特征及旋轉(zhuǎn)方向做出判定即可.【詳解】選項(xiàng)A、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)角線是相交而不是重疊；選項(xiàng)D，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)不重疊；只有選項(xiàng)符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各圖中，能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到另一三角形的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可．【詳解】A．兩個(gè)三角形的大小不一樣，不能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到，B．兩個(gè)三角形成抽對(duì)稱，不能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到，C.一個(gè)三角形可以通過另一個(gè)三角形平移得到，不能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到，D．能通過一個(gè)三角形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一次得到另一三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換的定義，掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)變換，是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋·河北·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)圖形中，不能由下圖在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，逐一判定即可.【詳解】圖①在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到例圖，符合題意；圖②在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到例圖，符合題意；圖③在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)不可以得到例圖，不符合題意；圖④在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到例圖，符合題意；故選：C.【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的理解，熟練掌握，即可解題.【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)】【例3】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示圖案，繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)__________后可以和自身重合．【答案】120°##120度【分析】根據(jù)圖形的對(duì)稱性，用360°除以3計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵360°÷3=120°，∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，∴旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)角，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式3-1】（2022春·四川樂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？(3)如果連接EF，那么△AEF是怎樣的三角形？【答案】(1)點(diǎn)A(2)90°(3)等腰直角三角形【分析】（1）可以根據(jù)圖形判斷點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心；（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)邊AB、AD的夾角∠BAD等于旋轉(zhuǎn)角可以求解；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AE=AF，∠EAF=90°，根據(jù)等腰直角三角形的定義判定即可判斷．（1）解：由題意可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴旋轉(zhuǎn)角為∠BAD=90°；（3）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AF，∠EAF=90°，故ΔAEF【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖．【變式3-2】（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBP(1)旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是______度．(2)連接PP′，【答案】(1)B，60°(2)△BPP【分析】（1）因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBP′重合，顯然是AB與BC重合，可判斷是繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角和對(duì)應(yīng)邊可判斷△BPP【詳解】（1）根據(jù)題意，AB與BC重合，所以旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC=60°．故答案為：B，60°；（2）△BPP∵旋轉(zhuǎn)角為60°，即∠PBP′=60°，BP=BP′，∴△BPP【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，把握旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將ΔABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到ΔCDO，若AB=2，OA=4，OB=3，∠A=40°，則下列說法：①點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D；②OD=2；③OC=4；④∠C=40°；⑤旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O；⑥旋轉(zhuǎn)角為40°.其中正確的是（A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將ΔABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到ΔCDO，AB=2，OA=4，OB=3，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，故①正確，OD=OB=3，故②錯(cuò)誤，OC=OA=4，故③正確，∠C=∠A=40°，故④正確，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O，故⑤正確，旋轉(zhuǎn)角不一定為40°，故⑥錯(cuò)誤，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】【例4】（2022春?梅州校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為140°．【分析】設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，易證△COD是等邊△OCD，從而利用α分別表示出∠AOD與∠ADO，再根據(jù)等腰△AOD的性質(zhì)求出α．【解答】解：設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△BOC≌△ADC，則OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．又∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．【變式4-1】（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故選：B．【變式4-2】（2022?天津一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D在邊AB上，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則∠ACD的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．45°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△AD′B，∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC＝30°；故選：B．【變式4-3】（2022?城步縣模擬）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【分析】將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，則AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等邊三角形，PD＝AP，所以△DCP的三邊長(zhǎng)分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，這樣可分別求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如圖，將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，∵AD＝AP，∠DAP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴PD＝AP，∵DC＝PB，∴△DCP的三邊長(zhǎng)分別為PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，∴以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為2：3：4．故選：B．【題型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例5】（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，將大寫字母A繞它上方的頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，同時(shí)作出字母A向左平移5個(gè)單位的圖案．【答案】見解析【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)畫圖的方法及平移的方法即可求解．【詳解】如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換和圖形的平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握畫圖的方法．【變式5-1】（2022?南京模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)三角形ABC（即三角形ABC的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），按要求進(jìn)行下列作圖（提醒：別忘了標(biāo)注字母?。?）將三角形ABC向下平移4個(gè)單位得到三角形A1B1C1；（2）作出三角形ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形A2B2C2；（3）將三角形A2B2C2繞點(diǎn)A2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形A2B3C3．【分析】（1）按平移作圖的方法進(jìn)行畫圖，即可作出圖；（2）按軸對(duì)稱圖形的畫法畫圖，即可作出圖；（3）按旋轉(zhuǎn)作圖的畫法畫圖，即可作出圖．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）如圖，△A2B3C3即為所求．【變式5-2】（2022春·湖南湘潭·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用對(duì)稱性可以設(shè)計(jì)美麗的圖案，在邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙中，有如圖所示的△ABC(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)．(1)先作出該三角形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；(2)再作將△A′B′C′繞點(diǎn)B′順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A″B′C″；(3)求△A″B′C″的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A′B′C′；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A′B′C′繞點(diǎn)B′順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A″B′C″，（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．（1）解：如圖所示，△A′B′C′即為所求，（2）如圖所示，△A″B′C″即為所求；（3）S△A″B′C″【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，畫旋轉(zhuǎn)圖形，掌握軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每一個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，直角三角形ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)先將直角三角形ABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到直角三角形A1(2)再將直角三角形A1B1C1繞點(diǎn)A(3)再畫出直角三角形A1B2C2(4)連接A、A1、【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)1【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得所得圖形；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得所得圖形；（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求得所得圖形；（4）根據(jù)鈍角三角形的面積公式即可求得．【詳解】（1）解：如圖所示A（2）解：如圖所示A（3）解：如圖所示A（4）解：如圖所示∵A1A∴S故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【題型6旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】【例6】（2022春?沈丘縣期末）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2cm，以各邊中心為圓心，1cm為半徑依次作14（1）這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形（填“是”或“不是”）；若是，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O，最小旋轉(zhuǎn)角是90度．（2）求圖形OBC的周長(zhǎng)和面積．【分析】（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合圖形即可作出判斷；（2）圖形OBC的周長(zhǎng)為BC+12圓的周長(zhǎng)，面積=14【解答】解：（1）這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O，最小旋轉(zhuǎn)角為90°．（2）圖形OBC的周長(zhǎng)＝BC+12圓的周長(zhǎng)＝2+面積=14S正方形ABCD=14【變式6-1】（2022秋?普陀區(qū)期末）在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形