高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向33一類與圓有關(guān)的最值與范圍問題(七大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向33一類與圓有關(guān)的最值與范圍問題經(jīng)典題型一：斜率型經(jīng)典題型二：直線截距型經(jīng)典題型三：兩點距離型經(jīng)典題型四：周長、面積型經(jīng)典題型五：數(shù)量積型經(jīng)典題型六：坐標與角度型經(jīng)典題型七：弦長型（多選題）（2023·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，答案：ACD【解析】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.(2023·全國·高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．答案：【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題經(jīng)典題型一：斜率型1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．(2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓，過點與圓上一點的直線的斜率范圍是_______；若點A恰好為過其所在的直線中對圓O張角最大的點（張角是指這個點到圓所作兩條切線的夾角），則此直線的表達式為_______________．3．(2023·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)有直線的傾斜角為．若在直線上存在點滿足，且，則的取值范圍是____________．4．(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點P是圓上任意一點，則的取值范圍為________．經(jīng)典題型二：直線截距型5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．56．(2023·全國·高三開學(xué)考試（文））已知點是圓：上的一動點，若圓經(jīng)過點，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．7．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）三角形的外心、重心、垂心所在的直線稱為歐拉線．已知圓的圓心在的歐拉線上，為坐標原點，點與點在圓上，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．的方程為C．圓上的點到的最大距離為D．若點在圓上，則的取值范圍是8．（多選題）(2023·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點O到直線AB的距離為，則C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為4經(jīng)典題型三：兩點距離型9．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知向量滿足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．(2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，求的取值范圍．11．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，點，，點是圓上的動點，求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標．12．(2023·云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．經(jīng)典題型四：周長、面積型15．(2023·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）過圓O：外一點引直線l與圓O相交于A，B兩點，當?shù)拿娣e取得最大值時，直線l的斜率為，則______．16．(2023·湖北·高三開學(xué)考試）已知圓，過點作不過圓心的直線交圓于兩點，則面積的取值范圍是___________.17．（多選題）(2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓上的三個點分別為，，，直線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．過作直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為C．若直線被圓截得的弦長為2，則的方程為或D．當點到直線的距離最大時，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為18．(2023·北京·高三開學(xué)考試）已知直線l：與圓O：相交于A，B兩點，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．線段AB長度的最小值為1 B．線段AB長度的最大值為2C．的面積最小值為4 D．的面積最大值為19．(2023·河北秦皇島·高三開學(xué)考試）若直線與圓交于A，B兩點，則面積的最大值為（

）A．4 B．8 C． D．經(jīng)典題型五：數(shù)量積型20．(2023·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓，點P在直線上，若過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足，則點P橫坐標的取值范圍是___________．21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知圓，若曲線上存在四個點，過動點Pi作圓O的兩條切線，A，B為切點，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．22．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．23．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓M：，直線l：，直線l與圓M交于A，C兩點，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點B．的最小值為4C．的取值范圍為D．當最小時，其余弦值為24．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，點在直線上，是圓的兩條切線，為切點，則（

）A．直線恒過定點B．當為正三角形時，C．當時，的取值范圍為D．當時，的最大值為25．（多選題）(2023·湖北·襄陽五中二模）已知點，若過點的直線交圓：于A，兩點，是圓上一動點，則（

）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為26．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點P在曲線上，則的最小值為___________.經(jīng)典題型六：坐標與角度型27．(2023·山東泰安·二模）已知以C為圓心的圓．若直線（a，b為正實數(shù)）平分圓C，則的最小值是______；設(shè)點，若在圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則的取值范圍是______．故答案為：；.28．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是___________.29．(2023·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，給定兩點M（-1，2），N（1，4），點P在x軸上移動，當取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-730．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為圓上一點，點，，，若對任意的點，總存在點，，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．31．(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．32．(2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．33．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知直線l：與圓O：相交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型七：弦長型34．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l過點，則直線l被圓O：截得的弦長的最小值為（

）A．3 B．6 C． D．35．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則過點作圓C的切線，切線長的最小值是________．36．(2023·浙江·紹興一中模擬預(yù)測）直線與直線相交于點A，則點A坐標為_______，過A的直線與曲線交于M，N，則的取值范圍是________．37．(2023·湖北·宜城市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，經(jīng)過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點，M為弦AB的中點，有下列結(jié)論：①弦AC長度的最小值為；②線段BO長度的最大值為；③點M的軌跡是一個圓；④四邊形ABCD面積的取值范圍為．其中所有正確結(jié)論的序號為______．1．（2023·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．2．（2023·北京·高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．73．（2023·全國·高考真題（文））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．44．（2023·全國·高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．5．（多選題）（2023·全國·高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切6．（多選題）（2023·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，7．(2023·全國·高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．經(jīng)典題型一：斜率型1．答案：B【解析】方程可化為且，所以曲線的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上縱坐標大于等于1的點的集合，直線表示過點且斜率存在的直線，作圖可得因為曲線與直線有兩個交點觀察圖象可得，又，，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.2．答案：

【解析】如圖建立平面直角坐標系，為坐標原點，顯然當過點A的直線與圓相切時，斜率取得最大值或最小值，設(shè)過點A的直線：，直線與圓相切：解得：，則斜率范圍是．如圖，當，則越小張角越大，當垂直直線時，最小即張角最大，此時直線斜率，故直線方程為：，即.故答案為：；.3．答案：【解析】設(shè)，因為，所以，因為在直線上存在點滿足，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得或，又因為，所以的取值范圍是.故答案為：4．答案：【解析】令，則，代入，可得，∴，解得，即的取值范圍為.故答案為；.經(jīng)典題型二：直線截距型5．答案：A【解析】由，令，則，所以當時，的最大值為．故選：A6．答案：C【解析】因為圓：經(jīng)過點，．又，所以，可看成是直線在軸上的截距．如圖所示，當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得，所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為．故選：C．7．答案：BCD【解析】對于B選項，由題意可知，故的歐拉線即為線段的中垂線，線段的中點為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線方程為，即，B對；對于A選項，因為圓的圓心在的歐拉線上，因為，，，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為，將代入圓的方程可得，解得或，所以，圓的方程為或，A錯；對于C選項，因為過圓心，所以圓上的點到的最大距離為圓的半徑，C對；對于D選項，因為點在圓上，設(shè)，圓心在上，半徑為，則，D對．故選：BCD.8．答案：AD【解析】對于A，若，則可知點到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，兩點到直線的距離之和為的中點到直線的距離的兩倍.點到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯誤，D正確..故選：AD.經(jīng)典題型三：兩點距離型9．答案：C【解析】，，，以為y軸，為x軸，建立直角坐標系設(shè)，，，所以，由，可得，化簡可得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，原點到的距離為，所以的取值范圍是，即故選：C．10．【解析】以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)點，則由，得，整理得，即點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，圓心到點的距離為，所以，，所以的取值范圍是.11．【解析】設(shè)點的坐標為，.當時，即時，取最大值74，解得，，點坐標為.當時，即，取最小值34，解得，，點坐標為．12．答案：A【解析】到點的距離為2的點在圓上，所以問題等價于圓上總存在兩個點也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：A．13．答案：C【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．∵表示圓P上的點到坐標原點的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．14．答案：B【解析】直線整理可得，，即直線恒過，同理可得，直線恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，設(shè)該圓心為，圓心距，兩圓相離，，的取值范圍是．故選：B．經(jīng)典題型四：周長、面積型15．答案：【解析】設(shè)，則，當時，的最大值為，此時根據(jù)對稱性，不妨取直線l的方程為，因為，，所以點O到直線l的距離為，所以，解得．故答案為：16．答案：【解析】因為，過點的直線不過圓心，所以該直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，所以圓心到該直線的距離為，因為，所以，故答案為：17．答案：CD【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，故A錯誤；連接，，直線的斜率，直線的斜率，可得過點的直線與線段相交時，的斜率的取值范圍為，故B錯誤；由圓的標準方程為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離，則，解得或，故直線的方程為或，故C正確；由直線過定點，連接，，當時，點到直線的距離最大，，當最小時，四邊形的面積最小，又由，所以四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：CD.18．答案：D【解析】圓心到直線距離，因為，所以，,則弦長，所以A和B均錯誤；，令，則，因為取不到，所以沒有最小值，C錯誤；當時，面積最大，為，D正確．故選：D19．答案：C【解析】由圓C方程可知，圓心，所以，直線l恒過點，點D在圓內(nèi)，，當時，最小，也最小，此時，故（時不能構(gòu)成三角形），時，．故選：C．經(jīng)典題型五：數(shù)量積型20．答案：【解析】由題，即，故為的中點，即過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足為的中點.考慮當確定，在圓上運動時，的軌跡為與圓相切且半徑為1的圓上.故當為的中點時，的軌跡為以為圓心，內(nèi)外半徑分別為1，3的圓環(huán)內(nèi).故只需分析此圓環(huán)與直線相交的部分即可.易得外圓方程,聯(lián)立有,解得或,故點P橫坐標的取值范圍是故答案為:21．答案：A【解析】設(shè)，則，解得（舍去）或=4，所以點P的軌跡方程為，曲線過點（1，2）且關(guān)于直線x=1對稱，由題可知k<0.當直線與相切時，解得k=或.所以k的取值范圍為故選：A22．答案：C【解析】因為，所以，，三點共線，且點在線段外，因為點為線段的中點，所以，即是直角三角形，所以，由數(shù)量積的定義可得：，因為，所以，即，故選:C.23．答案：ABC【解析】A.直線，即，直線恒過點，故A正確；B.當定點是弦的中點時，此時最短，圓心和定點的距離時，此時，故B正確；C.當最小時，最小，此時，此時，當是直徑時，此時最大，，此時，所以的取值范圍為，故C正確；D.根據(jù)C可知當最小時，其余弦值為，故D錯誤.故選：ABC24．答案：BD【解析】對于A，直線恒過定點，故A錯誤；對于B，因為為正三角形，則，所以，故B正確；對于C，因為，所以四邊形為正方形，則，所以點的軌跡方程為，問題轉(zhuǎn)化為直線與點的軌跡有公共點，所以，即，所以的取值范圍為，故C錯誤；對于D，因為，則，即，由，所以，當且僅當時取等號，故D正確；故選：BD.25．答案：ABC【解析】如圖，當直線與軸垂直時，有最小值，且最小值為，所以A正確；當直線與垂直時，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.設(shè)，則，所以，所以的最小值為，所以C正確；當，，三點共線時，最大，且最大值為，所以D錯誤；故選：ABC.26．答案：【解析】設(shè)，由題意，點在，即點在以為圓心，半徑為的下半圓上，，其中表示為點到點的距離的平方，當點到點的距離最小時，取最小值，點到點的最小距離為，所以的最小值為.故答案為：經(jīng)典題型六：坐標與角度型27．答案：

【解析】由題意知：直線經(jīng)過圓心，又化為標準方程為，故，即，故，當且僅當，即時取等，故的最小值是；易知圓與直線相切，在直線上，當時，設(shè)直線與圓切于點，如圖所示，要使圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則，，則，即，解得，故且；當時，即為切點，此時圓上存在使∠CMN＝45°，符合題意；綜上：.故答案為：；.28．答案：【解析】設(shè)為圓上一點，直線為，過點作，連接，作出如下示意圖：則到直線的距離，由圖可知圓在直線的上方，所以，即，所以，，所以，所以只需求出取值范圍即可，設(shè)直線與圓相切，所以，解得，所以兩條切線方程為：和，設(shè)兩切點分別為，，分別過作，垂足為，過作，垂足為，所以，因為直線的斜率為：，所以，所以，，又因為，所以，所以，，所以所以，所以.故答案為：.29．答案：A【解析】由題M（-1，2），N（1，4），則線段MN的中點坐標為（0，3），易知，則經(jīng)過M，N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線上．設(shè)圓心為，則圓S的方程為．當取最大值時，圓必與軸相切于點（由題中結(jié)論得），則此時P的坐標為，代入圓S的方程，得，解得或，即對應(yīng)的切點分別為P（1，0）和．因為對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，即點P的橫坐標為1.故選:A．30．答案：A【解析】由題可得點，在直線上，圓的方程為，則圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的距離的范圍為.因為對任意的點，總存在點，，使得，所以以為直徑的圓包含圓，故，所以，得，故選：A.31．答案：D【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則，在中，，所以點在圓上，由于點P也在圓M上，故兩圓有公共點.又圓M的半徑等于1，圓心坐標，，∴，∴.故選：D.32．答案：B【解析】設(shè)，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，如圖，，即．圓心到直線的距離，或．故選：B．33．答案：A【解析】因為直線l：經(jīng)過定點，圓O：的半徑為，當∠AOB為直角時，此時圓心O到直線l的距離，解得，則當∠AOB為銳角時，．又直線與圓相交于A，B兩點，則，即，所以或，故選：A．經(jīng)典題型七：弦長型34．答案：B【解析】依題意可知在圓內(nèi)，且，圓O的半徑為．當OA與直線l垂直時，所截得的弦長最短，即弦長的最小值為.故選：B．35．答案：12【解析】將圓C的方程化成標準方程為，圓心為，半徑為9，因為圓C關(guān)于直線對稱，所以圓心位于該直線上，將圓心坐標代入直線方程中，有,即點在直線上，設(shè)，過點D作圓C的切線，切點為E，則，要使得切線長最短，則只需最短,的最小值為點C到直線的距離，此時，所以根據(jù)勾股定理，得,即切線長的最小值是12，故答案為：1236．答案：

【解析】，即，過A的直線設(shè)為，而曲線化為標準方程為，圓心為，當為直經(jīng)時長度最大，即，當與垂直時長度最小，，所以，即．故答案為：；.37．答案：①③④【解析】由題設(shè)，則圓心，半徑，由圓的性質(zhì)知：當圓心與直線距離最大為時AC長度的最小，此時，①正確；BO長度最大，則圓心與共線且在它們中間，此時，②錯誤；若分別是的中點，則且，且，又，易知：為矩形，而，若圓心到直線的距離且，所以，則，故，所以在以為直徑，交點為圓心的圓上，③正確；由上分析：，，而，所以，令，則，當，即時，；當或5，即或時，；所以，④正確；故答案為：①③④1．答案：C【解析】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當時，弦長取得最小值為，解得.故選：C.2．答案：A【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當在線段上時取得等號，故選：A.3．答案：B【解析】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設(shè)，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.4．答案：D【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當直線時，，，此時最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.5．答案：ABD【解析】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.6．答案：ACD【解析】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.7．答案：【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：考向33一類與圓有關(guān)的最值與范圍問題經(jīng)典題型一：斜率型經(jīng)典題型二：直線截距型經(jīng)典題型三：兩點距離型經(jīng)典題型四：周長、面積型經(jīng)典題型五：數(shù)量積型經(jīng)典題型六：坐標與角度型經(jīng)典題型七：弦長型（多選題）（2023·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，答案：ACD【解析】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.(2023·全國·高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．答案：【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題經(jīng)典題型一：斜率型1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】方程可化為且，所以曲線的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上縱坐標大于等于1的點的集合，直線表示過點且斜率存在的直線，作圖可得因為曲線與直線有兩個交點觀察圖象可得，又，，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.2．(2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓，過點與圓上一點的直線的斜率范圍是_______；若點A恰好為過其所在的直線中對圓O張角最大的點（張角是指這個點到圓所作兩條切線的夾角），則此直線的表達式為_______________．答案：

【解析】如圖建立平面直角坐標系，為坐標原點，顯然當過點A的直線與圓相切時，斜率取得最大值或最小值，設(shè)過點A的直線：，直線與圓相切：解得：，則斜率范圍是．如圖，當，則越小張角越大，當垂直直線時，最小即張角最大，此時直線斜率，故直線方程為：，即.故答案為：；.3．(2023·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)有直線的傾斜角為．若在直線上存在點滿足，且，則的取值范圍是____________．答案：【解析】設(shè)，因為，所以，因為在直線上存在點滿足，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得或，又因為，所以的取值范圍是.故答案為：4．(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點P是圓上任意一點，則的取值范圍為________．答案：【解析】令，則，代入，可得，∴，解得，即的取值范圍為.故答案為；.經(jīng)典題型二：直線截距型5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5答案：A【解析】由，令，則，所以當時，的最大值為．故選：A6．(2023·全國·高三開學(xué)考試（文））已知點是圓：上的一動點，若圓經(jīng)過點，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．答案：C【解析】因為圓：經(jīng)過點，．又，所以，可看成是直線在軸上的截距．如圖所示，當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得，所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為．故選：C．7．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）三角形的外心、重心、垂心所在的直線稱為歐拉線．已知圓的圓心在的歐拉線上，為坐標原點，點與點在圓上，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．的方程為C．圓上的點到的最大距離為D．若點在圓上，則的取值范圍是答案：BCD【解析】對于B選項，由題意可知，故的歐拉線即為線段的中垂線，線段的中點為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線方程為，即，B對；對于A選項，因為圓的圓心在的歐拉線上，因為，，，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為，將代入圓的方程可得，解得或，所以，圓的方程為或，A錯；對于C選項，因為過圓心，所以圓上的點到的最大距離為圓的半徑，C對；對于D選項，因為點在圓上，設(shè)，圓心在上，半徑為，則，D對．故選：BCD.8．（多選題）(2023·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點O到直線AB的距離為，則C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為4答案：AD【解析】對于A，若，則可知點到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，兩點到直線的距離之和為的中點到直線的距離的兩倍.點到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯誤，D正確..故選：AD.經(jīng)典題型三：兩點距離型9．(2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知向量滿足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，，，以為y軸，為x軸，建立直角坐標系設(shè)，，，所以，由，可得，化簡可得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，原點到的距離為，所以的取值范圍是，即故選：C．10．(2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，求的取值范圍．【解析】以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)點，則由，得，整理得，即點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，圓心到點的距離為，所以，，所以的取值范圍是.11．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，點，，點是圓上的動點，求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標．【解析】設(shè)點的坐標為，.當時，即時，取最大值74，解得，，點坐標為.當時，即，取最小值34，解得，，點坐標為．12．(2023·云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】到點的距離為2的點在圓上，所以問題等價于圓上總存在兩個點也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：A．13．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．∵表示圓P上的點到坐標原點的距離，，∴的取值范圍為，故選：C．14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：B【解析】直線整理可得，，即直線恒過，同理可得，直線恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，設(shè)該圓心為，圓心距，兩圓相離，，的取值范圍是．故選：B．經(jīng)典題型四：周長、面積型15．(2023·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）過圓O：外一點引直線l與圓O相交于A，B兩點，當?shù)拿娣e取得最大值時，直線l的斜率為，則______．答案：【解析】設(shè)，則，當時，的最大值為，此時根據(jù)對稱性，不妨取直線l的方程為，因為，，所以點O到直線l的距離為，所以，解得．故答案為：16．(2023·湖北·高三開學(xué)考試）已知圓，過點作不過圓心的直線交圓于兩點，則面積的取值范圍是___________.答案：【解析】因為，過點的直線不過圓心，所以該直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，所以圓心到該直線的距離為，因為，所以，故答案為：17．（多選題）(2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓上的三個點分別為，，，直線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的方程為B．過作直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為C．若直線被圓截得的弦長為2，則的方程為或D．當點到直線的距離最大時，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為答案：CD【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，故A錯誤；連接，，直線的斜率，直線的斜率，可得過點的直線與線段相交時，的斜率的取值范圍為，故B錯誤；由圓的標準方程為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離，則，解得或，故直線的方程為或，故C正確；由直線過定點，連接，，當時，點到直線的距離最大，，當最小時，四邊形的面積最小，又由，所以四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：CD.18．(2023·北京·高三開學(xué)考試）已知直線l：與圓O：相交于A，B兩點，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．線段AB長度的最小值為1 B．線段AB長度的最大值為2C．的面積最小值為4 D．的面積最大值為答案：D【解析】圓心到直線距離，因為，所以，,則弦長，所以A和B均錯誤；，令，則，因為取不到，所以沒有最小值，C錯誤；當時，面積最大，為，D正確．故選：D19．(2023·河北秦皇島·高三開學(xué)考試）若直線與圓交于A，B兩點，則面積的最大值為（

）A．4 B．8 C． D．答案：C【解析】由圓C方程可知，圓心，所以，直線l恒過點，點D在圓內(nèi)，，當時，最小，也最小，此時，故（時不能構(gòu)成三角形），時，．故選：C．經(jīng)典題型五：數(shù)量積型20．(2023·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓，點P在直線上，若過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足，則點P橫坐標的取值范圍是___________．答案：【解析】由題，即，故為的中點，即過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足為的中點.考慮當確定，在圓上運動時，的軌跡為與圓相切且半徑為1的圓上.故當為的中點時，的軌跡為以為圓心，內(nèi)外半徑分別為1，3的圓環(huán)內(nèi).故只需分析此圓環(huán)與直線相交的部分即可.易得外圓方程,聯(lián)立有,解得或,故點P橫坐標的取值范圍是故答案為:21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知圓，若曲線上存在四個點，過動點Pi作圓O的兩條切線，A，B為切點，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設(shè)，則，解得（舍去）或=4，所以點P的軌跡方程為，曲線過點（1，2）且關(guān)于直線x=1對稱，由題可知k<0.當直線與相切時，解得k=或.所以k的取值范圍為故選：A22．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因為，所以，，三點共線，且點在線段外，因為點為線段的中點，所以，即是直角三角形，所以，由數(shù)量積的定義可得：，因為，所以，即，故選:C.23．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓M：，直線l：，直線l與圓M交于A，C兩點，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點B．的最小值為4C．的取值范圍為D．當最小時，其余弦值為答案：ABC【解析】A.直線，即，直線恒過點，故A正確；B.當定點是弦的中點時，此時最短，圓心和定點的距離時，此時，故B正確；C.當最小時，最小，此時，此時，當是直徑時，此時最大，，此時，所以的取值范圍為，故C正確；D.根據(jù)C可知當最小時，其余弦值為，故D錯誤.故選：ABC24．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，點在直線上，是圓的兩條切線，為切點，則（

）A．直線恒過定點B．當為正三角形時，C．當時，的取值范圍為D．當時，的最大值為答案：BD【解析】對于A，直線恒過定點，故A錯誤；對于B，因為為正三角形，則，所以，故B正確；對于C，因為，所以四邊形為正方形，則，所以點的軌跡方程為，問題轉(zhuǎn)化為直線與點的軌跡有公共點，所以，即，所以的取值范圍為，故C錯誤；對于D，因為，則，即，由，所以，當且僅當時取等號，故D正確；故選：BD.25．（多選題）(2023·湖北·襄陽五中二模）已知點，若過點的直線交圓：于A，兩點，是圓上一動點，則（

）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為答案：ABC【解析】如圖，當直線與軸垂直時，有最小值，且最小值為，所以A正確；當直線與垂直時，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.設(shè)，則，所以，所以的最小值為，所以C正確；當，，三點共線時，最大，且最大值為，所以D錯誤；故選：ABC.26．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點P在曲線上，則的最小值為___________.答案：【解析】設(shè)，由題意，點在，即點在以為圓心，半徑為的下半圓上，，其中表示為點到點的距離的平方，當點到點的距離最小時，取最小值，點到點的最小距離為，所以的最小值為.故答案為：經(jīng)典題型六：坐標與角度型27．(2023·山東泰安·二模）已知以C為圓心的圓．若直線（a，b為正實數(shù)）平分圓C，則的最小值是______；設(shè)點，若在圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則的取值范圍是______．答案：

【解析】由題意知：直線經(jīng)過圓心，又化為標準方程為，故，即，故，當且僅當，即時取等，故的最小值是；易知圓與直線相切，在直線上，當時，設(shè)直線與圓切于點，如圖所示，要使圓C上存在點N，使得∠CMN＝45°，則，，則，即，解得，故且；當時，即為切點，此時圓上存在使∠CMN＝45°，符合題意；綜上：.故答案為：；.28．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是___________.答案：【解析】設(shè)為圓上一點，直線為，過點作，連接，作出如下示意圖：則到直線的距離，由圖可知圓在直線的上方，所以，即，所以，，所以，所以只需求出取值范圍即可，設(shè)直線與圓相切，所以，解得，所以兩條切線方程為：和，設(shè)兩切點分別為，，分別過作，垂足為，過作，垂足為，所以，因為直線的斜率為：，所以，所以，，又因為，所以，所以，，所以所以，所以.故答案為：.29．(2023·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，給定兩點M（-1，2），N（1，4），點P在x軸上移動，當取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7答案：A【解析】由題M（-1，2），N（1，4），則線段MN的中點坐標為（0，3），易知，則經(jīng)過M，N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線上．設(shè)圓心為，則圓S的方程為．當取最大值時，圓必與軸相切于點（由題中結(jié)論得），則此時P的坐標為，代入圓S的方程，得，解得或，即對應(yīng)的切點分別為P（1，0）和．因為對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，即點P的橫坐標為1.故選:A．30．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為圓上一點，點，，，若對任意的點，總存在點，，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題可得點，在直線上，圓的方程為，則圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的距離的范圍為.因為對任意的點，總存在點，，使得，所以以為直徑的圓包含圓，故，所以，得，故選：A.31．(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則，在中，，所以點在圓上，由于點P也在圓M上，故兩圓有公共點.又圓M的半徑等于1，圓心坐標，，∴，∴.故選：D.32．(2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】設(shè)，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，如圖，，即．圓心到直線的距離，或．故選：B．33．(2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知直線l：與圓O：相交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因為直線l：經(jīng)過定點，圓O：的半徑為，當∠AOB為直角時，此時圓心O到直線l的距離，解得，則當∠AOB為銳角時，．又直線與圓相交于A，B兩點，則，即，所以或，故選：A．經(jīng)典題型七：弦長型34．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l過點，則直線l被圓O：截得的弦長的最小值為（

）A．3 B．6 C． D．答案：B【解析】依題意可知在圓內(nèi)，且，圓O的半徑為．當OA與直線l垂直時，所截得的弦長最短，即弦長的最小值為.故選：B．35．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則過點作圓C的切線，切線長的最小值是________．答案：12【解析】將圓C的方程