安徽省淮北市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次階段考試試題含解析

Page21一、選擇題（每題5分，共40分．）1.已知集合，集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，利用集合補(bǔ)集和交集的概念求出進(jìn)而得到元素個(gè)數(shù)即可.【詳解】由解得或，所以或，，又因?yàn)?，所以，元素個(gè)數(shù)為2，故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿意，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法法則以及共軛復(fù)數(shù)、虛部的概念即可求解.【詳解】由題意，則虛部為.故選：C.3.已知條件：直線與直線垂直，條件：，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩條直線垂直可求得，結(jié)合充要條件的定義即可求出答案.【詳解】直線與直線垂直，所以，則，所以是的充要條件.故選：A.4.已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（）A.且 B.且C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即得.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得且.故選：B.5.已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿意，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由距離公式化簡(jiǎn)整理可得點(diǎn)M的軌跡，兩圓相減得公共弦直線方程，利用幾何關(guān)系即可求出弦長(zhǎng).【詳解】由題意，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，從而有，化簡(jiǎn)得：，即②，由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，所以公共弦長(zhǎng)為.故選:A.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程．則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，將化為的三角函數(shù)求最小值.【詳解】令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)取最小值，所以最小值為.故選：D7.已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定兩圓圓心和半徑，依據(jù)公切線得到兩圓外切，得到，變換得到，綻開利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，圓心，；，即，圓心，半徑；兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，即，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：A8.在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段EF上（包括端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則二面角的正弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作幫助線，利用二面角的定義找到二面角的平面角，再設(shè)，用表示出二面角的正弦值，最終利用函數(shù)學(xué)問求二面角的正弦值的范圍即可.【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，故平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，故，過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，連接DN，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，又平面，則，故即二面角的平面角.設(shè)，在直角中，，所以，，所以，.所以，則，易知在上的值域?yàn)?，所?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，少選得2分，錯(cuò)選得0分，共20分．）9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.C.函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù) D.函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】CD【解析】【分析】對(duì)A選項(xiàng)由圖得到兩相鄰最值之間的橫坐標(biāo)距離為半周期即可判定A，對(duì)B選項(xiàng)，利用圖像所過的點(diǎn)，代入求解出三角函數(shù)解析式，再計(jì)算即可，對(duì)C選項(xiàng)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可推斷，對(duì)D選項(xiàng)求解出其單調(diào)增區(qū)間，再賦值值，求出最接近的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，即可推斷D.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，在同一周期內(nèi),函數(shù)在時(shí)取得最大值,時(shí)取得最小值,函數(shù)的最小正周期滿意,由此可得,故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，解得,得函數(shù)表達(dá)式為，又當(dāng)時(shí)取得最大值2,,可得，取,得，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，，則，令，則原函數(shù)為，，由正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)，；令，,解得，,令，則其中一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，而，故D正確故選：CD.【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】10.已知直線，是圓上的一點(diǎn)，則（）A.直線過定點(diǎn) B.圓C的半徑是C.點(diǎn)P可能在圓上 D.點(diǎn)P到直線的最大距離是【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)直線過定點(diǎn)、圓、直線和圓的位置關(guān)系等學(xué)問對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線可化為，由，解得，故直線過定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.圓可化為，所以圓心，半徑，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.圓的圓心為，半徑為，，所以圓與圓外切，所以點(diǎn)可能在圓上，C選項(xiàng)正確.，所以點(diǎn)P到直線的最大距離是，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，的面積為1，離心率為，點(diǎn)P是C上除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的隨意一點(diǎn)，的平分線交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M，則（）A.橢圓的焦距等于短半軸長(zhǎng)B.面積的最大值為2C.D.取值范圍是【答案】C【解析】【分析】由的面積為1，離心率為列方程組，進(jìn)而可求的值，則A可推斷，B選項(xiàng)可依據(jù)P點(diǎn)位置是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的隨意一點(diǎn)干脆解除；對(duì)于C選項(xiàng)，由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，得到，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍可推斷D.【詳解】對(duì)A：由的面積為1，離心率為可得，又，所以得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)位置時(shí)的面積才能取到最大值，但是P點(diǎn)是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的隨意一點(diǎn)，故的面積無法取到最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：所以橢圓的方程為，故，，由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，明顯，，又，所以，即，由，，得，故C正確；對(duì)D：設(shè)，則，而，即，也就是，所以，所以，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得平面C.若，則P點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面周長(zhǎng)為【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可推斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，依據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而推斷選項(xiàng)BC，作出過三點(diǎn)的正方體的截面，計(jì)算周長(zhǎng)即可推斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，由等體積法，三棱錐的高等于，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，，若平面，則，，則，，解得，不符合，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，連接PQ并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接QF，延長(zhǎng)QP交DA的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接PE，則五邊形即為經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面，如圖：正方體的棱長(zhǎng)為2，則，則為等腰直角三角形，則，依據(jù)得，，則，則，，同理可得，而，則五邊形的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題（每空5分，共20分．）13.已知圓C：，若過定點(diǎn)能作兩條圓的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】使過A點(diǎn)作圓的切線有兩條，則定點(diǎn)在圓外，代入圓方程計(jì)算得到答案.【詳解】已知圓C的方程為，所以，要使過A點(diǎn)作圓的切線有兩條即點(diǎn)在圓C外：恒成立，解得或，綜上所述：或，故答案為：.14.橢圓內(nèi)，過點(diǎn)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)在橢圓上利用點(diǎn)差法求解出的值，再利用直線的點(diǎn)斜式方程可求解出直線方程.【詳解】設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程為：，即，故答案為：.15.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，.若橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，依據(jù)橢圓性質(zhì)和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.【詳解】設(shè)，，則，，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即，.故答案為：16.在四棱錐中，平面ABCD，，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，，直線PM與平面ABCD所成的角為，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的體積為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)線面角的定義得出M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，再由三棱錐的體積最小，確定點(diǎn)M位于F，進(jìn)而由長(zhǎng)方體外接球模型結(jié)合體積公式求解.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角，所以.因?yàn)椋?，如圖，易知M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，記點(diǎn)M的軌跡為圓弧EF.連接AF，當(dāng)點(diǎn)M位于F時(shí)，三棱錐的體積最小，由長(zhǎng)方體外接球模型可知，三棱錐的外接球球心為PF的中點(diǎn)，此外接球的體積.故答案為：四、解答題（17題10分，18-22題每題12分，共70分，要求寫出必要的解題步驟或證明過程．）17.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿意__________.從條件①?條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面橫線上作為已知，（1）求角；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.條件①：條件②：注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，利用余弦定理即可得到的大小；選②利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正余弦平方和關(guān)系即可求出，則得到的大??；（2）利用正弦定理解得，再求出的范圍則得到的范圍，最終利用三角形面積公式即可.【小問1詳解】選擇條件①：由題意及正弦定理知，選擇條件②：因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以【小?詳解】由可得因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，則，所以.18.投壺是從先秦持續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲嬉戲，假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺嬉戲參加者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中的機(jī)會(huì)是均等的，丁每次投壺時(shí)，投中的概率為．甲、乙、丙、丁每人每次投壺是否投中相互獨(dú)立，互不影響．（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；（2）甲、丁進(jìn)行投壺競(jìng)賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)獨(dú)立事務(wù)乘法公式計(jì)算即可；（2）分狀況依據(jù)獨(dú)立重復(fù)事務(wù)公式計(jì)算即可.【小問1詳解】將甲、乙、丙、丁各自由一次投壺中投中分別記為事務(wù)，則．設(shè)只有一人投中為事務(wù)，則．【小問2詳解】若甲投中0次，則丁至少投中1次；若甲投中1次，則丁投中2次．設(shè)丁獲勝為事務(wù)，則．19.已知圓．（1）直線過點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積S的最大值．【答案】（1）x＝－1或4x－3y＋7＝0（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)直線的斜率是否存在，分別設(shè)出直線方程，再依據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可解出；（2）依據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，再依據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線距離的最大值為半徑加上圓心到直線的距離，即可解出．【小問1詳解】由題意得C（2，0），圓C的半徑為3．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，由直線與圓C相切，得，解得，所以直線的方程為4x－3y＋7＝0．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，明顯與圓C相切．綜上，直線的方程為x＝－1或4x－3y＋7＝0．【小問2詳解】由題意得圓心C到直線的距離，設(shè)圓C的半徑為r，所以r＝3，所以，點(diǎn)P到直線距離的最大值為，則的面積的最大值．20.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）與平面所成角的正弦值為【解析】【分析】（1）依據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）依據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的焦距為2，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓左焦點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿意，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，又，，聯(lián)立方程組可解得，，由此可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，依據(jù)韋達(dá)定理得，可得，再利用得，可得，再依據(jù)弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，又，，∴，∴∴，又∴，，所以橢圓的方程為：.（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線的方程為：，由可得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.22.已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.（1）求橢