高中數(shù)學必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓練 (二十七)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓練(27)

1.三棱柱ABC-AB?被平面&B1C截去一部分后得到如圖所示幾何體，BB]，平面ABC,

^ABC=90°,BC=BB],E為棱&C上的動點(不包含端點)，平面ABE交41c于點F.

(I)求證：AB1平面為BC；

(II)求證：EF//AB-,

(III)試問是否存在點E,使得平面ABE1平面&%C?并說明理由.

2.如圖，在三棱柱ABC-A/iCi中，平面力遇CCi1底面=BC=2,AACB=30。,4cle8=

60°,BCrl.ArC,E為AC的中點，側棱CC1=2.

(1)求證：4cl平面GEB；

(2)求直線CG與平面ABC所成角的余弦值.

3.如圖1所示，在直角梯形ABC。中，乙40c=90。，AB//CD,AD=CD=^AB=2,E為AC的

中點，將AACD沿AC折起，使折起后的平面4C￡＞與平面48c垂直，得到如圖2所示的幾何體

D-ABC.

(1)求證：BC1平面ACQ；

(2)點尸在棱CO上，且滿足AD〃平面BEF,求幾何體f-BCE的體積.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD^,PA_L平面ABCD,AC1CD,PA=2,

AB=1,BC=a,CD=娓,PC與平而ABC。所成的角為45。，

(1)求證：平面PAB_L平面尸BC；

(2)若CM_LPC于M,N為AO的中點，求三棱錐P-CMN的體積.

5.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為

4祖。1，/.BAC=90°,AiAJ?平面ABC,ArA=陰，AB=AC=2,

,尸,BD_i

—1，DC~2-

(I)證明：平面4遇01平面BCQB］；

(口)求二面角4一。6-3的正切值.

6.如圖，長方體4BCD—4聲傳12中，AC=A&=1,AB=m,點M是棱C￡＞的中點.

(1)求異面直線aC與4G所成的角的大?。?/p>

(2)是否存在實數(shù)相，使得直線4cl與平面BMDi垂直？說明理由；

(3)設P是線段4G上的一點(不含端點)，滿足某=九求；I的值，使得三棱錐當-CDiG與三棱錐為-

CD1P的體積相等.

7.如圖，在四棱臺力BCD—4BiGDi中，底面A8CQ是菱形,44]==^AB=1,乙4BC=60°,

AA!I5??ABCD,點E是棱BC上一點.

(1)若E是BC中點，求證：平面ADiE平面CCiAC；

(2)設二面角E-AD1一。的平面角為。，且|cos0|=/求線段CE的長.

8.在邊長為4的正方形ABCQ中，點E、F分別為邊AB、A。的中點，以CE,CF為折痕將AOFG和

△BCE折起，使點B、。重合于點P,連結PA,得到如圖所示的四棱錐P-4EF.

(1)求證：EF1PC；

(2)求直線PA與平面PEC所成角的正弦值.

9.在正方體4BCD-48停1。1中，已知E,F,G分別CCi，BC,CD

的中點，

(1)求證：ABJ/GE；

(2)求證：&G1平面EFD；

(3)求二面角B-ArC-。的余弦值.

10.如圖所示，已知四邊形A8C。為矩形，AD1￥?ABP,AP=PB=

BC=2,M為CP的中點，且BM_L平面ACP,AC與BD交于N點.

(1)證明：API平面BCP；

(2)求三棱錐C—BNM的體積.

11.直三棱柱4BC-&B1Q中，AA1=AB=AC=1,E,尸分別是CQ,

BC的中點，AELAiBi，力為棱&Bi上的點.

(1)證明：ABA.AC；

(2)證明：DFLAE；

(3)是否存在一點。，使得平面OEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值

為豆？若存在，說明點。的位置，若不存在，說明理由.

14

12.如圖，在三棱錐S-4BC中，BC1平面S4C.已知S4=4C,點”，E,F分別為SC,AB,BC的

中點.

(1)求證：EF〃平面SAC；

(2)求證：AH1平面SBC.

13.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD_L底面A8CD,其中底面A8C。為等腰梯形，AD//BC,

PA=AB=BC=CD,PA1PD,/.PAD=60°,Q為尸。的中點.

P

(1)證明：CQ〃平面PA8；

(2)求二面角P-AQ-。的余弦值.

14.如圖，在長方體4BC。一4/口5中，AB=AD=1,AAr=2,點尸為。。i的中點.

(1)求證：直線BQ〃平面PAC；

(2)求證：平面PAC_L平面BO%；

(3)求直線PG與平面A4C的夾角.

15.已知斜四棱柱平面48co-&勺。［。］的各棱長均為2,/.A^AD=60°,/.BAD=90°,平面

A1ADD1_L平面ABCD,

(1)求直線BO】與平面A8C。所成的角的正弦值；

(2)若E為CCi中點，在線段AD上是否存在一點M,使得MB】_L平面BED］，若存在求出AM長度,

若不存在，請說明理由.

16.如圖，在直四棱柱4BC。一公8道1。1中，底面ABCO是菱形，且4B=

\AAr=1,E是棱44的中點，EC=V3.

(1)求證：平面DiEC_L平面EDC；

(2)求二面角5-EC-B］的大小.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,AB=1,CD=3,AP=2,

DP=2V3rZ.PAD=60°,ABI5]2?PAD,點M在棱PC上.

(I)求證：平面PABJ■平面PCD；

(II)若直線PA〃平面MBD,求此時直線BP與平面MBD所成角的正弦值.

18.如圖所示，已知四棱錐P—4BCD中，底面A8CO為菱形，PA1平面A8C。，乙4BC=60.,E,

尸分別是BC,PC的中點，AB=PA=2.

(/)求證：AE1PD；

(11)設平面2。。。平面248=1,試判斷直線/與直線A8的位置關系，并證明;

(HI)求二面角E-AF-C的余弦值.

19.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為平行四邊形，AP=AB=AC=a,AD=V2a,PA1

底面ABCD.

(1)求證：平面PCD1?平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在一點E,使得四棱錐E-ABCD的體積為等？若存在，求出；1=繇的值？若

不存在，說明理由.

D

20.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。中，BC//AD,CDJ.AD,P在底

面的射影0在4。上，PA=PD,O,E分別為A￡>,PC的中點，且P0=AD=

2BC=2CD.

(1)求證：AB1DE；

(2)求二面角4-PE-。的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：(I)因為BBiJ.平面A3C,ABU平面ABC，所以

因為乙4BC=90。，所以BC14B.

因為=4BU平面3田。，3廠(1平面3聲「，

所以平面

(11)在三棱柱48。-418住1中，AB

因為ABC平面ABQ,4歸1C平面4BC，

所以平面AK.

因為4BU平面ABEF,平面4BEFC平面ABiC=EF,

所以EF//AB.

(HI)存在點E,當點E為BiC中點時，平面ABE_L平面A|3|C'.

因為BC=BB「E為&C的中點，所以8EJ.B1C,

因為.AB1平面BEC平面BBL,所以AB1BE,

因為AB〃4Bi，所以BEJ.4

因為nB]C=Bi，A\B\.B[CC平面出場。，

所以BE_L平面.山區(qū)「.

因為BEU平面ABE,所以平面ABE_L平面

解析：本題考查立體幾何的相關定理，考查線面垂直、面面垂直，考查線線平行、線面平行，屬于

中檔題.

(I)結合題目條件以及線面垂直的判定定理進行證明即可；

(口)利用線面平行的判定定理進行證明；

(ID)證明面面垂直過程中，找到線面垂直是關鍵，再由線面垂直推出面面垂直.

2.答案：(1)證明：如圖：

■：AB=BC,E為AC的中點，.iBElAC,

?.?平面44CC11平面ABC,平面44CGD平面力BC=AC,BEu平面ABC,

BE，平面4遇CCi，

VAXCU平面41ACG，BE141c.

又BC1J_4C,BECBG=B,BE,BC】u平面6EB,

???41c1平面GEB.

（2）解：???平面4iACG_L平面ABC,.'Ci在面ABC上的射影H在AC上,

???為直線CW與面A8C所成的角.

過H作1BC于M,連,

vCrH1BC,MHCO1H=H,MH,C】Hu平面MC】H,

BC_L平面MG”.「MJu平面MG”,???BC1MCr,

在Rt△C]CM中，CM=CCJCOSZ.CJCM=2cos60°=1.

2y/3

在RtACMH中，CH=CM

CQSZ-ACB3

CHp/3V3

???在/?%。107中，coszCiCH____—￡___—__

CC1-2-3

???直線C1C與面A8C所成的角的余弦值為號.

解析：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

(1)證明BEJ■平面414CG，可得BEJLAiC,即可證明：41cl平面GEB；

(2)判斷NGC4為直線GC與面ABC所成的角.過H作HM1BC于M,連GM,即可求直線CC】與平

面A8C所成角的余弦值.

3.答案：（1）證明：由圖1可知4c=BC=2V2>

所以AC2+B（?2=AB2,所以AC_LBC,

取AC中點E,連接。E,則DEIAC,又平面4CD_L平面ABC,

又平面4coe平面ABC=AC,DEu平面ACT）,所以EO_L平面ABC,

而BCu平面ABC,所以EDJ.BC,又ACJ.BC,ACCtED=E,

所以BC1平面AC￡)；

(2)解：取。C中點F,連接EF,BF,因為E是AC的中點，所以E/7/AD,

又EFu平面BEF,ADC平面BEF,所以平面BEF,

由(1)知I,BC為三棱錐B-ACD的高，

因為三棱錐F-BCE的高九=|BC=V2,SABCE=|5Ai4CD=]x：x2x2=l,

所以三棱錐F—BCE的體積/_BCE=，SABCE,h=：X1XV2=*.

解析：⑴利用勾股定理可證得4CLBC,取AC中點E,連接。E,則DE1AC,從而證得ED，平面

ABC,由此能證明BC1平面ACO；

（2）取0c中點F,連接EF,BF,則EF〃/1D,三棱錐F-BCE的高％=S^BCE=^S^ACD,由

此能求出三棱錐尸-BCE的體積.

本題主要考查了線面垂直的證明，以及三棱錐的體積計算，同時考查了空間想象能力和轉化的思想,

屬于中檔題.

4.答案：解：（1）證明：PAABCD,外

可得PC與平面A8CZ）所成的角為NPC4=45°,

可得4C=PA=2,川

/

由48=1,BC=曲，AC2=AB2+BC2,即有BC_L力B,

由P41BC,可得BC_L平面PAB,BCu平面P8C,-L

可得平面PAB_L平面PBC；C

（2）由PA1平面ABCD,可得P41CD,

又CD1AC,可得CD1平面PAC,

即有CD1PC,在直角三角形PC。中，CD=#,PC=2V2,

由CM1PD,可得PM-PD=PC2=8,DM-PD=DC2=6,

可得型==PM=-PD,

'DM37

可得Vp_CND=[PA.SACND=32-，，2.乃=苧，

即有Vp-CNM—；Vp-CND=竽.

解析：（1）由線面角的定義可得4PCA=45。，AC=PA=2,由線面垂直的判定定理可得BC1平面

PAB,再由面面垂直的判定定理即可得證；

（2）運用線面垂直的判定和性質可得CD1PC,在直角三角形PC。中，運用射影定理可得PM=；PD,

再由三棱錐的體積公式，計算可得所求值.

本題考查面面垂直的判定定理，考查棱錐的體積求法，注意運用線面垂直的判定定理和轉化思想，

考查推理能力，屬于中檔題.

5.答案：證明：（I）r4p4_L平面ABC,BCu平面ABC,

???AtA1BC.

在RtzMBC中，AB=?AC=2,

???BC=V6?

???BD：DC=1：2,

???BD——9

3

-riBD_y/3_AB

AB3BC

???△DBA-AABC,

^ADB=^BAC=90°,即/W1BC.

又4i4n4D=4,ArA,4￡><=平面4遇。，

BC，平面4遇0,

???BCu平面BCCiBi，

平面力_L平面BCC$i.

(II)如圖，作力E_LQC交CiC于E點，連接BE,

由己知得AB1平面4CC14.

4E是BE在面ACC14內(nèi)的射影.

由三垂線定理知BE1CG，

N4EB為二面角4-CG-B的平面角.

過G作C/14c交AC于F點,

則CF=AC-AF=1,GF=ATA=百，

4cleF=60°.

在Rt△力EC中，AE=4Csin60°=2x—=V3.

2

在RtZkBAE中，tazMEB=再=*=漁，

AEW3

即二面角4-CG-B的正切值為當

解析：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同時考查了空間想象能

力，計算能力和推理能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題.

（I）欲證平面44。，平面BCGB1，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BCG以內(nèi)一直線與平面

垂直，根據(jù)線面垂直的性質可知4遇J_BC,AD1BC,又4404。=/1,根據(jù)線面垂直的判定

定理可知BC_L平面4遇D,而BCu平面BCG/,滿足定理所需條件；

（口）作4后1C1C交GC于E點,連接BE,由三垂線定理知BE1CC1,從而乙4EB為二面角A-CCr-B

的平面角，過G作C/J.4C交AC于尸點，在RtABAE中，求出二面角4一CQ-B的正切值即可.

6.答案：解：（1）連接BCi，由四邊形BCG當為正方形，可得

B[C1BQ

5LABCD-43傳1。1為長方體，可得ZB1B】C,而ABnBCX=

B,

■■B、C_L平面力而4Gu平面ABC1，二BXC14Q,

即異面直線與AR所成的角的大小為90。；

（2）存在實數(shù)m=V2.使得直線AC1與平面BMD1垂直.

事實上'當m=a時，CM=-，

ADD('-

■：BC=1,=V2,則RtAABORMBCM,

則4a4B=乙MBC,

???Z.CAB+AACB=90°,???AMBC+/.ACB=90°,即4clBM,

又CQ1BM,ACnCCr=C,二1平面4CG，貝IJBM14G，

同理可證力G1D1M,

又％Mn8M=M,.?.直線AG1平面8MD1；

(3)Vci-BjCDj=5X5X1x1X771=%,

..yymmmmm

V_=1X1Xm---------------=—

ARrn66663

設4cl與平面B1CD1的斜足為0,貝1」4。=2。6,

???在線段4G上取一點P,要使三棱錐為-C5G與三棱錐當-CD/的體積相等,

AP1

則尸為AO的中點，即k=2=

解析：（1）連接BC]，可得當CLBC1，再由ZBCD-AiBiCiCi為長方體，可得4BJ.B1C,得8傳1平

面力則BiClACi，可得異面直線BiC與AC1所成的角的大小為90。；

(2)當m=及時，CM=字利用三角形相似可得皿B=乙MBC,結合皿B+乙4cB=90°,得

ZMBC+￡.ACB=90°,BMC1BM,同理可證AGJ.D1M,再由線面垂直的判定可得直線AC1，平

面BMDi；

(3)利用等體積法求解各=4=［時，三棱錐當-CDiG與三棱錐/-CAP的體積相等.

本題考查異面直線所成角的求法，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利

用等積法求多面體的體積，是中檔題.

7.答案:(1)證明:取BC中點M,連接AM,

???四邊形ABC。是菱形，乙4BC=60。，

：.△ABC是等邊三角形，二4M±BC,

???AM1AD,

乂ZZi，平面ABCD,

AM,AD,44］兩兩垂直，

?.,四棱臺4"。一公8由。1，二四邊形

48cos四邊形4出6。1，

二四邊形是菱形，4也==1,

以A為原點，以AM,AD,44］為坐標軸建立空間直角坐標系4一xyz,如圖所示,

則4(0,0,0),0(0,2,0),C(⑸，0),5(0,1,1),

若E為2c得中點，則E(舊,0,0),

AE=(V3.0,0),而=(0,1,1),CD=(-V3.1.0),函*=(0,-1,1),

設平面gE的法向量為記=(如月㈤,則情條；°o,即｛￡%二。，

令Zi=1可得沅=(0,-14)，

設平面CDDiG的法向量為方=(%2,y2,z2),則E'祟2,即『8x2+力：0,

(n-DDi-0(.-y2+Z2=0

令小=1可得記=(1,V3,V3),

in-n=0—V3+V3=0)?-mLn,

???平面平面ADiE1平面CGDiD

(2)解：設E(H〃，0),-1<m<1,則荏=(舊〃，0),

設平面Em的法向量為五=。3，為浮3)，則｛三,窘L°o,即｛f%：鷲=°

令心=巾可得元=(m,-V3,V5),

???AM1平面沱=(1,0,0)為平面ADD1的一個法向量,

___,—＞、n7njmm

???cosvni，的＞==[.+6x1=

-*?\cos0\==也解得?n=±—，

V7n2+632

又CM=1,CE=1+—.

-2

解析：⑴取BC中點M,證明AM140,建立空間直角坐標系4-xyz,求出平面4?；ê推矫鍯C/i。

的法向量，證明法向量垂直得出兩平面垂直；

(2)設E(次"，0),求出平面4。止的法向量4和平面4。。出的法向量河令際＜用式＞|=：計

算“從而得出CE的長.

本題考查了面面垂直的判定，考查空間向量與空間位置關系、空間角的計算，屬于中檔題.

8.答案：解：（1）連接AC,BD,EF,設EFnAC=。，連接

OP.

???PCLPE,PCLPF,PEQPF=P,

：.PCJL平面PEF,PC1.EF.

???四邊形ABC。是正方形，4CJ.BD,

???E,F分別是A8,A。的中點,

???EF//BD,

：.EF1AC,又PCnAC=C,

???EF，平面PAC,又PCu平面PAC,

???EF1PC.

（2）由（1）可知EF_L平面PAC,PCl5FjSlPEF.

■:OC—~AC—3^21PC—4,.0.PO-VOC2-PC2=V2,

4

???sinZ-PCA==pcos乙PCA=—,

OC33

***S&PAC=￡x4x4^2x—=—.PA—J16+32-2x4x4^2x~~~=

又OE=^EF=0,

..18>/2/7T16

???^E-PAC=3X-Xv2=Y*

又SAPCE=|X2X4=4,設A到平面PCE的距離為h,

1竺4

得

解

九

4九

=-XX==-

P，

-CE393

直線PA與平面PEC所成角的正弦值為2=巨

PA3

解析：⑴連接AC,BD,EF,通過證明PC1平面尸EF得出PC1EF,根據(jù)中位線定理得出EFJLHC,

故而可得EF_L平面PAC,于是EF_LPC；

(2)根據(jù)/_PAC=匕.PCE計算A到平面PCE的距離，再計算線面角的正弦值;

本題考查了線面垂直的判定與性質，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題.

9.答案：解：(1)證明：連結G。，在正方體4BC。一

41B1GA中,ABJ/CM

在平面QD/Ci中，；E,F,G分別CG，BC,CD的中

點，

AC^Df/GE..-.ABr//GE

(2)證明：設正方體ABCD-4B1C1D1中棱長為1,

以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建

立空間直角坐標系，

則Ai(O,O,l),Bi(l,O,l),D(0,l,0),E(Ll,》，F(xiàn)(iq,0),

G(|,l,0),

=DF=(1,-i,O),DE=(1,0)

???A^G-DE=0>A^G-DF=0,

**?41G.LDFiA^G.LDE,

vDEC\DF=D,ArG_L平面EFD.

(3)解：8(1,0,0),C(l,l,0),

BC=(04>0),BAl=(-1,0,1),DC=(1,0,0),西=(0,—1,1),

設平面8c4的法向量有=(%,y,z),

則g?￡￡=、=°,取彳=1,得元=(i,o,1),

設平面0力1。的法向量沅=(a/，c),

^fm-DC=a=0取b=l,得沅=(0,1,1),

(rn-DAX=-b+c=0

設二面角B-AC-。的平面角為。.由圖知。為鈍角，

二面角B-&C-D的余弦值為一宗

解析：(1)連結G。，推導出4BJ/GD，GD〃GE.由此能證明4BJ/GE

(2)設正方體ABC。-AiBiGDi中棱長為1,以A為原點，A8為x軸，A。為y軸，人必為z軸，建立

空間直角坐標系，利用向量法能證明&G，平面EFD

(3)求出平面BC&的法向量和平面D&C的法向量，利用向量法能求出二面角B-&C-。的余弦值.

本題考查線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關

系等基礎知識，考查空間思維能力，是中檔題.

10.答案：解：(1)證明：平面ACP,APu平面ACP,“醞--------------刁°

???1AP,

M

乂4。工平面4BP,BC//2D,彳7\|

BC_L平面ABP,APu平面ACP,\"\,

BCLAP,「

又BMCBC=B,BMu平面8c尸，BCu平面8cP,

AP1平面BCP.

(2)vM.N分別為PC、AC的中點，

MN//AP,MN=^AP=1,

由(1)知，4P_L平面8CP,

MN_L平面BCP,MN為三棱錐N-BCM的高，

三棱錐C一B/VM的體積為：

V-：棱錐C-BNM=V-：楂卿-BCM=|'S^BCM'MN=^X|X2X2X|X1=|'

解析：(1)推導出BM_L4P,BCLAP,由此能證明4PJ■平面BCP.

(2)推導出MN，平面BCP,MN為三棱錐N-BCM的高，三棱錐C-BNM的體積為匕/律C-B/VM=

V三棱錐N-BCM，由此能求出結果.

本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系

等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

1L答案：(1)證明：???4ElA/i，A^J/AB,^AElABf

XvAAr1AB,AA±C\AE=A,AAB

又???u面AiACCi，AAB1AC,

(2)以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系4-xyz,

則有4(0,0,0),E(O,1,》/C0),4(0,0,l),Bi(l,0,1),

設。(x,y,z),砸=44B；且AG(0,1),

即??z-1)=A(l,0,0),則。(4,0,1),.-.DF=(i-A,p-l),

?1?AE=(0,1,1),DF-=|-i=0,所以DF1AE；

(3)結論：存在一點。，使得平面OE尸與平面48C所成銳二面角的余弦值為答，理由如下:

由題可知面A8C的法向量祠=(0,0,1),設面。EF的法向量為元=(%,y,z),

貝晦嚅U

???麗=(-￡39=(?桔,-1)，

.(-lX+b+lZ=0即「二出？

[(--A)x+-y-z=o|/=罰2

令z=2(l-a),則元=(3,1+2尢2(1—Q).

???平面OE尸與平面ABC所成銳二面角的余弦值為曹,

???加保，元＞1=需V14

14

即|2(1T)|=叵

、79+(l+2A)2+4(l-A)2—玄，

解得；1=;或；1=;(舍),

所以當。為中點時滿足要求.

解析：(1)根據(jù)線面垂直的性質定理證明481面AiACCr即可.

(2)建立空間坐標系，求出直線對應的向量，利用向量垂直的關系進行證明.

(3)求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可.

本題考查的知識點是空間直線的垂直的判斷以及空間二面角的平面角，建立空間坐標系，將二面角

問題轉化為向量夾角問題，是解答的關鍵.考查學生的運算和推理能力.

12.答案：證明：（l）；E,F分別為AB,2C的中點，S盡

???EF//AC,/iVK

又ACu平面SAC,EF<t平面SAC,/I\X.

EF//平面SAC；k

（2）vBC1平面SAC,AHu平面SAC.\\[!"

BC1AH,/

?；S4=AC,點H分別為SC的中點，

??MHISC,

又；BCnSC=C,

■.AH_L平面SBC.

解析：（1）由已知可證EF〃/IC,利用線面平行的判定定理即可證明EF〃平面SAC；

（2）由線面垂直的性質可證BC14”，由等腰三角形的性質可證AH_LSC,利用線面垂直的判定定理

即可證明AH1平面SBC.

本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質和判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，

屬于中檔題.

13.答案：（1）證明：取PA中點M連接QN,BN,

vQ,N是PD,PA的中點，QN〃4D,

且QN="。，

vPA1PD,/.PAD=60°,PA=^AD,

2

：.BC=-AD,

2

:.QN=BC,5LAD//BC,???QN//BC,

??.BCQN為平行四邊形，［BN〃CQ,

又BNu平面PAB,且CQ仁平面PAB,

???CQ〃平面PAB;

(2)解：取A。中點M,連接BM,取AM的中點O,

連接BO,PO,設24=2,

由(1)得PA=AM=PM=2,

???△4PM為等邊三角形，:POLAM,

同理，BO1AM,

???平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

POu平面PAD,PO1平面ABCD,

以O為坐標原點，分別以。8,OD,。尸所在直線為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標系，

則4(0,-1,0),C(V3,2,0),P(0,0,V3).Q(0,|,日)，

前=(低3,0)，而=(0,|,當)，

設平面ACQ的法向量沅=(%y,z),

m-AC=y/3x+3y=0

則｛一一?5V3'

m-AQ=-y+y=0

取丫=_b，得竊=(3,-6,5),

平面24。的法向量針二(1。0),

由圖得二面角P-/Q-。的平面角為鈍角，

???二面角P-AQ-C的余弦值為一雙亙.

37

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

(1)取PA中點N,連接QMBN,推導出BCQN為平行四邊形，仄而BN//CQ,由此能證明CQ〃平

面PAB.

(2)取AO中點M,連接8M,取AM的中點O,連接B。，PO,推導出P。LAM,BO1AM,從而PO1

平面ABCZ),以。為坐標原點，分別以。8,OD,OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角

坐標系，利用向量法求二面角P-4Q-C的余弦值.

14.答案：（1）證明：連接8。，交AC于。則。為BO中點，連接0P,

???P為期的中點，???OP//BD1,

...opu平面PAC,BD、C,平面PAC,BO】//平面PAC；

(2)證明：長方體aBCD-AiBiGDi中，AB=AD=1,底面ABCQ是正方形，則4clBD,

又。。i1面ABCD,ACcffiABCD,則叫1AC.

???BDu平面BOD[，D]Du平面BCQ,BDnDrD=D,

：.AC1面BOD】，vACu平面PAC,

二平面PACJ■平面BOD1；

(3)解：連接PBi，由(2)知，平面P4C_L平面30%,

???4B】PO即為PBi與平面PAC的夾角，

在長方體4BCD中，

vAB=AD=1,AAt=2,

在AOPBi中，COS4B1P0=（丫3尸+（、）2,工）2=0.

2xV3X—

???直線PBi與平面PAC的夾角為最

解析：本題考查線面平行與面面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了線面角的求法，

是中檔題.

（1）連接BD,交AC于O,則。為8。中點，連接OP,可得OP〃BDi，再由線面平行的判定可得BDJ/

平面PAC；

⑵由已知長方體可得力C_L8D,且DD11面ABC。,則DD1_LAC.由線面垂直的判定可得AC1面BDD「

進一步得到平面P4C，平面BDDi；

(3)連接PBi，由(2)知，平面P4C_1_平面8。。1，則48記。即為PS】與平面PAC的夾角，然后求解三

角形得答案.

15.答案：解：(1)：延長AQ,過久作。/14。于H,連接84,

因為平面4p4DDiJ■平面ABCD,平面AiADOin平面4BC0=AD,%Hu平面

所以么“1平面ABCD,即2”為8么在平面ABCZ)內(nèi)的射影，

所以4D1BH為直線BO1與平面A8CO所成的角，

因為Di"=2sin600=V3,DH=2cos60?！?,

BH=>JAB2+AH2=V13.D1B=V3+13=4,

所以sin/OiB"=y,

(2)取AD中點O,

???四棱柱平面SBC。-4道也1。1的各棱長均為2,

Z-A^AD=60°>???A101AD.

又?.?平面4遇0。11平面A8C￡>,平面人4叫n平面4BCD=4D,4。u平面”叫,

Ar01平面ABCD.

故如圖建立空間直角坐標系。-xyz,

則0(0,0,0),4(1,0,0),Di(-2,0,V5),

C(—1,1>0),G(—2,1,V3)(Bi(0,1,V3)>

0),E(—1,1,泉，

設M(x,0,0).則砥=(一％,1,遮)，西=(―3,—1,遮)，麗=(一|,0,日)，

要使得MB「平面BE八則|驊?蔡ROTI=。0，5—+三1+=3(=)0，方程組無解.

在線段4,上不存在一點M,使得MB】平面BED.

解析：本題考查了空間線面角的求解，動點存在性問題，屬于中檔題.

(1)延長AO,過。［作。避1AD于H,連接B”，可得4。道開為直線8歷與平面A8CD所成的角,

(2)取A。中點O,即可證明為。1平面4BCD.故如圖建立空間直角坐標系0-xyz.要使得MB】JL平面

-BD：=0(3x-1+3=0

BED1,則[需"_0，^x+-=0，方程組無解.

即在線段上不存在一點M,使得MB】J_平面BED1

16.答案：解：(1)證明：???點E是441的中點，??.AE=1,

???AD=1,:.在Rt△EAD中，DE=V2,

由題可知EC=V3.DC=1,

則+DE2=EC2t...DE1CD,

???直四棱柱4BC0-4B1GO1中，CD_L平面4皿%,二CD1EDr,

ED=V2>ED1=V2.DD[=2,D1E1ED,

,:DrE1ED,

CDClED=D,DrEJL平面ECD,

,：%Eu平面/EC,.?.平面DiEC1平面CDE.

(2)解：由(1)可知D4、DC、。。1兩兩互相垂直,

以點。為坐標原點，以。A、DC、DDi所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則0式0,0,2),E(l,0，1)，C(0,l,0),當(1,1,2),

~ED[=(-1,0,1),EC=(-1,1--1)>函=(0,1，1)，

設平面[EC的法向量為元=(x,y,z),

n?ED1=—x+z=0人，e[一?八

――>,令x=l,則九=(1,2,1)，

{n-EC="%4-y—z=0

設平面當EC的法向量記=(21，-1),

則|cos(記，元＞|=黯=]

???二面角D1-EC-Bl為銳角，.?.二面角Di—EC—/的大小為品

解析：(1)推導出DE_LCD,CD1EDr,DrE1ED,DrE1ED,從而QE1平面ECQ,由此能證明

平面AEC_L平面CDE.

(2)以點力為坐標原點，以D4、DC、所在直線分別為x,?z軸，建立空間直角坐標系，利用

向量法能求出二面角Di-EC—/的大小.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系

等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

17.答案:解：(I)證明：???AB1平面PAD,：.AB1

DP,

vDP=2V3,AP=2,/.PAD=60°,

由=PA,可得sin/PD力=

s\n/.PADs\nz.PDA2

乙PDA=30°,

???AAPD=90°,DPA.AP,

vABC\AP=A,DP1平面PAB,

DPu平面PC￡),.?.平面P4B1平面PCD；

(n)以A為原點，在平面APO中過A作A。的垂線為x軸，AO為)，軸，A8為z軸,

建立空間直角坐標系，

則力(0,0,0),C(0,4,3),D(0,4，0),P(⑸，0),B(0,0,1),

連結AC,與BD交于點、N,連結用N,

vP4〃平面MBD,MN為平面PAC與平面MBD的交線,

NC

PA//MN,=NA9

在四邊形45co中，???/B//CD,???△A8N?ZkCDN,

NCCDMC..1八八

—=—=o3,—=3o,PnM=-PC,

NAABMP4

???”(23》，

BP=(⑸，一1)，BD=(0,4,-1)＞的“電,一力

設平面MBD的法向量元=(x,y,z)，

n-BD=4y—z=0

則,取y=l,得五=(一更,1,4),

元麗=1岳+2*03

設直線BP與平面MBD所成角為。,

則S譏。=繇=誓

|FP|,|?l|65

???直線BP與平面”8。所成角的正弦值為蜜.

解析：本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關系，考查運算求解能力，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

(I)推導出AB_LDP,DPLAP,從而DPI平面PA8,由此能證明平面R4B_L平面PCD

(口)以A為原點，在平面AP。中過4作A力的垂線為x軸，AO為y軸，AB為z軸，建立空間直角

坐標系，利用向量法能求出直線8尸與平面用8。所成角的正弦值.

18.答案：(I)證明：???底面ABC。為菱形，418c=60,

.?.△ABC是等邊三角形，又E是8c的中點,

AE1BC,AE1AD,

?:PA1平面ABCD,PA1AE,又PAn40=4,

AE_L平面PAD,

???AE1PD.

(D)解：AB//1,

證明如下:

,:AB"CD,AB仁平面ACD,CDu平面ACD,

AB//平面尸8,又ABu平面PAB,平面PABC平面PCD=/,

AAB//1.

(DI)解：以A為原點，以AE,AD,AP為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示:

則4(0,0,0),E(V3,0,0),C(⑸，0),P(0,0,2),.?.喈］,1),

AF=(y.pl)>AE=(V3,o,0),AC=(V3,h0),

設平面AE/7的法向量為記=平面ACT7的法向量為元=(%2，丫2以2)，

貝Ijj沆?竺=0,伊?"=0,即+/1+Z1=0,+5%+Z2=0,

m=

,4E=0m-AC=0、V3%1=0V3x24-y20

令Zi=1可得記=(0,-2,1),