高中數(shù)學(xué)《對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及簡單性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及簡單性質(zhì)

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

UI函數(shù)y=logoX(a>0,且aWl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中％是自變

量，函數(shù)的定義域是(0,+°°).

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

定義3，=loga7(a＞0,且aWl)

函數(shù)⑼3=log/與回3=logLi的圖象關(guān)于1軸

對(duì)稱性---------...........—

對(duì)稱

在彳=1右側(cè)，血a值越在1=1右側(cè)，眼。值

趨勢(shì)-------------

大圖象越靠近彳軸越小圖象越靠近?軸

3]自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(l)y=10g4與y=logC都不是對(duì)數(shù)函數(shù).()

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè).()

⑶當(dāng)0＜a＜l時(shí)，logd在定義域上單調(diào)遞增.()

答案(1)7(2)V(3)X

2.做一做

(1)若函數(shù)＞=(。2—4a+4)logd是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=.

(2)(教材改編P73T2)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/的定義域?yàn)?

(3)(教材改編P72T8)若對(duì)數(shù)函數(shù)產(chǎn)10g(.24)X，X￡(0,+8)是增函

數(shù)，則a的取值范圍為.

答案(1)3(2)(0,+8)(3)(-oo,0)

卜課堂互動(dòng)探究

『釋疑解難』

(1)討論對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，若底數(shù)。的大小不確定，必須分。＞1

和0＜。＜1兩種情況進(jìn)行討論.

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)—1]

(1,0),且圖象都在第一、四象限內(nèi)，據(jù)此可以快速地畫出對(duì)數(shù)

函數(shù)y=\ogax的草圖.

(3)在對(duì)數(shù)函數(shù))，=log“x(Q>0,且aWl)中，①若0<。<1且04<1,

或a>l且％>1,則有y>0;②若0<a<l且%>1,或a>l且0a<1,則

有y<0.以上性質(zhì)可以簡稱為：同區(qū)間為正，異區(qū)間為負(fù).有了這個(gè)規(guī)

律，我們判斷對(duì)數(shù)值的正負(fù)就很簡單了.

(4)要作出由對(duì)數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的圖象，應(yīng)注意變換作圖

法的靈活運(yùn)用，即先作出基本函數(shù)(對(duì)數(shù)函數(shù))圖象，再由平移、對(duì)稱、

旋轉(zhuǎn)、伸縮等變換作出所求函數(shù)圖象即可.

(5)兩個(gè)單調(diào)性相同的對(duì)數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線％=1右

因此，若設(shè)y=log“％,y2=log/優(yōu)，其中或0<<7<1,0</?<1),

當(dāng)%>1時(shí)，“底大圖低"，即若Q〉。，則V勺2；當(dāng)0<X<l時(shí)，“底大

圖高“，即若。>匕，則yi>y2.

探究1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

例1指出下列函數(shù)哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)？

(l)y=31og2%;(2)y=log。；

(3)y=logx3；(4)y=log“+l.

解(l)logM的系數(shù)是3,不是1,不是對(duì)數(shù)函數(shù).

(2)符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對(duì)數(shù)函數(shù).

(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對(duì)數(shù)函數(shù).

(4)對(duì)數(shù)式logu后又加1,不是對(duì)數(shù)函數(shù).

拓展提升

判斷函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的條件

判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y=logd(a>0,且aWl)的

形式，即必須滿足以下條件：

(1)系數(shù)為1.

(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量%.

【跟蹤訓(xùn)練1】若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2),則該對(duì)數(shù)函數(shù)

的解析式為()

A.y=\og2X

B.y=21ogd

C.y=logM或y=21og4X

D.不確定

答案A

解析設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=log/(a>0,且。。1),由題意可

知log(z4=:2,.?tz^2.

.?.該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=logx

例2求下列函數(shù)的定義域：

(i)y=dig(2一%)；

(2)'-log3(3%—2)；

(3)y=log(2x-i)(—4x+8).

解⑴由題意得；Ig;(21%)20,即[。2~x^1,

[2—x>0,[2—x>0.

即y=[lg(2—x)的定義域?yàn)?}.

⑵由丁-2）孫3%—24,

得

〔3%—2>0,3x>2,

2

解得介孕且xWl.

1[2

-'-y=\—不—有的定義域?yàn)椤叮?>々，且

?log3（3%—2）I3

X2

—4尤+8>0,1

-

（3）由題意得<2x—1>0,解得《X2

12%—1到，

.“=log（2x-i）（—4x+8）的定義域?yàn)閉<r<2,且xWl

拓展提升

求函數(shù)的定義域應(yīng)考慮的幾種情況

求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值

范圍.經(jīng)?？紤]的幾種情況：①六中八x）WO;②之礪（〃￡N*）中

J\x）

危）20；③log,於）（。>0,且aWl）中."）〉0；④10扇避3〉0）中危）>0且

八%）》1；⑤四%）]°中;（x）wo；⑥求抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域，需

正確理解函數(shù)的符號(hào)及其定義域的含義.

【跟蹤訓(xùn)練2]求下列函數(shù)的定義域:

⑴y=kg（1-1）；⑵尸加（%—3）；

（3）y=log2（16一甲）；（4）j=log（x-i）（3-x）.

x—1>0,

解（1）要使函數(shù)式有意義，需（/一八

[10g2（X—1）^0,

解得%>1,且xW2.

，函數(shù)產(chǎn)]og2(1_])的定義域是{小>1,且lW2}.

%—3〉U,

(2)要使函數(shù)式有意義，需?,。、?八

Ug(x—3)^0,

x—3>0

即Q>；解得％14.

、X—3與1,

二.所求函數(shù)的定義域是{X以24}.

(3)要使函數(shù)式有意義，需16—4、〉0,解得x<2.

二.所求函數(shù)的定義域是{X|x<2}.

’3—%>0,

(4)要使函數(shù)式有意義，需在T>0,

、%—1W1,

解得14<3,且％02.

二.所求函數(shù)的定義域是且％W2}.

探究2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例3如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y=\ogclx,y=logmy=log<%,

y=log〃x的圖象，貝ija,b,c,d,1,0的大小關(guān)系為.

解析由題圖可知函數(shù)y=log“x,y=log&x的底數(shù)Q>1,b>l,函

數(shù)y=log,x,y=logd的底數(shù)0<c<l,0<tZ<l.

過點(diǎn)(0,1)作平行于x軸的直線/(圖略)，則直線1與四條曲線交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)從左向右依次為c,d,a,h,顯然h>a>l>6/>c>0.

答案b>a>\>d>c>0

拓展提升

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷底數(shù)大小的方法

作直線y=l與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，依

據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大,

可比較底數(shù)的大小.

【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)與y=log“(一%)的圖象

可能是()

答案D

解析所以單調(diào)遞減，y=log“x單調(diào)遞減，而y

=loga(—%)與y=logax關(guān)于y軸對(duì)稱，所以選D.

例4若函數(shù)＞=108”(%+份+4”〉0,且。71)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),

則實(shí)數(shù)4c的值分別為.

解析函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),.?.將(3,2)代入y=log，G+b)

+c,得2=loga(3+b)+c.又當(dāng)。＞0,且存1時(shí),logj=0恒成立，

=2,由log“(3+3=0,得3+Z?=l,.?北=一2.故填一2,2.

答案一2,2

拓展提升

畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)要注意的問題

(1)明確對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的分布區(qū)域.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在第一、四象

限.當(dāng)％趨近于。時(shí)，函數(shù)圖象會(huì)越來越靠近y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與y

軸相交.

(2)建立分類討論的思想.在畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象之前要先判斷對(duì)數(shù)

的底數(shù)。的取值范圍是。>1,還是

(3)牢記特殊點(diǎn).對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,且aWl)的圖象經(jīng)過點(diǎn)：

(1,0),(al)和&-1)

【跟蹤訓(xùn)練4]函數(shù)y=loga(x+l)—2(“>0,且qWl)的圖象恒

過點(diǎn)?

答案(0,-2)

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=logd(”>0,且的圖象恒過點(diǎn)(1,0),則令

x+l=l,得X=0,此時(shí)y=loga(%+l)—2=—2,所以函數(shù)y=loga(x

+1)—23>0,且“W1)的圖象恒過點(diǎn)(0,-2).

探究3有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題

例5求下列函數(shù)的值域：

(1)^=10§2(^+4)；(2)y=logj_(3+2%—x2).

2

解(l)y=log2(%2+4)的定義域是R.

因?yàn)閒+424,所以log?(A：2+4)logz4=2.

所以y=log2a2+4)的值域?yàn)閇2,+co).

(2)設(shè)“=3+2%—/=一(%—I>+4W4.

因?yàn)椤?gt;0,所以0<〃W4.

又y=logj_u在(0,4J上為減函數(shù)，

2

所以logx〃21ogj_4=—2,

22

所以y=logj_(3+2x—%?)的值域?yàn)閇―2,+oo).

2

拓展提升

(1)求對(duì)數(shù)函數(shù)或與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值)，關(guān)鍵

是根據(jù)單調(diào)性求解，若需換元，需考慮新元的取值范圍.

(2)對(duì)于形如y=log/>)(a>0,且的復(fù)合函數(shù)，其值域的求

解步驟如下：

①分解成y=loga〃，兩個(gè)函數(shù)；

②求加)的定義域；

③求〃的取值范圍；

④利用y=loga〃的單調(diào)性求解.

【跟蹤訓(xùn)練5]函數(shù)y=lg(l+32—%2)的值域?yàn)?)

A.(一8,1)B.(0,1]

C.[0,+°°)D.(1,+8)

答案B

解析V2-x2^2,.\0<32-x2^9,1<1+32-%2^10,/.0<lg

(l+32—x2)Wl,，y=lg(l+32-%2)的值域?yàn)椤?].

(-----------------------1網(wǎng)套提加---------------------------

1.對(duì)數(shù)函數(shù)定義的理解

(1)同指數(shù)函數(shù)一樣，對(duì)數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，如>=

2k)gK,y=log"等都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有y=logd(Q〉0,且QNI)

才是.

(2)由于指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,且的定義域是R,值域?yàn)?/p>

(0,+8),再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化過程知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=

logaX(?>0,且aWl)的定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)?一8,4-00).

2.函數(shù)y=logd(q>0,且aWl)的底數(shù)變化對(duì)圖象位置的影響

(1)觀察圖象，注意變化規(guī)律

①上下比較：在直線％=1的右側(cè)，。>1時(shí)，。越大，圖象向右

越靠近％軸，0<〃<1時(shí)，。越小，圖象向右越靠近光軸.

②左右比較：比較圖象與y=l的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)

應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.

(2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的助記口訣

對(duì)數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù).底數(shù)只能大于0,等于1

來也不行.底數(shù)若是大于1,圖象逐漸往上升；底數(shù)0到1之間，

圖象逐漸往下降.無論函數(shù)增和減，圖象都過(1,0)點(diǎn).

卜隨堂達(dá)村;自測(cè)

1.下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.y=loga(2%)B.y=log22*

C.y=l0gM+1D.y=lgx

答案D

解析選項(xiàng)A,B,C中的函數(shù)都不具有"y=log“x(a>0,且aWl)”

的形式，只有D選項(xiàng)符合.

2.函數(shù)y=k)gd的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)。的可能取值是()

11

C.e~D.J2

答案A

解析...函數(shù)y=log。％的圖象逐漸上升，

，函數(shù)y=log?x為單調(diào)增函數(shù)，，a>l,故選A.

3.函數(shù)?%)=E+lg(l+x)的定義域是()

A.(—8,—1)

B.(1,+8)

C.(-1,1)U(1,+°o)

D.(—8,+OO)

答案C

1+x>0,

解析由題意知?jc解得%>—1,且xWl.

」一

4.函數(shù)1%)=-5108〃(%—1)+2(4>0,且。/1)的圖象恒過定點(diǎn)P,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

答案(2,2)

解析令x—1=1,得％=2,即x2)=2,故尸(2,2).

5.若函數(shù)段)為定義在R上的奇函數(shù)，且尤￡(0,+8)時(shí)，於)

=lgU+l),求1%)的表達(dá)式，并畫出大致圖象.

解?.?/(%)為R上的奇函數(shù)，.；/(0)=0.又當(dāng)x￡(—8,0)時(shí)，一

xG(0,+0°),

.,,X—X)=lg(1—x).

又大一%)=—/(%),

的解析式為

pg(x+1),%〉0,

危)=<0,%=0,

、一lg(l—%),x<0,

八X)的大致圖象如圖所示.

I課后課時(shí)精匆]

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.若人》=錯(cuò)誤!，則/(X)的定義域?yàn)?)

A(V，0)+8

C.(一/o]u(o,+8)D.(一；,2)

答案C

解析由題可得錯(cuò)誤!解得%>一錯(cuò)誤!且xWO,故選C.

3PW0),「"Yl

2.已知函數(shù)yu)=I/、。、那么j/g的值為()

[logzx(jc>0),LW」

A.27B.^yC.—27D.—

答案B

解析d3=l°g2〃=log22-3=_3,=八_3)=3-3=a.

3.函數(shù)_A%)=log2(l—%)的圖象為()

答案A

解析該函數(shù)為單調(diào)遞減的復(fù)合函數(shù)，且過定點(diǎn)(0,0),故A正

確.

4.函數(shù)曠=能與y=—logox(a>0,且在同一坐標(biāo)系中的圖

象可能是()

匚【JhX

ABCD

答案A

og1％,貝U當(dāng)a>\時(shí)，0<^<1；

解析函數(shù)y=ax與y=—log“%=l

當(dāng)0<Q<1時(shí)，:>1,所以圖象A正確.

5.函數(shù)曠=呼的圖象大致是()

C

答案D

解析由函數(shù)丫=呼的定義域是支|%70},易得函數(shù)為奇函數(shù),

所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除A,B,當(dāng)x=l時(shí)，y=lg1=0,

故圖象與％軸相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),只有D中圖象符合.

二、填空題

6.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[1,3],則y=/(logix)的定義域是

2

11

答案_8,2.

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=/(%)的定義域是[1,3],則對(duì)于函數(shù)y=Xlog|

2

x),有l(wèi)Wlogj_%W3,所以;

7.函數(shù)兀t)=logj_(―/—2%+3)的值域是

2

答案［—2,+°°)

解析設(shè)"=—好一2%+3,則—(x+1>+4W4,

w>0,0<M^4.

又y=k)gj_u在(0,4］上是減函數(shù)，

2

「.log】w^logx4=-2,即?x)2—2,

22

二.函數(shù)/(x)=k)gj