2021-2022學年上海市閔行區(qū)文來中學九年級上學期期中考數(shù)學試卷（含詳解）

2021-2022學年上海市閔行區(qū)文來中學

九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

I.在中，ZC=90°,ZB=a,AC=m,那么邊AB的長為（）

A.----B.rn-cosaC.m-sinaD.mcota

sina

2.在《ABC中，點0、E分別在邊AB、AC上，ED//BC,如果5^^=S四邊形KED，那么下列結論

中，正確的是（）

A.DE:BC=1:2B.DE:BC=T:垃

C.DE:BC=1:3D.DE:BC=1:4

3.如圖，在二ABC中，。、E分別在邊A3、AC上，DE//BC,EFUCD^AB^F,那么下列比例式

中正確的是（）

EFDEAFAD

C--------D.--------

CDBCBDAB

①卜a卜攵卜|

IIIII

②%為單位向量,則。=忡%

③平面內向量a、c，總存在實數(shù)加使得向量°=〃/

④若4=萬+〃，乃〃4,萬〃a2，則乃、〃就是a在q、%方向上的分向量

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.已知點E、尸分別在的A3、AC邊上，則下列判斷正確的是（）

A.若.AEF與,ABC相似，則EF//BC

B.若=A尸則，A￡尸與cABC相似

APEF

C.若丁=1,則AE尸與相似

ABBC

D.若AF?BE=AE?FC,則「AE廠與一ABC相似

6.如圖，。、E、廠內分正,ABC的三邊AB、BC、AC均為1:2兩部分，A。、BE、CF相交成的

的面積是ABC的面積的（）

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.已知2x=3y,則（x+y）:y的值為.

8.如圖，已知在梯形A8CO中，AD//MN//BC,MN分別交邊A3、OC于點〃、N,如果

AM:MB^2:3,AD=2,BC=7,那么MN的長.

9.在乙ABC中，若交8C于。，BE交AC于E,CF交物于F,AD>BE、。尸相交于一點,

BDCE

=3則

~EAFBDC

10.如圖，乙ABC三邊的中點分別為O,E,F.聯(lián)結CO交AE于點G,交EF于點、H,則

DG:GH:CH=.

11.已知0°<，<90°,且sin8+cos6=m,則tan（9+cote=.

12.已知點P是線段A3上的一點，且Ap2=A8-F>8，如果AB=2，那么AP=___.

13.如圖，在邊長為10正方形ABC。中，內接有六個大小相同的正方形，點P,Q,M,N是落在大正方

形邊上的小正方形的頂點，則每個小正方形的面積為.

DM

APB

14.定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全

等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線8。是它的相似對角

16.如圖，在一ABC中，AB=2,AC=3,點。為邊AC上一點，點P是線段8。中點，如果

ZABD=ZACP,那么A。的長是.

17.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=4,點尸在邊6C上，聯(lián)結AP,將△A8P

繞著點A旋轉，使得點P與邊AC的中點M重合，點3的對應點是點8'，聯(lián)結8B'，則tanNA66'=

3

18.在梯形ABC。中，ABDC,ZB=90°,BC=6,CD=2,tanA=-.點￡為8c上一點，過

4

點E作瓦'〃AO交邊AB于點F.將一班廠沿直線所翻折得到△GE/L當EG過點。時，BE的長

為.

三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)

19計算：V6cot600-11-2cos45°|+4sin230°-----5——.

11tan600-2

20.如圖，E是平行四邊形A8CO的邊BA延長線上的一點，CE交AQ于點尸，交BD于點、G,AE；AB=

I：3,設84=。，BC=b-

(1)用向量4、8分別表示下列向量：

UUU

AE=，EC=，EG=

(2)在圖中求作向量8G分別在a、b方向上分向量.(不寫作法，但要寫出畫圖結果)

21.已知：如圖在中，AO是邊上的高，E為邊AC的中點，3c=14,4)=12,

4

sinB=-.求：

5

(1)線段的長；

(2)tanZEDC的值.

22.已知：如圖，在RtZXABC中，NB4C=90。，。是線段A3上的點，DELBC,垂足為點E,聯(lián)結

CD、AE交于點G,且

F

D

B

E

(1)求證：點。在NACB的角平分線上.

(2)延長84與NACB外角的平分線交于點尸，求證：—+—=^.

ADAFAC

23.已知：如圖，AD//BC，ZABD=ZC,AE±BD，DFLBC,點、E、尸分別為垂足.

(1)求證：BDCD=ABBC；

(2)聯(lián)結所，如果=求證：DFDC=EFBC.

24.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=+7nx+〃經(jīng)過點B(6,1),C(5,0),且與)，軸交于

點A.

(1)求拋物線的表達式及點A的坐標；

(2)點尸是y軸右側拋物線上的一點，過點尸作尸。，。4,交線段OA的延長線于點Q,如果/%B=

45°.求證：4s△4C&

(3)若點F是線段AB(不包含端點)上的一點，且點F關于AC的對稱點F'恰好在上述拋物線上，求

FF'的長.

25.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,BC=18,DB=DC=15,點E、尸分別在線段6。、

CO上，DE=DF=5.AE的延長線交邊BC于點G,AE交5。于點N、其延長線交8c的延長線

于點H.

(1)求證：BG=CH；

(2)設A。=x,AAD/V面積為y,求y關于X的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;

(3)聯(lián)結尸G,當一〃FG與相似時，求AO的長.

2021-2022學年上海市閔行區(qū)文來中學

九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

I.在中，ZC=90°,ZB=a,AC=m,那么邊AB的長為（）

A.------B.rn-cosaC.m?sinaD.mcota

sina

【1題答案】

【答案】A

sr

【分析】先畫好直角三角形，再利用sina=——，從而可得答案.

AB

【詳解】解：如圖，ZC=90°,NB=a,AC^m,

.AC

sina=---

AB

sina

故選A

【點睛】本題考查的是利用銳角三角函數(shù)求解三角形的邊長，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵

2.在cABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，ED//BC，如果=S四邊形叱如，那么下列結論

中，正確的是（）

A.DE.BC=\:2B.DE:BC=1：6

C.DE:BC=1:3D.DE:BC=1:4

【2題答案】

【答案】B

【分析】先證明，ADEs-ABC,可得上巫=（匹］，結合S0°￡=S四邊形BCED，可得（匹］=！，從而

sABCVBC）［BC）2

可得答案.

【詳解】解：如圖，ED//BC,

.-ADEs.ABC,

.(DE>\-1DE1

■\5cJ-于麗一萬

故選B

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”是解題的關

鍵.

3.如圖，在：ABC中，D、E分別在邊43、AC上,DE//BC,EFIICD交ABTF,那么下列比例式

中正確的是（）

AFDEDFAFEFDEAFAD

A.--------------

DFBC~DB~^F^D~~BC

【3題答案】

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質找準線段的對應關系，對各選項分析判斷.

.AFAEAEDEAFDE

【詳解】A、：EF〃CD,DE〃BC,YCEWAC,?____土____故_本選項錯

'~DF~~ECAC-^C"DFBC

誤;

AEAE_ADADDFAF

B、VEF//CD,DE〃BC,??-----??----?.,ADWDF,J------0故

DF~EC,ECBD，DF~BD,DB~DF,

本選項錯誤；

DEAEEFAEEFDE

C、VEF/7CD,DE〃BC,；?---=---=故本選項止確；

BCACCDACCDBC

ADAEAFAF,AFADAFAD

D、VEFZ/CD,DE//BC,---=---=?「ADWDF,—w故

ABACADACADABBDAB

本選項錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的運用及平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的新三角形

與原三角形相似的定理的運用，在解答時尋找對應線段是關健.

4.下列正確的有（）

①上耳=4

②為單位向量，則）=性為

③平面內向量a、c，總存在實數(shù)加使得向量c=

④若。=乃+”，乃〃6,7T//a2,則萬、〃就是a在q、%方向上的分向量

A.0個B.1個C.2個D.3個

【4題答案】

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的有關知識，對選項逐個判斷即可.

【詳解】解：①卜《=網(wǎng)何，錯誤

②/為單位向量，則。=件/或。=一忖4，錯誤，

③平面內向量a、c，總存在實數(shù)俄使得向量c=根〃，只有a、c共線時才成立，說法錯誤,

④加、“也可能是［在。］、的反方向上的分向量，說法錯誤

故選A

【點睛】此題考查了平面向量的基本知識，解題的關鍵是熟練掌握平面向量的基本知識.

5.已知點￡、F分別在「ABC的A3、AC邊上，則下列判斷正確的是（）

A.若&AE/與二ABC相似，則E尸〃BC

B.若貝與'45c相似

AJ7EF

C.若一=—,貝UAEF與_ABC相似

ABBC

D.若AF-6￡=AE?bC,則，A￡F與cABC相似

【5題答案】

【答案】D

【分析】若二AEF^.ACB,則NAEF=ZC,則EF與BC不一定平行，從而可判斷A,再逐一把BCD選

項中不是比例式的化為比例式，結合公共角要作為夾角，逐一判斷即可.

【詳解】解：如圖，若cAEEs-ABC,則NAEF=NB,則E/7/5C,

若右AEEs_AC比則NAEF=NC,則所與8。不一定平行，故A不符合題意;

APA17

若AEBE=AFFC,則一=——，不能推出AM與一A5C相似，故B不符合題意;

FCBE

AfFF

若一=——，而夾角不一定相等，推不出.A￡/與_ABC相似，故C不符合題意;

ABBC

RFAPAp

若AFBE=AEFC,則~=迫，則空=上，而44=NA,

AFAEABAC

所以AE尸與一ABC相似，故D符合題意；

故選D

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質與判定，掌握“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”

是解題的關鍵.

6.如圖，D、E、/內分正，ABC的三邊A3、BC、AC均為1:2兩部分，AD>BE、CF相交成的

夕”的面積是一ABC的面積的（）

A

【6題答案】

【答案】D

【分析】如圖，過。作OH〃AC,交BE于H,設等邊三角形ABC的邊長為：3a,結合題意可得:

PD1

BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a證明_BDHS&BCEQPDHSJPAE,證明---=—,

AP6

EQFR1,

-z^=—=7，設等邊三角形ABC的面積為：3m,可得

BQ/vCo

3/w1「，一

=

SPQR-S.CBF~S.up/)—S四邊形SPRF—S四邊形p0co-~SA[jC,從而可符合案?

【詳解】解：如圖，過。作。"http://AC,交BE于H,

設等邊三角形A8C的邊長為：3a,

結合題意可得：BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a

DH//AC,

：.BDHs.BCE,PDHs.PAE,

BDDHDHPD

-----=---------------=------

BC~CE'AE~AP

a

aPD__1

：.DH

~3，^\P~2a~6,

EQFR\

同理:1BQ~~RC~6,

設等邊三角形ABC的面積為：3m,

,,SBCF=2加,SBCE=m,

S.AFR-qS.ACF_qm,SABP

S四邊形BPRF=SABp-S.AFR='6=S四邊形CDP°>

一SPQR=S.CBF-SBPD—S四邊形BPRF~S四邊形==~SABC,

???-尸QR的面積是ABC的面積的I

7

故選D

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形的面積問題，掌握“作出適

當?shù)妮o助線構建相似三角形”是解題的關鍵.

二、填空題：(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

7.已知2x=3y,則(x+y):y的值為—

【7題答案】

【答案】-

2

3

【分析】由2x=3y,可得x=5%再代入(x+y)：y進行計算即可.

【詳解】解：2x=3y,

3

x=2y,

...(x+y):y=(|y+),卜=尋卜=1.

5

故答案

2

【點睛】本題考查的是比例的基本性質，熟悉比例的基本性質是解題的關鍵.

8.如圖，己知在梯形ABCD中，AD//MN//BC,MN分別交邊AB、于點/、N,如果

AM:MB=2:3,AD=2，BC=7,那么MN的長.

【答案】4

【分析】過點A作A/〃。C,交MN于E,交BC于F,證明四邊形AEN。，四邊形AECD都是平行四邊

形，求解3f=5,證明AMEsABF,利用相似三角形的性質求解ME=2,從而可得答案.

【詳解】解：過點A作AfV/OC,交.MN于E,交8C于￡

AF//DC,AD//MN//BC

：.四邊形AEN。，四邊形4尸8都是平行四邊形,

:.AD=EN=FC=2,而BC=7,

:.BF=5,

ME//BF,

:.二AMES_ABF,

,MEAM

一而一而‘

：.AM:AB=2:5,

ME_2

~5~~5,

：.ME=2,

:.MN=ME+EN=4.

故答案為：4

【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，作出合適的輔助線構建相似

三角形是解題的關鍵.

9.在二ABC中，若交于。，BE交AC于E，CF交84于尸，AD>BE、CF相交于一點,

BD△CE\AF

----=2,=3,貝nIl=

EAFBDC

【9題答案】

【答案】|

6

BDSA3。42=蕓=￥，再結合比例

【分析】如圖，先利用三角形的面積關系可得標

q

°ACD、、CPD、BPDFD□pDC

器=4=泮=泮,同理可得：

的基本性質證明丁比=1也2，可得

〉APC〉PDC°ACDUCPD°APC

1=工3北=￡也可得處.絲.絲=9^絲.口=1從而可得結論

EASAPHFBSBPCDCEAFBSAPCSAPBSBPC人而丁得川匕.

【詳解】解：如圖,

BD_SABQ_SBPDSA8P__$ABC

DC9-qqPDs

口LuACD°CPD°BPD'"°PDC

u八8P_uBPD

s-s

uAPCuPDC

?BD_SABD__°BPD_?ABP

DCS-s

ACDsuCPD°APC，

CE_SBPCA*_SAPC

同理可得：—"

EASmJFBSRpJ

.BDCEAF_SwSBPCSw_1

一??一1,

"~DC'~EA~FBqqq

°APCUAPB°BPC

BDcCE.

------=2，=3

EAFB

c°Ab

2x3x=

DC

*_A_F___1

"DC~6'

故答案為：—

6

【點睛】本題考查的是三角形的面積關系，比例的基本性質，掌握比例的基本性質進行比例的變形是解題

的關鍵.

10.如圖，ABC三邊的中點分別為。，E,F.聯(lián)結CD交AE于點G,交EF于點H,則

DG:GH:CH=.

【10題答案】

【答案】2：1：3

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到E/〃=證明△CHES^CDB,根據(jù)相似三角形的性質

2

得到C”=?！?，證明△EGHS^AG。，根據(jù)相似三角形的性質解答即可.

【詳解】解：F分別為c&CA的中點，

...EF是aABC的中位線，

/.EF//AB,EF=-AB,

2

.?.△CHEs^CDB,

.CHCEEHI

"布一而一訪一5'

，CH=DH,

\'AD=DB,

.HE1

??一~~~~，

AD2

??,EF//AB,

:.△EGHsMAGD,

.HGEHI

"DG-AD-2)

：.DGtGH-CH=2：1：3,

故答案為：2：1：3.

【點睛】本題考查的是三角形的中位線的性質、相似三角形的判定和性質，靈活運用定理、找準對應關系

是解題的關鍵.

11.已知0°＜。＜90°，且sin8+cose=m,則tan6+cot6=.

[11題答案】

【答案】一―

m-1

2[

【分析】根據(jù)題意利用同角的三角函數(shù)的基本關系，可得到sine-cos6=2」,再由

2

八八Si。。COS。1ar.-r_U.A7,

tan6+cot夕=-----+-----=-----------,即可求解.

cos0sin0sin。?cos0

【詳解】解：：sin8+cosg=〃2,

(sinS+cos。)-=m2,即sin2^+cos2<9+2sin0-cos^=m2，

sin28+cos20-\,

?'l+2sine?cose=>，

2[

sin0cos6=------

2

八八sin。cos。112

tan6+cot6=------+------=--------------=-、——

cos。sin。sin/cos。mm2-1.

2

故答案為：一2---

m~-1

【點睛】本題主要考查了同角的三角函數(shù)的基本關系的應用，熟練掌握同角的三角函數(shù)的基本關系是解題

的關鍵.

12.已知點P是線段AB上的一點，且AP2=AB-PB，如果A3=2，那么AP=.

【12題答案】

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】設AP=x,則PB=2-x,再利用AT?=ABPB，建立方程，解方程并檢驗即可得到答案.

【詳解】解：設AP=x，點P是線段A3上的一點，A3=2，

:.PB=2-x,

AP2=ABPB'

.,.x2=2(2-x),

整理得：X2+2X-4=0,

；q=4-4xlx(-4)=20X),

：.x=-2土2下=7土區(qū)

2

x>0,

AP=x=V5—1.

故答案為：V5-1

【點睛】本題考查的是成比例的線段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解題

的關鍵.

13.如圖，在邊長為10的正方形ABC。中，內接有六個大小相同的正方形，點P,Q,M,N是落在大正

方形邊上的小正方形的頂點，則每個小正方形的面積為.

【13題答案】

__,?136

【答案】—.

25

【分析】根據(jù)相似三角形判定與性質與正方形的性質找出相似三角形并根據(jù)相似比求解即可.

【詳解】解：過。作于E,如下圖所示,

在和△NEQ中，NMDN=NNEQ=90°,ZDMN^ZENQ,

：./\MDN^/\NEQ,

.DMDNMN1

''~NE~~EQ~~NQ~3'

1

；.DN=-xl0=2,

5

在△M￡W和△PBQ中，

ZDMN=NBPQ

<MN=PQ,

NDNl=ZBQP

：./\MDN^/\PBQ(ASA),

：.DM=BP,DN=BQ=2,

：.NE=AD-DN-EA=AD-DN-BQ=10-2-2=6,

1,6

.?.DM=-x6=-

55

每個小正方形面積為DM2+DN2=(-)2+22=—,

525

136

故答案為:

25

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質和正方形的性質，解題的關鍵是

找出相似三角形并根據(jù)相似比求出小正方形的面積.

14.定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全

等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線8。是它的相似對角

線，NABC=70。，8。平分/A8C,那么度

【14題答案】

【答案】145

【分析】先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在4ABD和ADBC中，已知NABD=NCBD,所以需

另一組對應角相等，若/A=/C,則4ABD與ADBC全等不符合題意，所以必定有NA=/BDC,再根據(jù)四

邊形的內角和為360°列式求解.

【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，已知NABD=NCBD,

△ABD與ADBC相似，但不全等，

/A=NBDC,ZADB=ZC.

XZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,

2ZADB+2ZBDC+ZABC=360°,

AZADB+ZBDC=145°,

即/ADC=145°.

【點睛】對于新定義問題，讀懂題意是關鍵.

15.如圖，的頂點都在邊長為1的方格紙上，則sin/AC8的值為

【15題答案】

【答案】叵

10

【分析】利用網(wǎng)格構造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，再利用正弦函數(shù)的定義直

接求解即可.

【詳解】解：如圖：連接格點GP交BC與H,由正方形對角線互相垂直平分可知：ZGHC=90°,

GC=df+*=5GH=-GP=--Jl2+l2=—

222

所以GH2廂,

sinZACB=~GC~lf5~~W

故答案為：叵.

10

【點睛】本題考查了求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是根據(jù)圖形構造直角三角形并利用勾股

定理求得GC、GH邊的長，難度不大.

16.如圖，在二ABC中，AB=2,AC=3,點。為邊AC上一點，點P是線段的中點，如果

ZABD^ZACP,那么的長是.

36題答案】

【答案】3+也

【分析】作AO的中點E，連接PE,則尸E=1等量代換得N￡PD=NACP,

2

PEED

又因為NPEZ）是公共角，所以』ED?CEP,即二之二￡上，進行計算即可得.

【詳解】解：作4。的中點E,連接PE,

是BO的中點，

APE=-AB=l,PE//AB,

2

/.ZABD=ZEPD,

?；ZABD=ZACP,

：.ZEPD=ZACP,

,/NPE。是公共角，

:.PED；CEP,

.PEED

''~CE~~EP'

1\AD

3--AD1

2

3I

-AD--AD2=\

24

AD2-6AD-4=0,

解得：A￡)=3-石或AO=3+6

"：AC=3,3+有>3

AD=3-y/5,

故答案為：3+75.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點.

17.如圖，在中，ZABC=90°,AB=2,BC=4,點P在邊8C上，聯(lián)結AP,將/XABP

繞著點A旋轉，使得點P與邊AC的中點M重合，點B的對應點是點B'，聯(lián)結88'，則tanNAaB'=

A

【17題答案】

【答案】3

【分析】如圖，延長AB'交BC于E,過3'作B'O_LA6于。求解AC=2j?,AM=瓜由旋轉的性

質可得：AP=AM=V5,ZPAB=ZCAE,AB=AB'=2,求解PB=>jAP2-AB2=1,證明

53

_ABPs一CBA,證明CE=AE,結合人爐=4斤+^爐，求解CE=A￡=巳,BE=~,證明

22

^AB'D^.AEB,再利用相似三角形的性質求解AO=|,B'D=g,BD.從而可得答案.

【詳解】解：如圖，延長A3'交6c于瓦過8'作于。，

A

C

ZABC=90°,AB=2,BC=4,

AC=yjAB2+BC2=2區(qū)

〃是AC的中點，

AM=V5,

由旋轉的性質可得：AP=AM=區(qū)NPAB=ZCAE,AB=AB'=2,

:.PB7Ap2-AB。=1,

—=2=—,ZABP=NABC=90°,

PBAB

:…ABPs.CBA,

：.NPAB=ZC,

ZC=NCAE,

：.CE=AE,

-AE2=AB2+BE2,

：.CE2=4+(4-CE)2,

:.CE=AE=-,

2

2

B'D1AB,ZABC=9O°,

B'DUBC,

AB'ADB'D

2ADB'D

22

AD=-,B'D^~,

55

BD=~,

5

6

tan^ABB'=——=2=3.

BD2

5

故答案為：3

【點睛】本題考查的是旋轉的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，作出適當?shù)妮o助線構建

相似三角形是解題的關鍵.

3

18.在梯形ABC。中，ABDC,ZB=90°,BC=6,CD=2,tanA=—.點￡為BC上一點，過

4

點E作EF〃AD交邊AB于點F.將，BEF沿直線EF翻折得到AGEF,當EG過點。時，BE的長

為.

【18題答案】

【答案】—

12

【分析】根據(jù)平行線的性質得到NA=NEFB,/GFE=NAMF,根據(jù)軸對稱的性質得到/GFE=NBFE,

求得NA=/AMF,得到AF=FM,作DQ_LAB于點Q,求得/AQD=/DQB=90°,根據(jù)矩形的性質得

到CD=QB=2,QD=CB=6,求得AQ=10-2=8,根據(jù)勾股定理得到AD=J64+36=10,設EB=3x,

求得FB=4x,CE=6-3x,求得AF=MF=10-4x,GM=8x-10,根據(jù)相似三角形的性質得到GD=6x-"，

2

求得DE="-3x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論.

2

【詳解】如圖，［EF〃AD,

AZA=ZEFB,NGFE=NAMF,

???AGFE與ABFE關于EF對稱，

AAGFE^ABFE,

，NGFE=NBFE,

AZA=ZAMF,

???△AMF是等腰三角形，

???AF=FM,

作DQJ_AB于點Q,

???NAQD=NDQB=90。.

?.?AB〃DC,

.?.ZCDQ=90°.

VZB=90°,

???四邊形CDQB是矩形，

???CD=QB=2,QD=CB=6,

/.AQ=10-2=8,

在Rt^ADQ中，由勾股定理得

AD—J64+36=10，

3

VtanA=—,

4

BE3

/.tanZEFB=-----二一,

BF4

設EB=3x,

???FB=4x,CE=6-3x,

???AF=MF=10—4x,

/.GM=8x-10,

,.,NG=NB=NDQA=90°,NGMD=NA,

AADGM^ADQA,

DGGM

：'~DQ=^Q'

15

，GD=6x——，

2

15

，DE=——3x,

2

在RtZXCED中，由勾股定理得

(--3x)2-(6-3x)2=4,

2

解得：3x=—,

12

AV

.?.當EG過點D時BE=——.

12

故答案為：—

12

QB

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定及性質的運用，矩形的性質的運用，勾

股定理的性質的運用，軸對稱的性質的運用，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

2]

19.計算:V6cot60°-|l-2cos45°|+4sin30°-

tan600-2

39題答案】

【答案】4+6

【分析】先分別求解特殊角的三角函數(shù)值，再進行二次根式的乘法運算，化簡絕對值，計算乘方，分母有理

化，再合并即可.

]

【詳解】解:V6cot600-|l-2cos45。|+4sin230。-

tan600-2

>2?等1

=+1->/2+1+2

=4+

【點睛】本題考查的是特殊角的銳角三角函數(shù)值的混合運算，化簡絕對值，分母有理化，掌握

“30?0,45?的三角函數(shù)值”是解題的關鍵.

20.如圖，E是平行四邊形A8CO的邊加延長線上的一點，CE交AO于點F,交BD于點G,AE：

1：3，設區(qū)4=a，BC=b-

（1）用向量匕分別表示下列向量：

UUU

AE=，EC=，EG=

（2）在圖中求作向量BG分別在a、b方向上的分向量.（不寫作法，但要寫出畫圖結果）

【20題答案】

14416,

【答案】（1）—a，b—Q，~b~-a?（2）見解析

33721

i._,4

【分析】(1)根據(jù)即可求出AE，根據(jù)EC=￡B+BC即可求出EC，先證明EG=,EC,即可

UUU1

求出EG；

(2)如圖，過點G作GM〃AB,GN//BC,根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案.

【詳解】解：(1)：84=a，AE=；BA,

I

??AE=-a，

4

?；EC=EB+BC，EB=--a^BC=b，

.4.

??EC=b-§。，

,:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：CD=4：3,

：.EG：EC=4：7,

uuui416

?#-EG=-b■-a，

,,八4工14416

故答3V案為：-a，b'—a—h~a；

(2)如圖，過點G作GM〃A8交8c于M,GN〃8C交A8于N,則向量BN、5M是向量5G分別在

a，。方向上的分向量.

【點睛】本題考查/平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理、向量的線性運算和平行四邊形法則等

知識，熟練掌握上述知識是解題的關鍵.

21.已知：如圖在ABC中，A￡>是邊8C上的高，￡為邊AC的中點，BC=14,AD=12,

4

sin5=—.求：

5

(1)線段QC的長；

(2)tanZEDC的值.

[21題答案】

【答案】(1)5:(2)y

4

【分析】(1)利用直角三角形中sin8=w求解AB,再利用勾股定理求解6。，從而可得答案；

(2)先利用直角三角形斜邊上的中線的性質證明￡D=E4=EC,可得NEDC=NECD,再求解

tan?￡Z)Ctan?ECO"=乜，從而可得答案.

CD5

4

【詳解】解：(1)AD是邊8c上的高，AD=12?sinB=—,

412

?..ZAT>B=ZADC=90°,sinB=-=——,

5AB

\AB=15,=\/152-122=9,

Q8C=14,

\CD=BC-30=14-9=5.

(2)E為邊AC的中點，ZADC=90°

\ED=EA=EC,

：.NEDC=NECD,

\tan?EDCtan?ECD.

CD5

【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的應用，勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，等腰三角形的性質，掌握“等角的三角函數(shù)值相等”是解題的關鍵.

22.已知：如圖，在Rt/XABC中，ABAC=90°，。是線段AB上的點，DELBC,垂足為點E,聯(lián)結

CD、AE交于點G,且C￡>_LAE.

（1）求證：點。在NAC8的角平分線上.

（2）延長84與NAC8外角的平分線交于點尸，求證：絲+絲=2些.

ADAFAC

【22題答案】

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】（1）如圖，取CD的中點。，連接AQ,EQ,可得AQ=LCO=EQ,證明A,O,E,C在以。為圓

2

心，為半徑的同一個圓上，再利用垂徑定理可得結論；

（2）如圖，延長BC至”，由（1）得：44。。=/七。,而。尸是乙4由的平分線，證明。CLCE

ARRFARRF

證明AE〃CF,可得——=——,AC=CE.AD=DE,可得——=—，再分別證明左邊，右邊都為

AFCEAFAC

1BE

1+--+—,從而可得結論.

sinBAC

【詳解】證明：（1）如圖，取CO的中點Q,連接AQ,EQ,

ABAC=90°，CD1AE.

AQ=^CD=EQ,

AA,D,E,C在以。為圓心，QA為半徑的同一個圓上，

:.AD=DE,

,.ZACD=ZECD,

二點。在NACB角平分線上.

(2)如圖，延長至4，

由(1)得：NACD=NECD,而。尸是NAC”的平分線,

DC1CF,而C￡>_LAE,

AE//CF,

.ABBE

-AF"CE'

由（1）可得：ZACD=ZECD,而CD_LAE,結合對稱性,

：.AC^CE,AD=DE,

AB_BE

AF-AC

AB___A_D__+_BD_II_、__B__DII_、__B_DII_、____1

AD~~AD--而一~DE~sinB

1BE

空=i+-------1------,

ADAFsinBAC

2BC=BC+BE+CE=BC+BE+l^+BE

ACACACACsinBAC

ABAB2BC

?----1-----..