奧數(shù)工程問題集錦

L修一條水渠，單獨修，甲隊須要20天完成，乙隊須要30天完成。假如兩隊合作，由

于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工

作效率只有原來的非常之九。現(xiàn)在安排16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能

少，那么兩隊要合作幾天？

解：由題意得，甲的工效為1/20,乙的工效為1/30,甲乙的合作工效為

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因為，要求"兩隊合作的天數(shù)盡可能少"，所以應(yīng)當(dāng)讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在

來不與的才應(yīng)當(dāng)讓甲乙合作完成。只有這樣才能"兩隊合作的天數(shù)盡可能少"。

設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=l

x=10

答：甲乙最短合作10天

2.甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別須要20小時，16小時.丙水管單獨開，排

一池水要10小時.，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水

池注滿還是要多少小時？

解：

1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率

9/80x5=45/80表示5小時后進(jìn)水量

1-45/80=35/80表示還要的進(jìn)水量

35/80-?(9/80-1/10)=35表示還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

3.一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙

合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？

解：

由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量

(1/4+1/5)“2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。

依據(jù)"甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成"可知甲做2小時、乙做6小時、

丙做2小時一共的工作量為1。

所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小時的工作量。

1/10+2=1/20表示乙的工作效率。

1+1/20=20小時表示乙單獨完成須要20小時。

答：乙單獨完成須要20小時。

4.一項工程，第一天甲做，其次天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪番做，

那么恰好用整數(shù)天完工；假如第一天乙做，其次天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交

替輪番做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨

做這項工程要多少天完成？

解：由題意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+......+1/乙+1/甲x0.5=l

（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最終結(jié)束必需如上所示，否則其次

種做法就不比第一種多0.5天）

1/甲=1/乙+1/甲x0.5（因為前面的工作量都相等）

得到1/甲=1/乙x2

又因為1/乙=1/17

所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

5.師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完

成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？

答案為300個

120+（4/5+2）=300個

可以這樣想：師傅第一次完成了1/2,其次次也是1/2,兩次一共全部完工，那么徒弟

其次次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,剛好是120個。

6.一批樹苗，假如分給男女生栽，平均每人栽6棵；假如單份給女生栽，平均每人栽

10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答案是15棵

算式：lv(1/6-1/10)=15棵

7.一個池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完,

丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,

丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水

放完？

答案45分鐘。

1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完須要的分鐘數(shù)。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水,

也就是甲18分鐘進(jìn)的水。

1/2+18=1/36表示甲每分鐘進(jìn)水

最終就是1+(1/20-1/36)=45分鐘。

8.某工程隊須要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要

超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日

期為幾天？

答案為6天

解：

由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，

恰好如期完成，"可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實際時間的差是3天

所以3+(3-2)x2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期

方程方法：

[1/x+l/(x+2)]X2+1/(x+2)X(X-2)=1

解得x=6

9.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細(xì)蠟燭要1小時，一天

晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，

發(fā)覺粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？

答案為40分鐘。

解：設(shè)停電了x分鐘

依據(jù)題意列方程

l-l/120*x=(l-l/60*x)*2

解得x=40

一件工作，甲、乙、丙三人合作6小時，乙、丙合作2小時,可以完成這件

工作的4/9。假如甲、乙合作3小時，丙做6小時，可以完成這件工作的

3/4,甲、乙、丙單獨完成這件工作各需多少小時？

解：設(shè)甲的工作效率為X,乙的工作效率為Y,丙的工作效率為Z。

則(X+Y+Z)*6=1；

6X+2Y+2Z=2/3；

3X+3Y+6Z=2/3

解的:X=l/12,Y=l/36,Z=l/18

故甲乙丙單獨完成這件工作分別須要12,36,18小時

接著追問：我不會3元方程，能不能不用方程解答

補(bǔ)充回答：甲工效=2/37/6X2)+4=1/12,甲須要12天

丙工效=(2/37/6X3)+3=1/18,丙須要18天

乙工效=[4/9-(8義1/18)-(6X1/12)]/(2+6)=1/36,乙須要36天

補(bǔ)充回答：

訂正：甲乙丙工效之和為1/6

乙丙合作兩小時，完成了4/9

如下三人合作2小時的話應(yīng)當(dāng)完成了3*1/6=1/2

所以甲工效為(1/2-4/9)/2=1/36,甲須要36天

甲乙合作三小時，丙做6小時，相當(dāng)甲乙丙合作3小時，然后丙再做3小

時

所以丙工效為(3/4-1/2)/3=1/8,丙須要8天

乙工效為1/6-1/8-1/36=1/36,乙須要36天

工程問題是探討工作效率、工作時間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用

題。我們通常所說的：“工程問題”，一般是把工作總量作為單位“1”，

因此工作效率就是工作時間的倒數(shù)。它們的基本關(guān)系式是：工作總量;工

作效率=工作時間。

工程問題是小學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一個重點，也是一個難點。下面列舉

有關(guān)練習(xí)中常見的幾種題型，分別進(jìn)行思路分析，并加以簡要的評點，旨

在使同學(xué)們駕馭“工程問題”的解題規(guī)律和解題技巧。

例1一項工程，由甲工程隊修建，須要12天，由乙工程隊修建，須

要20天，兩隊共同修建須要多少天？

［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”。甲隊修建須要12

天，修建1天完成這項工程的1/12；乙隊修建須要20天，修建1天完成

這項工程的1/20。甲、乙兩隊共同修建1天，完成這項工程的1/12+1

/20=2/15,工作總量“1”中包含了多少個2/15,就是兩隊共同修建

完成這項工程所須要的天數(shù)。

14-(1/12+1/20)=1+2/15=15/2(天)

②設(shè)這項工程的全部工作量為60(12和20的最小公倍數(shù))，甲隊一

天的工作量為60912=5,乙隊一天的工作量為60?20=3,甲、乙兩隊

合建一天的工作量為5+3=8。用工作總量除以兩隊合建一天的工作量，

就是兩隊合建的天數(shù)。

604-(604-12+604-20)=60+(5+3)

=604-8=15/2(天)

評點這是一道工程問題的基本題，也是工程問題中常見的題型。上面

列舉的兩種解題方法，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1”，用

完成工作總量所需的時間的倒數(shù)作為工作效率，用工作總量除以工作效率

和，就可以求出完成這項工程所需的時間。工程問題一般采納這種方法求

解。

練習(xí)：一段馬路，甲隊單獨修要10天完成，乙隊單獨修要12天完成，

丙隊單獨修要15天完成，甲、乙、丙三隊合修，須要幾天完成？

例2一項工程，甲隊獨做8天完成，乙隊獨做10天完成，兩隊合做，

多少天完成全部工程的3/4?

［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”，甲隊獨做8天完

成，一天完成這項工程的1/8；乙隊獨做10天完成，一天完成這項工程

的1/10。甲、乙兩隊合做一天，完成這項工程的1/8+1/10=9/40,

工作總量“1”中包含多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做所須要的天數(shù)。

甲乙合做所需時間的3/4,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需的時

間。

14-(1/8+1/10)X3/4

=14-9/40X3/4=10/3(天)

②把甲、乙兩隊合做的工作量3/4,除以甲、乙兩隊的效率之和1/

8+1/10=9/40,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所須要的時間。

3/44-(1/8+1/10)=3/44-9/40=10/3(天)

評點思路①是先求出兩隊合做一項工程所需的時間，再用乘法求出完

成全部工程的3/4所需的時間。思路②是把“3/4”看作工作總量，工

作總量除以兩隊效率之和,就可以求出完成全部工程的3/4所需的時間。

兩種思路簡捷、清楚，都是很好的解法。

練習(xí)：一項工程，單獨完成，甲隊需8天，乙隊需12天。兩隊合干

了一段時間后，還剩這項工程的1/6沒完成。問甲、乙兩隊合干了幾天？

例3東西兩鎮(zhèn)，甲從東鎮(zhèn)動身，2小時行全程的1/3,乙隊從西鎮(zhèn)動

身，2小時行了全程的1/2。兩人同時動身，相向而行，幾小時才能相遇？

［思路說明］①由甲2小時行全程的1/3?？芍仔型耆桃?91

/3=6(小時)；由乙2小時行全程的1/2,可知乙行完全程要2+1/2

=4(小時)。求出了甲、乙行完全程各須要的時間，時間的倒數(shù)便是各自

的速度，進(jìn)而可求出兩人速度之和，把東西兩鎮(zhèn)的路程看作“1”，除以

速度之和，就可求出兩人同時動身相向而行的相遇時間。

綜合算式：

14-(1/(24-1/3)+1/(24-1/2))

=14-(1/6+1/4)=14-5/12=12/5(小時)

②由甲2小時行了全程的1/3,可知甲每小時行全程的1/34-2=1

/6；由乙2小時行全程的1/2,可知乙每小時行全程的1/24-2=1/4。

把東西兩鎮(zhèn)的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到兩人同時動

身相向而行的相遇時間。

綜合算式：

14-(1/34-2+1/24-2)

=14-(1/6+1/4)=14-5/12=12/5(小時)

評點本題沒有干脆告知甲、乙行完全程各需的時間，所以求出甲、乙

行完全程各需的時間或各自的速度，是解題的關(guān)鍵所在。

練習(xí)：打印一份稿件，小張5小時可以打完份稿件的1/3,小李3小

時可以打完這份稿件的1/4,假如兩人合打多少小時完成？

例4一項工程，甲、乙合做6天可以完成。甲獨做18天可以完成，

乙獨做多少天可以完成？

［思路說明］把一項工程的工作總量看作“1”，甲、乙合做6天可

以完成，甲、乙合做一天，完成這項工程的1/6,甲獨做18天可以完成，

甲做一天完成這項工程的1/18。把甲、乙工作效率之和，減去甲的工作

效率1/18,就可得到乙的工作效率：1/6—1/18=1/9。工作總量“1”

中包含了多少個乙的工作效率，就是乙獨做這項工程的須要的時間。

14-(1/6-1/18)=14-1/9=9(天)

評點這是一道較困難的工程問題，是工程問題的主要題型之一。主要

考查同學(xué)們運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本學(xué)問與工程問題的數(shù)量關(guān)系，解決實際問題的

實力。解答這類工程問題的關(guān)鍵是：先求出獨做的隊或個人的工作效率，

然后用工作總量“1”除以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊

或個人獨做的工作時間。

有的同學(xué)在解這道題時，由于審題馬虎，而且受基本工程問題解法的

影響，錯誤地列成：1+(1/6+1/18),這是同學(xué)們應(yīng)引起留意的地方。

練習(xí)：一批貨物，用大小兩輛卡車同時運(yùn)輸，5小時可以運(yùn)完。假如

用小卡車單獨運(yùn)，15小時可以運(yùn)完。問大卡車單獨運(yùn)幾小時可以運(yùn)完？

例5加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完成，乙要15天完成,

丙要12天完成。假如先由甲、乙兩人合做5天后，剩下的由丙1人做，

還要幾天完成？

［思路說明］題目要求剩下的工作量由丙1人做，還要幾天完成，必

需知道剩下的工作量和丙的工作效率。

加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件

的1/10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1/15；丙要12天完

成，丙一天加工一批零件的1/12。甲、乙合做一天，完成這批零件的1

/10+1/15=1/6,合做5天完成這批零件的1/6X5=5/6,工作總量

1”減去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工

作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做還要幾天完

成。

綜合算式：

[1-(1/10+1/15)X5]4-1/12

-[1-1/6X514-1/12

—1/64-1/12=2(天)

評點這是一道較困難的工程問題，是工程問題中的主要題型之一，也

是升學(xué)或畢業(yè)考試中最常見的試題之一。它的特點是求剩余部分的工作量

完成的時間。關(guān)鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工作總量“1”中減

去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學(xué)由于審題不細(xì)，又

受前面幾例工程問題的解法的影響，簡潔錯誤地列成：[1+(1/10+1/

15)X5]4-1/12.

練習(xí)：加工一批零件，甲獨做要8天完成，乙獨做要7天完成，丙獨

做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙兩人接著合做還

要幾天完成？

例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。現(xiàn)在甲、乙合作2天后，

余下的工程由乙獨做又用8天正好做完。這件工程假如由甲單獨做，須要

幾天完成?

[思路說明]一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作

1天完成這件工程的1/6,甲、乙合作2天，完成這件工程的1/6X2=1

/3o用工作總量“1”減去甲、乙合作2天的工作量1/3,所得的差1一

1/3=2/3,就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨做用了8天正好

做完，用余下的工作量除以8,就可以求出1天的工作量，即乙的工作效

率。把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。

求出了甲的工作效率，只要把工作總量“1”除以甲的工作效率，就可得

到甲獨做這件工程所須要的天數(shù)了。

綜合算式：

14-[1/6-(1-1/6X2)4-8]

=14-[1/6-(1-1/3)4-8]=14-[1/6-2/34-81

=14-[1/6-1/12]=14-1/12=12(天)

評點這也是一道困難的工程問題。解題的關(guān)鍵是正確求出甲的工作效

率。要求出甲的工作效率，解題的步驟較多，只有熟識和駕馭工程問題的

結(jié)構(gòu)特點和解題思路，嫻熟駕馭前面5道例題的解題方法與解題的技能、

技巧，才能正確順當(dāng)?shù)亟獯鸨绢}。

練習(xí)：一項工程，甲、乙兩隊合做9天完成，乙、丙兩隊合做12天完

成，現(xiàn)在甲、乙兩隊合做了3天，接著乙、丙兩隊又合做了6天，最終由

丙隊單獨12天完成了整個工程。假如整個工程由甲、丙兩隊合做須要幾

天完成？

工程問題是探討工作效率、工作時間和工作總量之間關(guān)系的應(yīng)用題。

工程問題是小升初奧數(shù)一個重要的分類，下面小編就為大家整理工程問題

的基本思路

工程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：

工作效率X工作時間=工作總量

工作總量+工作時間=工作效率

工作總量+工作效率=工作時間

上面這些數(shù)量關(guān)系式是在題目中給出（或間接給出）工作總量和

工作效率的詳細(xì)數(shù)量狀況下進(jìn)行解題用的。

假如題目中沒有給出工作總量的詳細(xì)數(shù)量，也沒有給出工作效率

的詳細(xì)數(shù)量，那么我們通常把工作總量看作整體“1”，工作效率表示單位

時間內(nèi)完成工作量的幾分之幾。

例1：完成一件工作，須要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天,

乙干2天。問：甲、乙單獨干這件工作各需多少天？

分析與解答：

分析：先對比如下

一項工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，自不待

言甲干2天的工作量，若換成乙干，則須要4天。因此，甲干1天的工作

量，若換成乙來干，則須要2天。

解答：甲完成這件工作須要的天數(shù)：

5+64-2=8（天）

乙完成這件工作須要的天數(shù)：

5X2+6=16（天）

評注：我們在解難題無從下手時，不妨把題目所交代的條件排列

下來，仔細(xì)地視察、比較，有時會柳暗花明的。本題運(yùn)用了整體代換的數(shù)

學(xué)思想，使題目的解答奇妙、簡練，更具創(chuàng)建性。

例2：一件工程，甲隊單獨做12天可以完成，甲隊做3天后乙隊

做2天半可完成一半?，F(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨完成，

做完后發(fā)覺兩段所用時間相等。問：共用多少天？

分析與解答：

分析：甲隊的工作效率的1/12,乙隊的工作效率是1/8,甲、乙

兩隊的工作效率和是1/8+1/12=5/24。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊

單獨做的時間相同，所以甲、乙兩隊合做的工作量與乙隊獨做的工作量之

比是:

(1/8+1/12)：1/8=5：3o

解答：乙隊的工作效率：（1/2—1/12X3）4-2=1/8

甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的5/8,乙隊單獨做的工作量是

這件工程的3/8。

完成這件工程的總天數(shù)：

3/84-1/8X2=6（天）

說明：適時、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用正、反比例概念，會使問題簡潔化。

例3：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9個，徒弟每

小時加工5個。完成任務(wù)時，徒弟比師傅少加工120個。這批零件共有多

少個？

分析與解答：

分析：徒弟每小時比師傅少加工4個零件，徒弟比師傅少加工120

個零件須要120+4=30小時，那么這批零件的總個數(shù)是（9+5）X30=420

個。

例4：一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，

甲、丙合做需15天完成?，F(xiàn)在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？

分析：由已知條件可知，甲、乙的工作效率和是1/6,乙、丙的工

作效率和是1/9,甲、丙的工作效率和是1/15,1/6+1/9+1/15=31/90,

這是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是

31/904-2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做須要的天數(shù)是1?

31/180=180/31天。

例5：一件工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完

成。假如先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由甲接替乙

工作1小時……兩人如此交替工作，那么完成任務(wù)用了多少小時？

分析：由已知條件可知甲的工作效率是1/12,乙的工作效率是1/18。

先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，看作是甲、乙合做1小

時?？傻眉住⒁液献魍瓿扇蝿?wù)須要的時間是1+(1/12+1/18)=36/5小

時，事實上可以理解為甲工作了7小時，乙工作了7小時，剩下的1/36

的工作由甲再單獨完成。

例6：甲、乙、丙三隊要完成A、B兩項工程，B工程的工作量比A

工程的工作量多1/4,甲、乙、丙三隊單獨完成A工程所需的時間分別是

20天、24天、30天。為了同時完成這兩項工程，先派甲做A工程，乙、

丙兩隊共同做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊與甲隊共同完成A,結(jié)果A、

B兩項工程同時完成。問：丙隊與乙隊合作了多少天？

分析：令A(yù)工作總量為1,則B工程的工作總量是5/4,A、B兩項

工程的工作總量是9/4,則甲、乙、丙三隊完成A、B兩項工程的時間就可

以求出，是9/4+(1/20+1/24+1/30)=18天。乙隊干18天的工作量為

1/24X18=3/4,剩下的5/