湖南省婁底市新化縣五校高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

新化縣五校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題（共8題，共40分）1.已知全集，集合，集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選:B.2.已知，是兩個(gè)不同的平面，“存在直線，，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】當(dāng)，是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于其充分性：，可以推出；對(duì)于其必要性：可以推出存在直線，，，故其充分必要條件，故選：C.3.在如圖平面圖形中，已知,則的值為A. B.C. D.0【答案】C【解析】【詳解】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，連結(jié)MN，由可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，由題意可知：，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：.本題選擇C選項(xiàng).4.函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨于時(shí)，趨于；在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時(shí)，趨于,故排除D；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時(shí)，趨于；在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨于時(shí)，趨于,故排除C.故選：AB.5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以當(dāng)或時(shí)取最大值為，故選：B.6.米接力賽是田徑運(yùn)動(dòng)中的集體項(xiàng)目．一根小小的木棒，要四個(gè)人共同打造一個(gè)信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合，已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【詳解】三次交接棒失誤的概率分別是，，，三次交接棒不失誤的概率分別是，，，三次交接棒相互獨(dú)立，此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是，故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖是陽馬，，，，．則該陽馬的外接球的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】因，平面ABCD，平面ABCD，則，又因四邊形ABCD為矩形，則.則陽馬的外接球與以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同.又，，．則外接球的直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線，故外接球半徑為：，則外接球的表面積為：故選：B8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，函數(shù)，在時(shí)的解析式等價(jià)于.根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出函數(shù)在上的大致圖像如圖所示，觀察圖像可知，要使，，則需滿足，解得.故選：B.二、多選題（共4題，共20分）9.下列選項(xiàng)中，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的有（）A. B.C. D.【答案】BC【詳解】令可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確，故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以的最小值，則的取值范圍是.所以可以取，，.故選：BCD11.已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.的離心率為C.曲線經(jīng)過的一個(gè)焦點(diǎn) D.直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【解析】【詳解】解：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)代入，得，即．雙曲線的方程為，故正確；由，，得，雙曲線的離心率為，故錯(cuò)誤；取，得，，曲線過定點(diǎn)，故正確；聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，故不正確．故選：．12.如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列命題正確的是（）A.MB是定值B.點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)C.一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD.一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE【答案】ABD【詳解】解：取DC的中點(diǎn)N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，因?yàn)镸N∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以平面MNB∥平面A1DE，因?yàn)镸B?平面MNB，所以MB∥平面A1DE，D正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，A正確；因?yàn)锽是定點(diǎn)，所以M在以B為圓心，MB為半徑的圓上，B正確；在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE,即得DE⊥A1E,與∠DEA1為矛盾，∴不存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C，C不正確.故選：ABD.三、填空題（共4題，共20分）13.已知復(fù)數(shù)，_________.【答案】【詳解】解：所以故答案為：14.已知，，，則的最大值是_________.【答案】2【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以的最大值是2故答案為：215.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且對(duì)任意的滿足，若時(shí)，有，則______.【答案】【詳解】因?yàn)椋嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以所以故答案為：16.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，，垂足為，則的面積是___________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為為，所以經(jīng)過且斜率為的直線方程為，解得，由拋物線定義知，又因?yàn)檩S，所以，為正三角形，面積是，故答案為.四、解答題（共6題，共70分）17.已知的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，，且.（1）求b?c的值；（2）求的值.【答案】（1）7，5；（2）．【解析】【小問1詳解】∵，∴cosB＝，∵，∴B＝，根據(jù)余弦定理得：，即，解得，故，．【小問2詳解】∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝，∴由正弦定理得，，即，∵B＞，∴C，∴，∴．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，又，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，即，所以，對(duì)任意恒成立，即，對(duì)任意恒成立，記，故，所以時(shí)，，所以，即，時(shí)，，即隨著的增大，遞減，所以的最大值為，所以，即.19.甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行同一門課程的考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表：班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲隊(duì)8040120乙隊(duì)240200240合計(jì)320240560附0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，）（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為成績(jī)與學(xué)校有關(guān)系；（2）采用分層抽樣的方法在兩所學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的名學(xué)生中抽取名同學(xué)．現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)抽取名運(yùn)同學(xué)作為成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生代表介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，記這名同學(xué)來自甲學(xué)校的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為成績(jī)與所在學(xué)校有關(guān)系（2）分布列見解析，【小問1詳解】由題意得，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為成績(jī)與所在學(xué)校有關(guān)系．【小問2詳解】名同學(xué)中有甲學(xué)校有人，乙學(xué)校有人，的可能取值為，，，．，，，，的分布列為如下0123所以．20.如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F．（1）證明：平面ABC．（2）若，二面角DACE為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，由已知得，且．因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因?yàn)榉鄣?，易知．所以翻折后，．又因?yàn)?，EA，平面AEC，所以平面AEC．因?yàn)?，所以平面AEC．因?yàn)槠矫鍭EC，所以．因?yàn)锳CE等邊三角形，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，所以又因?yàn)椋珹C，平面ABC．所以平面ABC．因?yàn)椋云矫鍭BC．【小問2詳解】（方法一）如圖，過點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)，則，，，，則，，，因?yàn)槠矫鍭EC．所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因?yàn)槎娼荄ACE為，所以，解得，所以，．記直線AB與平面ACD所成角，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因?yàn)槠矫鍭EC，平面AEC，所以．又因?yàn)?，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因?yàn)镋G，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角DACE的平面角，故．由△ACE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過點(diǎn)F作，垂足為I，因?yàn)槠矫鍰EGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫鍰EGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．21.已知橢圓的上下左右四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，軸正半軸上的點(diǎn)滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，，是否存在這樣的直線使得和的面積相等？若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）在（）的條件下，求當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，的面積．【答案】（1），點(diǎn)坐標(biāo)為（2）存在，或（3）【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知，，，，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為．【小問2詳解】設(shè)直線，由與的面積相等知點(diǎn)到直線的距離相等，所以解得或，所以直線的方程為或．【小問3詳解】若直線的傾斜角為鈍角，則，此時(shí)直線的方程為，由消去得，設(shè)，坐標(biāo)分別，，則有所以的面積故所求的面積為．22.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值:（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明:【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】【詳解】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意首先明確定義域，正確求導(dǎo)：因?yàn)?，所以，由，得，?）不等式恒成立問題一般利用變量分離法：?jiǎn)栴}等價(jià)于在上恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，令根為，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．，所以整數(shù)的最小值為2．（3）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可：由，即從而，利用導(dǎo)數(shù)求左邊函數(shù)最小值1，所以，解得試題解析：（1）因?yàn)椋裕?分此時(shí)，2分由，得，又，所以．所以的單調(diào)減區(qū)間為．4分（2）方法一：令，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以．所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立．6分當(dāng)時(shí)，，令，得．