高考數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪狂刷練第11章算法復(fù)數(shù)推理與證明113a

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·湖北華師一附中等八校聯(lián)考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1,2,6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案D解析若甲猜測正確，則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤，即4號和5號均不是第一名．若丙猜測正確，那么乙猜測也正確，與題意不符，故丙猜測錯誤，即1,2,6號均不是第1名，故3號是第1名，則乙猜測錯誤，丁猜測正確．故選D.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故選B.3．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，類比有x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，則a＝()A．nB．2nC．n2D．nn答案D解析第一個式子是n＝1的情況，此時(shí)a＝1，第二個式子是n＝2的情況，此時(shí)a＝4，第三個式子是n＝3的情況，此時(shí)a＝33，歸納可以知道a＝nn.故選D.4．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12)＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))67 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))68C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))111 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112答案D解析該三角形所對應(yīng)元素的個數(shù)為1,3,5，…，那么第10行的最后一個數(shù)為a100，第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.故選D.5．(2017·陽山縣校級一模)下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C解析對于A“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”是錯誤的，因?yàn)?乘任何數(shù)都等于0；對于B“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”，類推的結(jié)果不符合乘法的運(yùn)算性質(zhì)，故錯誤；對于C將乘法類推除法，即由“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”是正確的；對于D“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”是錯誤的；如(1＋1)2＝12＋12.故選C.6．(2017·河北冀州中學(xué)期末)如圖所示，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則a2017＝()A．502B．503C．504D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…組成的數(shù)列恰好對應(yīng)數(shù)列{xn}，即xn＝a2n－1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.故選D.7．(2018·安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1－\r(5),2)答案C解析1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(5),2)舍))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.8．(2017·陜西一模)設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知，四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體的體積為V＝V四面體S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故選C.9．(2018·鷹潭模擬)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[π]＝3.S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，…依此規(guī)律，那么S10等于()A．210B．230C．220D．240答案A解析∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，∴S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7＝21，…Sn＝[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n－1)]＋[eq\r(n2＋2n)]＝n×(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.故選A.10．(2017·龍泉驛區(qū)模擬)對于問題：“已知兩個正數(shù)x，y滿足x＋y＝2，求eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值”，給出如下一種解法：∵x＋y＝2，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,2)(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))，∵x>0，y>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥eq\f(1,2)(5＋4)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝\f(4x,y)，,x＋y＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(4,3)))時(shí)，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)取最小值eq\f(9,2).參考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，則eq\f(1,A)＋eq\f(9,B＋C)的最小值為()A.eq\f(16,π)B.eq\f(8,π)C.eq\f(4,π)D.eq\f(2,π)答案A解析A＋B＋C＝π，設(shè)A＝α，B＋C＝β，則α＋β＝π，eq\f(α＋β,π)＝1，參考題干中解法，則eq\f(1,A)＋eq\f(9,B＋C)＝eq\f(1,α)＋eq\f(9,β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(9,β)))·(α＋β)eq\f(1,π)＝eq\f(1,π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(β,α)＋\f(9α,β)))≥eq\f(1,π)(10＋6)＝eq\f(16,π)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(β,α)＝eq\f(9α,β)，即3α＝β時(shí)等號成立．故選A.二、填空題11．(2017·北京高考)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i＝1,2,3.(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是________．(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是________．答案(1)Q1(2)p2解析設(shè)A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，線段A1B1的中點(diǎn)為E1(x1，y1)，則Q1＝y(tǒng)A1＋yB1＝2y1.因此，要比較Q1，Q2，Q3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小，作圖比較知Q1最大．又p1＝eq\f(yA1＋yB1,xA1＋xB1)＝eq\f(2y1,2x1)＝eq\f(y1,x1)＝eq\f(y1－0,x1－0)，其幾何意義為線段A1B1的中點(diǎn)E1與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此，要比較p1，p2，p3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，作圖比較知p2最大．12．(2018·湖北八校聯(lián)考)二維空間中，圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝________.答案2πr4解析在二維空間中，圓的二維測度(面積)S＝πr2，則其導(dǎo)數(shù)S′＝2πr,即為圓的一維測度(周長)l＝2πr；在三維空間中，球的三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，則其導(dǎo)數(shù)V′＝4πr2，即為球的二維測度(表面積)S＝4πr2；應(yīng)用合情推理，在四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝2πr4.13．(2017·江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一．并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金eq\f(1,2)，第2關(guān)收稅金為剩余的eq\f(1,3)，第3關(guān)收稅金為剩余的eq\f(1,4)，第4關(guān)收稅金為剩余的eq\f(1,5)，第5關(guān)收稅金為剩余的eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”若將“5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”改成“假設(shè)這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)”，則第8關(guān)所收稅金為________x.答案eq\f(1,72)解析第1關(guān)收稅金：eq\f(1,2)x；第2關(guān)收稅金：eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(x,6)＝eq\f(x,2×3)；第3關(guān)收稅金：eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(x,12)＝eq\f(x,3×4)；……第8關(guān)收稅金：eq\f(x,8×9)＝eq\f(x,72).14．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}．可以推測：(1)b2016是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)；(2)b2k－1＝________(用k表示)．答案(1)5040(2)eq\f(5k5k－1,2)解析觀察知這些三角形數(shù)滿足an＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*，當(dāng)n＝5k－1或n＝5k，k∈N*時(shí)，對應(yīng)的三角形數(shù)是5的倍數(shù)，為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，將5k－1和5k列為一組，所以b2016是第1008組的后面一項(xiàng)，即b2016是數(shù)列{an}中的第5×1008＝5040項(xiàng)；b2k－1是第k組的前面一項(xiàng)，是數(shù)列{an}中的第5k－1項(xiàng)，即b2k－1＝a5k－1＝eq\f(5k5k－1,2).三、解答題15．(2017·未央?yún)^(qū)校級期中)閱讀以下求1＋2＋3＋…＋n的值的過程：因?yàn)?n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).類比上述過程，求12＋22＋32＋…＋n2的值．解∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，把這n－1個等式相加得n3－1＝3·(22＋32＋…＋n2)－3·(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，由此得n3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n2)－3·(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，即12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a