第03講垂徑定理（選學）（7類題型）（原卷版）

第03講垂徑定理（選學）（7類題型）課程標準學習目標1.掌握垂徑定理的概念；2.掌握垂徑定理的推論；3.掌握垂徑定理的應用；1.掌握垂徑定理的概念；2.掌握垂徑定理的推論；3.掌握垂徑定理的應用；知識點01：圓的對稱性（1）對稱中心圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能與自身重合，這說明圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。將整個圓分為等份，每一份的弧對應的圓心角，我們也稱這樣的弧為的弧。圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．（2）對稱軸經(jīng)過圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，所以圓有無數(shù)條對稱軸。（3）垂徑定理1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對的兩條??；幾何語言：垂徑定理的幾個基本圖形：垂徑定理在基本圖形中的應用：2．其它正確結(jié)論：⑴弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。虎破椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。菆A的兩條平行弦所夾的弧相等．3．知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分優(yōu)弧．以上五個條件知二推三．注意：在由①③推②④⑤時，要注意平分的弦非直徑．4．常見輔助線做法：⑴過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；⑵有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．【即學即練1】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知的半徑為5，是的弦，點P在弦上，若，則（）A． B． C． D．【即學即練2】2．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）A．5 B．4 C．3 D．2題型01垂徑定理的概念1．（2023春·黑龍江大慶·九年級大慶外國語學校?？茧A段練習）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于弦的直徑平分這條弦 D．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形2．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）用準確的文字語言描述“垂徑定理”：垂直于弦的直徑平分．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，的兩條弦（AB不是直徑），點E為AB中點，連接EC，ED．（1）直線EO與AB垂直嗎？請說明理由；（2）求證：．題型02垂徑定理的推論1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列說法中正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑一定垂直于弦；②圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是對稱軸；③直徑是弦；④長度相等的弧是等弧A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知在半圓中，，，，求的長．題型03利用垂徑定理求值1．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點P，則CP的長等于（

）A．2 B． C．3 D．42．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，．若，，求的面積．題型04利用垂徑定理求平行弦問題1、（2021春·九年級課時練習）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無法確定2．（2022·九年級單元測試）設AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．3．（2021春·九年級課時練習）如圖，已知⊙O的半徑長為R=5，弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5，AB=6，求弦CD的長．題型05利用垂徑定理求同心圓問題1．（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°2．（2022浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．3．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．題型06利用垂徑定理求解其他問題1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標是．3．（2022秋·江西南昌·九年級深圳市南山外國語學校校聯(lián)考階段練習）如圖，中，，，，以為半徑的交于D，求的長．題型07垂徑定理的實際應用1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過思考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高，底面內(nèi)徑，球的最高點到瓶底的距離為，則球的半徑為．3（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，求點C到弦所在直線的距離．A夯實基礎1．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的弦，為的中點，且，則的半徑為（

）A．8 B．6 C．5 D．42．（2023秋·九年級課時練習）下列說法正確的是（

）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的弦平分這條直徑D．過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧3．（2023秋·全國·九年級專題練習）某橋是典型的圓弧形石拱橋，如圖，小雅同學測得水面寬為8m，拱頂?shù)剿娴木嚯x也為8m，則這座橋的橋拱半徑為（

）A．4m B．5m C．6m D．8m4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，弦的長為，圓心到的距離為，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．3 D．75．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A、B、C作以圓弧，則圓心的坐標是6．（2023·湖南長沙·長沙市第十一中學校考模擬預測）如圖，是⊙的弦，是的中點，交于點．若，，則⊙的半徑為．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知弓形的高為1厘米，弓形的半徑長為5厘米，那么弓形的弦長為厘米．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦于H，若，則圖中陰影部分的面積為．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知，半徑，求高度．10．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，是的弦的中點，，垂足為，求證：．B能力提升1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心．則折痕的長為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·九年級課時練習）如圖所示，的直徑，是的弦，，則的長為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的半徑為是圓外一點，，交于點，則弦的長為（

）A．4 B．6 C． D．84．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知的半徑為5，是的弦，點P在弦上，若，則（）A． B． C． D．5．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）在中，直徑為，弦的長為，則圓心O到的距離為．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，弦于點，，，則長為．7．（2023秋·九年級課時練習）《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學經(jīng)典，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．如圖，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺寸），則這塊圓柱形木材的直徑是寸．8．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的直徑為，弦是弦上的一個動點，則長的取值范圍是．9．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，某隧道的截面是一個半徑為米的半圓形，一輛寬米的廂式卡車（截面是長方形）恰好能通過該隧道，則這輛卡車的高為多少米？10．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，．若，，求的面積．C綜合素養(yǎng)1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，的直徑垂直弦于點P，且P為半徑的中點，若，則的半徑長為（）A． B．3 C． D．2．（2023春·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，的半徑垂直于弦，垂足為點，連接并延長交于點，連接，．若，，則的面積為（

）A．12 B．15 C．16 D．183．（2023秋·全國·九年級專題練習）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，的弦垂直于，點為垂足，連接．若，，則的值是（）A． B． C． D．5．（2023·北京海淀·?？寄M預測）如圖，在半徑為5的中，，則．6．（2023春·北京海淀·九年級?？奸_學考試）數(shù)學活動課上，同學們想測出一個殘損輪子的半徑，小聰?shù)慕鉀Q方案如下：在輪子圓弧上任取兩點A，B，連接，再作出的垂直平分線，交于點C，交弧于點D，測出，的長度，即可計算得出輪子的半徑．現(xiàn)測出，，則輪子的半徑為．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，弦于點，，，則．8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑是，是的內(nèi)接三角形，過圓心分別作，，的垂線，垂足為，，，連接．若，則．9．（2023·河南駐馬店