高中數(shù)學必修第一冊2.2.2不等式的解集

2.2.2不等式的解集

最新課

掌握不等式的解集，理解絕對值不等式，會解簡單的不等式組.

程標準

新知初探?自主學習——突出基礎(chǔ)性

知識點一不等式的解集與不等式組的解集

一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對于由若干個不等式聯(lián)立得到

的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.

知識點二絕對值不等式

含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

知識點三數(shù)軸上兩點間的距離及中點坐標公式

(1)距離公式：一般地，如果實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應的點分別為A,B,即4(。)，B(b),

則線段AB的長為.

(2)中點坐標公式：A(a),B(b),線段A3的中點M對應的數(shù)為x,則％=.

基礎(chǔ)自測

1.在數(shù)軸上從點4(—2)引一線段到3(1),再同向延長同樣的長度到C,則點C的坐標為

()

A.13B.0

C.4D.-2

2.不等式『2X—4>0,的解集是()

(x—3<0

A.{x|x<—2}B.{x\x<2}

C.{x|—2V_xW3}D.{x|-2<x<3}

3.集合M={4x>0,x￡R},N={R|x—1|W2,%￡Z},則Mn鑫N=()

A.{x|0<x^2,x^RJB.{x|0V%W2,x￡Z}

C.{-1,-2,1,2}D.{1,2,3}

4.不等式|x+l|V5的解集為.

課堂探究?素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性

題型1不等式組的解集［經(jīng)典例題］

例1解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來:

［2x+3>1,

(1)

lx-2<0；

x+l、1

X---------->-，

(2)22

、x+8<4x—1.

方法屋他

一元一次不等式組的求解策略

熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此類問

題的關(guān)鍵.

跟蹤訓練I不等式組巴的解集是()

A.{x\x<—2}B.{x|—2〈xWl}

C.{x［xW—2}D.{x|x］一2}

題型2解絕對值不等式［教材P66例題2］

例2設(shè)數(shù)軸上點A與數(shù)3對應，點B與數(shù)X對應，已知線段AB的中點到原點的距離

不大于5,求x的取值范圍.

【解析】因為的中點對應的數(shù)為等，所以由題意可知|等|W5,即|3+x|W10,因

此一10W3+xW10,所以一13WxW7,因此x的取值范圍是［—13,7］.

【答案】［—13,7］

方法歸他

含有絕對值的不等式的解題策略

解含有絕對值的不等式，總的思路是同解變形為不含絕對值的不等式，但要根據(jù)所求不

等式的結(jié)構(gòu)，選用恰當?shù)姆椒?此題中有兩個絕對值符號，故可用絕對值的幾何意義來求解，

或用分區(qū)間討論法求解，還可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象求解.

跟蹤訓練2解不等式3W|x—2|<4.

題型3數(shù)軸上的基本公式及應用［經(jīng)典例題］

例3已知數(shù)軸上的三點A、B、尸的坐標分別為A(—1),8(3),尸(x).

(1)點尸到A,B兩點的距離都是2時，求P(x),此時P與線段AB是什么關(guān)系？

(2)在線段AB上是否存在一點P(x),使得P到A和B的距離都是3?若存在，求P(x),

若不存在，請說明理由.

方法核病

數(shù)軸上基本公式的應用

(1)已知數(shù)軸上兩點的坐標可用兩點間的距離公式求距離，若已知兩點間的距離，也可

用距離公式求相應點的坐標；

(2)中點坐標公式可以解決三點共線問題.其中已知兩點坐標，可用公式求第三點的坐

標.

跟蹤訓練3已知數(shù)軸上有點A(—2),8(1),0(3),點C在射線BA上，且有翌=[,問

在線段CD上是否存在點E使胃=；?如存在，求點E坐標，如不存在，請說明理由.

ED4

2.2.2不等式的解集

新知初探咱主學習

知識點三

\a-b\手

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：根據(jù)數(shù)軸標好相應的點易判斷.

答案：c

2.解析：由，x—4>0,可得『<—2,則x<-2,故選A.

Ix-3<0,Ix<3,

答案:A

3.解析：由題得N={x|—1WXW3,A-￡Z}={-1,0,1,2,3},所以Mn巍N={1,2,

3).故選D.

答案：D

4.解析：|x+1|<5=>—5<x+1<5=>—6<x<4.

答案：{x|—6<%<4}

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】分別求出各不等式的解集，再求出各個解集的交集，并在數(shù)軸上表示

出來即可.

(1)解不等式2%+3>1,得x>—1,

解不等式x—2<0,得x<2,

則不等式組的解集為｛R—l<x<2｝.

將解集表示在數(shù)軸上如下：

(2)解不等式x—等>|,得x>2,

解不等式尤+8<4x—1,得x>3,

則不等式組的解集為｛x|x>3｝,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:

跟蹤訓練1解析：/x+1*3,?解①，得尤wi,解②，得x<—2,

l-x-2>0,②

...不等式組的解集為｛x|x<—2｝,故選A.

答案：A

跟蹤訓練2解析：此題的不等式屬于絕對值的連不等式，求解時可將其化為絕對值的

不等式組再求解.

原不等式等價于依①

②

由①，得%—2W—3,或x—223,1?xW—1,或x25.

由②，得—4<x—2<4,/.—2<x<6.

如圖所不，原不等式的解集為｛x|—2<xW—1或5W%<6｝.

例3【解析】根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式及中點坐標公式求解.

⑴由題意知｛HU可以化為｛x：34或已建苒或『、+'=六

或

x+l=—2,解得x=l.

x_3-2.

.?.點尸由坐標為尸⑴，此時P為A的的中點.

(2)不存在這樣的P(x),理由如下：

VAB=|3-(-l)|=4<6,

在線段AB上找一點尸使|E4|+|PB|=3+3=6是不可能的.

跟蹤訓練3解析：設(shè)C(x),E(x),則替x=—5,所以